专题05 相交线与平行线易错必刷题型专训（87题29个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题05 相交线与平行线易错必刷题型专训（87题29个考点） 【易错必刷一 两点确定一条直线】 1．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，两点确定一条直线，四个现象的依据是两点之间，线段最短和两点确定一条直线，据此作出判断即可． 【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是两点确定一条直线，不符合题意； ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设是两点之间，线段最短，符合题意； ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是两点确定一条直线，不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程是两点之间，线段最短，符合题意； 故选：C． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）同学用两枚钉子就把校运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上，请你用数学知识来解释原理： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查两点确定一条直线的应用，由两点确定一条直线即可得解，正确理解两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：由于两点确定一条直线， 所以同学用两枚钉子就把校运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上， 故答案为：两点确定一条直线． 3．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，小海龟（头朝上）位于图中点处，按下述口令移动：前进格；向右转，前进格；向左转，前进格；向左转，前进格；向右转，后退格；最后向右转，前进格；用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 【答案】见解析，小海龟经过的路线类似一面旗帜 【分析】根据指令一个一个移动或转弯即可． 【详解】解：如图所示：小海龟经过的路线类似一面旗帜．（画出图画即可，答不出图的形状亦可） 【点睛】本题考查转弯，直行等概念的理解，理解这些概念是本题解题关键． 【易错必刷二 平面内两直线的位置关系】 4．（23-24七年级下·上海徐汇·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的认识，射线、线段、直线的认识，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①②是错误的； 两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行，故③是正确的； 不相交的两条射线不一定平行，故④是错误的； 故选：B． 5．（2024七年级下·上海嘉定·专题练习）如图，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是 ． 【答案】棱，棱 【分析】根据长方体的特点，结合直线与平面垂直，直线与平面平行解答． 【详解】根据长方体的特点，与面垂直的棱是长方体宽的四条棱，，，； 与面平行的是相对面上的四条棱，，，， 所以，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是棱，棱． 故答案为：棱，棱． 【点睛】本题考查了立体图形的认识，熟练掌握长方体棱的关系，以及棱与面的关系式解题的关键． 6．（23-24七年级下·上海青浦·单元测试）如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，根据网格的特点可得，，再证明即可得到答案． 【详解】解：延长，由网格的特点可知交于M，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【易错必刷三 相交线】 7．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意； B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意； C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意； D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意； 故选：C． 8．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【答案】45 【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案． 【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点． 9．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，垂直的定义等知识，根据可得，问题随之得解． 【详解】位置关系：． 理由如下：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【易错必刷四 对顶角的定义】 10．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选：C． 11．（23-24七年级下·上海崇明·课后作业）下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律．对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共对； ……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：； 故答案为：． 12．（23-24七年级下·上海长宁·单元测试）如图，直线、、交于点，图中出现了几对对顶角，若条直线相交呢？ 【答案】图中共有对对顶角，条直线相交于一点有对对顶角 【分析】根据题意，可得直线、相交于；直线，相交于；直线，相交于．由于两条直线相交组成对顶角，所以上述图中共有对对顶角． 【详解】解：如图所示，图中共有对对顶角，它们是：和，和；和，和；和，和． 两条直线相交出现 对对顶角， 三条直线相交出现 对对顶角， 四条直线相交出现 对对顶角， 依此类推，条直线相交于一点有对对顶角． 【点睛】本题考查了对等角的定义，熟练掌握对等角的定义是解题的关键． 【易错必刷五 对顶角相等】 13．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角．利用对顶角的定义及邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：如图，， ∵与互余， ∴与互余， ∵， ∴． 故选：B． 14．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线与交于点平分，那么 °    【答案】/108度 【分析】本题考查了几何图形中的角的运算，先由对顶角相等得出，因为平分 ，得出，结合，即可列式计算作答． 【详解】解：依题意，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，∠EOF=90°，∠AOC=36°，求∠BOF的度数 【答案】72° 【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠DOE，然后根据∠BOF＝∠EOF－∠BOE代入数据计算即可得解． 【详解】解：因为∠AOC=36°（已知） 所以∠BOD=∠AOC=36°（对顶角相等） 因为OE平分∠BOD（已知） 所以∠BOE=∠BOD=（角平分线定义） 因为∠EOF=90°（已知） 所以∠BOF=∠EOF==72°（余角性质） 【点睛】本题考查了对顶角、余角、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握这些定义． 【易错必刷六 垂线的定义理解】 16．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】根据垂直的定义即可解答． 【详解】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确； 淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键． 17．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义和对顶角的性质，解题的关键是由，得，因为，所以，根据对顶角相等得． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．    【答案】 【分析】先利用对顶角的性质得到，再根据角平分线定义得到，接着利用垂直定义得到，则利用互余得到即可求解． 【详解】解：直线与相交于一点， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 【易错必刷七 垂线段最短】 19．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，在线段上连接．若，则线段的长不可能是（    ） A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5 【答案】D 【分析】此题主要考查了垂线段最短，直接利用垂线段最短以及结合已知得出的取值范围进而得出答案． 【详解】解：过点作于点，，在线段上连接，， ， ， 故不可能是6.5， 故选：D． 20．（23-24七年级下·上海金山·期中）已知点A为直线上一点，点B在直线外，且A、B两点之间的距离是，如果点B到直线的距离是x，那么x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离， 解题的关键是熟练掌握垂线段最短； 利用垂线段最短即可解答； 【详解】解：当时，， ， 故答案为： 21．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理． 【答案】图见解析，垂线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：过点A作CD的垂线段AB，则AB的长度最短，依据为：垂线段最短， ． 【点睛】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线中，垂线段最短． 【易错必刷八 点到直线的距离】 22．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 【答案】D 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】A、， 直线与直线的夹角是60度，正确，故本选项不符合题意 B、 直线与直线的夹角是90度，正确，故本选项不符合题意 C、 线段的长是点D到直线的距离，正确，故本选项不符合题意 D、不相互垂直， 线段的长不是点B到直线的距离，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离和两直线的夹角，熟练掌握点到直线的距离与两直线的夹角的定义是解题的关键． 23．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，点A到直线的距离是线段 的长度，直线到直线的距离是线段 的长度．    【答案】 / / 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可． 【详解】解：点A到直线的距离是线段的长度， 直线到直线的距离是线段的长度． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的距离的概念，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 24．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知于，于． (1)点到直线的距离是线段_______的长； (2)点到直线的距离是线段_______的长； (3)线段的长表示点到直线_______距离； (4)线段的长表示点到直线_______距离； (5)线段的长表示点_______到直线______距离； (6)线段的长表示点_______到直线______距离； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， (6)， 【分析】（1）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离是线段的长； （2）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离是线段的长； （3）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离； （4）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离； （5）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离； （6）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离． 【详解】（1）∵， ∴点到直线的距离是线段的长； 故答案为：． （2）∵， ∴点到直线的距离是线段的长； 故答案为：． （3）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为： ． （4）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为：． （5）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为：，． （6）∵， ∴线段的长表示点到直线距离； 故答案为：，． 【点睛】此题考查点到直线的距离的定义，解题关键在于掌握其定义． 【易错必刷九 用直尺、三角板画平行线】 25．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 26．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 27．（23-24七年级下·上海宝山·课后作业）如图，请你用直尺和三角尺按下列要求作图（不写作法）． (1)在图①中，过点C作的垂线； (2)在图②中，过点作直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的作法和平行线的作法． （1）利用三角板的两条直角边作图即可； （2）根据平行线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求， （2）解：如图②，直线即为所求． 【易错必刷十 用反证法证明命题】 28．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 29．（23-24七年级下·上海静安·期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ． 【答案】 【分析】根据反证法的特点，假设结论的相反意义成立即可． 【详解】在中，若，则，则应假设， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反证法，正确理解反证法的证明思想是解题的关键． 30．（23-24七年级下·上海金山·期末）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】根据命题的结论，写出求证，利用反证法，进行证明即可． 【详解】解：由命题的结论得：， 故答案为：， 证明：假设a，b相交于点A， 则过A点有两条直线a，b都平行于c， 这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以． 【点睛】本题考查反证法．根据结论，正确的写出假设，是解题的关键． 【易错必刷十一 同位角、内错角、同旁内角】 31．（2024七年级下·上海闵行·专题练习）如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角，根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的概念判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，故A不符合题意； B、与不是内错角，故B不符合题意； C、与不是同旁内角，故C不符合题意； D、与互为同位角，故D符合题意； 故选：D． 32．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，一共有 对同旁内角． 【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：图中同旁内角有和，和，和，和，共有对． 故答案为：． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 33．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形ABD的AB边上的高DE． ∠A的同位角是　　． ∠ABD的内错角是 　　． 点B到直线AC的距离是线段 　　的长度． 点D到直线AB的距离是线段 　　的长度． 【答案】∠BDC、∠BED、∠EDC；∠BDC ；BD ；DE 【分析】根据两直线被第三条直线所截，位置相同的角是同位角，可得一个角的同位角，根据两直线被第三条直线所截，角位于两直线的中间，截线的两侧是内错角，可得一个角的内错角，根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离，可得答案． 【详解】解：∠A的同位角是∠BDC、∠BED、∠EDC， ∠ABD的内错角是∠BDC， 点B到直线AC的距离是线段 BD的长度， 点D到直线AB的距离是线段 DE的长度， 故答案为：∠BDC、∠BED、∠EDC；∠BDC ；BD ；DE． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键． 【易错必刷十二 同位角相等两直线平行】 34．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，下列推理错误的是（　　） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行．根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； 、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； 、因为与，不是同位角，也不是内错角，故不能判断两直线平行，故符合题意； 、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行）；故不符合题意； 故选：C． 35．（23-24七年级下·上海杨浦·课后作业）如图，和分别为直线与直线和相交所成的角．如果，那么当 时，可判定．    【答案】/60度 【分析】根据平行线的判定及对顶角相等解答即可． 【详解】当时， 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为．    【点睛】此题考查了平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，以及对顶角相等，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 36．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请说明AB//EF的理由． 【答案】见解析 【分析】根据同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行、平行公理即可得出AB∥EF． 【详解】解：， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了平行线的判定，用到的知识点是同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、熟练运用平行公理是解决此题的关键． 【易错必刷十三 垂直于同一直线的两直线平行】 37．（2024七年级下·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定是关键； 方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行即可得出答案． 【详解】由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定；方案Ⅱ是根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，判定． 故选C． 38．（23-24七年级下·上海宝山·期中）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相 ．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 【答案】平行 【分析】此题可以从同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方面来判定两直线平行．此结论也可以当作定理来用．根据题意画出画出图形，再利用平行线的判定证明． 【详解】如图，，，说明． 解：，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：平行． 39．（23-24七年级下·上海金山·期中）已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，先根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质，得出．熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十四 两直线平行同位角相等】 40．（23-24七年级下·上海·期中）如图，，a、b被c所截，得到的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】A 【分析】由图形可知和是一对同位角，且是由平行得到角相等，可知是平行线的性质． 【详解】解：∵和是一对同位角， ∴由得到是根据平行线的性质， 即两直线平行，同位角相等， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④，⇒． 41．（23-24七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为 ．    【答案】/41度 【分析】根据两直线平行同位角相等求出，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记平行线的性质是解题的关键． 42．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 根据得出，再根据，即可得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错必刷十五 内错角相等两直线平行】 43．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ，故选项不符合题意； B、∵，，故选项不符合题意； C、，不能判定，故选项符合题意； D、∵，，故选项不符合题意； 故选：C． 44．（23-24七年级下·上海·期末）如图，已知∠DEF =100°，请增加一个条件使得ABCD，这个条件可以是 ． 【答案】∠AFE=100°(答案不唯一) 【分析】根据平行线的判定，可利用内错角相等或同旁内角互补，两直线平行得出答案． 【详解】解：根据平行线的判定，可添加∠AFE=100°， ∵∠AFE=∠DEF =100°， ∴ABCD(内错角相等，两直线平行)， 故答案为：∠AFE=100°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 45．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，则问题得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错必刷十六 两直线平行内错角相等】 46．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，下列说法中正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由得不到，故项不符合题意； 项∵由可得到，故项符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 47．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，若，，，那么 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟记两条直线平行，内错角相等是解决问题的关键．过点作，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ． 故答案为：． 48．（23-24七年级下·上海·期中）如图，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC， (1)求∠BAC的度数； (2)求∠PAG的度数． 【答案】(1)96° (2)12° 【分析】（1）利用两直线内错角相等得到两对角相等，相加即可求出所求的角； （2）由AP为角平分线，利用角平分线定义求出∠PAC的度数，由∠PAC−∠CAG即可求∠PAG的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴∠BAG＝∠ABD＝60°，∠CAG＝∠ACE＝36°， ∴∠BAC＝∠BAG+∠CAG＝96°． （2）∵AP为∠BAC的平分线， ∴∠BAP＝∠CAP＝48°， ∴∠PAG＝∠CAP﹣∠GAC＝12°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等，是解本题的关键． 【易错必刷十七 同旁内角互补两直线平行】 49．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行，是解答本题的关键．根据平行线的判定作答即可． 【详解】解：A、，不能判定，故本项不符合题意； B、，可判断，不能判定，故本项不符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行能判定，故本项符合题意； D、 ，可判断，不能判定，故本项不符合题意； 故选：C． 50．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，，则当 时，．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，根据同旁内角互补两直线平行即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵ ∴时，， ∴ 故答案为：． 51．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图：已知∠1＝120°，∠2＝60°，那么图中哪两条直线平行？为什么？ 解：∵∠1＝∠3（　　），∠1＝120°（已知） ∴∠3＝　　（　　） ∵∠2＝60°（已知） ∴∠3+∠2＝180°（　　） ∴　　∥　　（　　） 【答案】对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；AB；DE；同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据等式的性质以及平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝120°（已知）， ∴∠3＝120°（ 等量代换） ∵∠2＝60°（已知） ∴∠3+∠2＝180°（等式的性质） ∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；AB；DE；同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 【易错必刷十八 两直线平行同旁内角互补】 52．（23-24七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．有公共顶点的两个角是邻补角 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．在所有联结两点的线段中，垂线段最短 D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补 【答案】D 【分析】根据邻补角的定义，平行线的定义，点到直线，垂线段最短，平行线的判定和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．有公共顶点的两个角不一定是邻补角，故本选项错误，不符合题意； B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误，不符合题意； C．从直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故本选项错误，不符合题意； D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，故同旁内角互补，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了邻补角、平行线、垂线段的性质以及平行线的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 53．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，直线被直线所截，，已知，则 ．    【答案】 【分析】数形结合，根据对顶角相等及平行线性质求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用平行线性质求角度，熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 54．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】由平行线的性质得到，，再利用补角的性质得到，进而列方程解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，补角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【易错必刷十九 根据平行线的性质探究角的关系】 55．（23-24七年级下·上海静安·期中）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小可能（    ） A．相等或互补 B．相等 C．互补 D．以上都不对 【答案】A 【分析】画出图形，根据平行线的性质，以及邻补角的定义进行分析． 【详解】解：如图所示， 和，和两对角符合条件． ∴，或， 即两个角相等或互补， 故选：A．    【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题时要联想的平行线的性质定理，正确认识其基本图形，就不会忽视互补的情况． 56．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，由对顶角相等得：，，， ∵， ，， ，， 故答案为：． 57．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作， 得（____________）， 因为（____________）， （所作）， 所以（____________）． 得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知）， 所以______°（等式性质）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；； 【分析】过点E作，根据平行公理推出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：过点E作， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， （所作）， 所以（平行于同一直线的两直线互相平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）． 所以（等式性质）． 即， 因为（已知）， 所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线公理以及两直线平行，同旁内角互补． 【易错必刷二十 根据平行线的性质求角的度数】 58．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角是，则另一个角是（　  　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意可分两种情况，进而画出图形，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得： ①如图， ∵，，， ∴； ②如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 59．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果，那么的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】如图，由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 60．（23-24七年级下·上海·期中）如图，直线被直线所截，交点为点G、H，，，垂足为点G，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质、垂直定义及一元一次方程的应用，熟练掌握性质和概念是解题的关键．设，由平行得出，列方程解决． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【易错必刷二十一 平行公理的应用】 61．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交； C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】A 【分析】本题考查了平行的传递性、平行线的性质，对顶角，熟练掌握知识点解答本题的关键． 根据平行的传递性可判断A；根据两直线的位置关系可判断B；根据对顶角的性质可判断C；根据平行线的性质可判断D． 【详解】解：A、根据平行的传递性可知A正确，故本选项符合题意； B、若与相交，与相交，则与可能相交或平行，故本选项不符合题意； C、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意． 故选：A． 62．（23-24七年级下·上海·期中）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是 ．    【答案】/15度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟知平行线的性质与常规三角板套装中三角板的特点是解答此题的关键．过点E作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，求出，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：如图所示，过点E作，    ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 63．（23-24七年级下·上海·期中）如图，已知直线AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数． 解：过点C作FG∥AB 因为FG∥AB，AB∥DE（已知） 所以FG∥DE（　 　） 所以∠B＝∠　 　（　 　） ∠CDE+∠DCF＝180°（　 　） 又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°（已知） 所以∠　 　＝80°（等量代换） ∠DCF＝40°（等式性质）                   所以∠BCD＝　 　． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°． 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：过点C作FG∥AB， 因为FG∥AB，AB∥DE，（已知） 所以 FG∥DE，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） 所以∠B＝∠BCF，（两直线平行，内错角相等 ） ∠CDE+∠DCF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） 又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°，（已知） 所以∠BCF＝80°，（等量代换） ∠DCF＝40°，（等式性质） 所以∠BCD＝40°． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°． 【点睛】本题利用了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【易错必刷二十二 平行公理推论的应用】 64．（23-24七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 65．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，在直线 的同侧有 ，， 三点，若，，那么 ，， 三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理由是 ． 【答案】 是 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到P，Q，R三点在同一条直线上． 【详解】解：∵，， ∴P，Q，R三点在同一条直线上，（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：是；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． 66．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线上，，说明与平行的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性；由可分别得，则；由得，则，由平行的传递性质即可得与平行． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷二十三 平行线的性质在生活中的应用】 67．（2024·上海杨浦·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 68．（23-24七年级下·上海宝山·期中）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴．    故答案为：． 69．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 【易错必刷二十四 根据平行线判定与性质求角度】 70．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，，那么三者之间的关系为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点E作，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 71．（23-24七年级下·上海·期中）如图，，，，那么的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．过作，求出，根据平行线的性质得出，，代入求出即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 72．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质， 先利用同旁内角互补证明，再根据内错角相等证明，再根据平行线的性质即可求解 【详解】解：， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【易错必刷二十五 根据平行线判定与性质证明】 73．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在下列条件中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，利用平行线的判定定理，逐一判断即可得出结论． 【详解】解：、， （同位角相等，两直线平行），故能判定； 、， （内错角相等，两直线平行），故能判定； 、， （同位角相等，两直线平行），故不能判定； 、， （同旁内角互补，两直线平行），故能判定； 故选：C． 74．（23-24七年级下·上海·期中）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是 ． 【答案】∠1+∠2＝90°或互余 【分析】根据平行线的性质可得∠2＝∠CDE，根据垂直的定义可得∠1+∠FDE＝90°，即可求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠CDE． ∵EF⊥BD， ∴∠FED＝90°． ∴∠1+∠FDE＝90°． ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：∠1+∠2＝90°或互余． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 75．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）对于如图给定的图形（不再添线），从①；②；③；④中选取两个作为已知条件，通过说理能得到． (1)你选择的两个条件是______（填序号）； (2)根据你选择的两个条件，说明的理由． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，适当选择解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，选择②③， 故答案为：②③． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【易错必刷二十六 写出命题的题设与结论】 76．（23-24七年级下·上海静安·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 77．（2024七年级下·上海松江·模拟预测）将命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．．，那么．．．．”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是同一个角的补角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 78．（23-24七年级下·上海·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； (2)证明见解析． 【分析】（）根据命题是由两部分组成的， 如果后边跟的是条件， 那么后边跟的是结论，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，这个命题的条件是“两条直线都和同一条直线垂直”，结论是“这两条直线平行”； （）先把原命题用几何语言表达出来，再根据同位角相等两直线平行进行证明即可； 本题主要考查了命题的定义的理解、平行线的判定，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； （2）已知：如图，，， 求证：； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 【易错必刷二十七 判断命题真假】 79．（23-24七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．任何命题都有逆命题 D．“绝对值等于它本身的数是正数”是真命题 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论为互换的命题互为逆命题．利用命题与定理的知识对各项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、任何定理不一定有逆定理，故A说法错误，不符合题意； B、真命题的逆命题不一定是真命题，故B说法错误，不符合题意； C、任何命题都有逆命题，故C说法正确，符合题意； D、绝对值等于它本身的数是正数或0，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 80．（23-24七年级下·上海·期末）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 面积相等的两个三角形全等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断及逆命题的概念，正确写出原命题的逆命题时解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题． 故答案为：面积相等的两个三角形全等；假． 81．（23-24七年级下·上海静安·期中）写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题 (2)同旁内角互补，两直线平行；真命题 【分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可． 【详解】（1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”， 逆命题是真命题； （2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”， 逆命题是真命题． 【点睛】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键． 【易错必刷二十八 写出命题的逆命题】 82．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）关于命题“若，，则”，下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理、逆命题，先判断出原命题的真假，再写出逆命题，再判断真假即可得解． 【详解】解：“若，，则”是真命题，它的逆命题是“若，则，”是假命题， 故选：B． 83．（23-24七年级下·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键． 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可． 【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 84．（23-24七年级下·上海闵行·期末）（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB//CD，则BC//AD．请说明理由． 理由如下： ∵AB//CD（已知）， ∴∠ABE＝∠______（______）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴______（______）． ∴BC//AD（_______）． （2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例． 【答案】（1）C；两直线平行，同位角相等；∠ABE＝∠A；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）问题（1）的逆命题，已知∠A＝∠C，若BC//AD，则AB//CD，它是真命题，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理证明即可； （2）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据平行线的判定定理和性质定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵AB//CD（已知）， ∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝∠A（等量代换）， ∴BC//AD （内错角相等，两直线平行）； （2）问题（1）的逆命题，已知∠A＝∠C，若BC//AD，则AB//CD，它是真命题， 证明：∵BC//AD，（已知）， ∴∠ABE＝∠A（两直线平行，内错角相等）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝∠C（等量代换）， ∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查的是平行的性质和判定，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 【易错必刷二十九 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 85．（23-24七年级下·上海崇明·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 86．（23-24七年级下·上海奉贤·课前预习）实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 87．（23-24七年级下·上海虹口·课后作业）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 【答案】见解析 【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直． 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线； 结论：它们互相垂直．是真命题； 如图，，是邻补角，，分别平分，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相交线与平行线易错必刷题型专训（87题29个考点） 【易错必刷一 两点确定一条直线】 1．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．（2025·上海宝山·模拟预测）同学用两枚钉子就把校运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上，请你用数学知识来解释原理： ． 3．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，小海龟（头朝上）位于图中点处，按下述口令移动：前进格；向右转，前进格；向左转，前进格；向左转，前进格；向右转，后退格；最后向右转，前进格；用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形． 【易错必刷二 平面内两直线的位置关系】 4．（23-24七年级下·上海徐汇·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线； ③两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行； ④不相交的两条射线一定平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2024七年级下·上海嘉定·专题练习）如图，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是 ． 6．（23-24七年级下·上海青浦·单元测试）如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 【易错必刷三 相交线】 7．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 9．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 【易错必刷四 对顶角的定义】 10．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·上海崇明·课后作业）下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 12．（23-24七年级下·上海长宁·单元测试）如图，直线、、交于点，图中出现了几对对顶角，若条直线相交呢？ 【易错必刷五 对顶角相等】 13．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线与交于点平分，那么 °    15．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，∠EOF=90°，∠AOC=36°，求∠BOF的度数 【易错必刷六 垂线的定义理解】 16．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 17．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么 ． 18．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．    【易错必刷七 垂线段最短】 19．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，在线段上连接．若，则线段的长不可能是（    ） A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5 20．（23-24七年级下·上海金山·期中）已知点A为直线上一点，点B在直线外，且A、B两点之间的距离是，如果点B到直线的距离是x，那么x的取值范围是 ． 21．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理． 【易错必刷八 点到直线的距离】 22．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，D是边上一点，且，下列说法中，错误的是（    ）    A．直线与直线的夹角为60° B．直线与直线的夹角为90° C．线段的长是点D到直线的距离 D．线段的长是点B到直线的距离 23．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，点A到直线的距离是线段 的长度，直线到直线的距离是线段 的长度．    24．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知于，于． (1)点到直线的距离是线段_______的长； (2)点到直线的距离是线段_______的长； (3)线段的长表示点到直线_______距离； (4)线段的长表示点到直线_______距离； (5)线段的长表示点_______到直线______距离； (6)线段的长表示点_______到直线______距离； 【易错必刷九 用直尺、三角板画平行线】 25．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 26．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    27．（23-24七年级下·上海宝山·课后作业）如图，请你用直尺和三角尺按下列要求作图（不写作法）． (1)在图①中，过点C作的垂线； (2)在图②中，过点作直线． 【易错必刷十 用反证法证明命题】 28．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 29．（23-24七年级下·上海静安·期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ． 30．（23-24七年级下·上海金山·期末）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 【易错必刷十一 同位角、内错角、同旁内角】 31．（2024七年级下·上海闵行·专题练习）如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 32．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，一共有 对同旁内角． 33．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形ABD的AB边上的高DE． ∠A的同位角是　　． ∠ABD的内错角是 　　． 点B到直线AC的距离是线段 　　的长度． 点D到直线AB的距离是线段 　　的长度． 【易错必刷十二 同位角相等两直线平行】 34．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，下列推理错误的是（　　） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 35．（23-24七年级下·上海杨浦·课后作业）如图，和分别为直线与直线和相交所成的角．如果，那么当 时，可判定．    36．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，请说明AB//EF的理由． 【易错必刷十三 垂直于同一直线的两直线平行】 37．（2024七年级下·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 38．（23-24七年级下·上海宝山·期中）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相 ．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 39．（23-24七年级下·上海金山·期中）已知，，，求证：． 【易错必刷十四 两直线平行同位角相等】 40．（23-24七年级下·上海·期中）如图，，a、b被c所截，得到的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 41．（23-24七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为 ．    42．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 已知，，，试求的度数．    【易错必刷十五 内错角相等两直线平行】 43．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图， 点 D、C分别在、上，相交于点O， 下列条件中，不能判定的是（      ） A． B． ． C． D．． 44．（23-24七年级下·上海·期末）如图，已知∠DEF =100°，请增加一个条件使得ABCD，这个条件可以是 ． 45．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，试说明的理由． 【易错必刷十六 两直线平行内错角相等】 46．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，下列说法中正确的是（     ）    A． B． C． D． 47．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，若，，，那么 ． 48．（23-24七年级下·上海·期中）如图，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC， (1)求∠BAC的度数； (2)求∠PAG的度数． 【易错必刷十七 同旁内角互补两直线平行】 49．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，，则当 时，．    51．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图：已知∠1＝120°，∠2＝60°，那么图中哪两条直线平行？为什么？ 解：∵∠1＝∠3（　　），∠1＝120°（已知） ∴∠3＝　　（　　） ∵∠2＝60°（已知） ∴∠3+∠2＝180°（　　） ∴　　∥　　（　　） 【易错必刷十八 两直线平行同旁内角互补】 52．（23-24七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．有公共顶点的两个角是邻补角 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．在所有联结两点的线段中，垂线段最短 D．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补 53．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，直线被直线所截，，已知，则 ．    54．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知，，，，求的度数． 【易错必刷十九 根据平行线的性质探究角的关系】 55．（23-24七年级下·上海静安·期中）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小可能（    ） A．相等或互补 B．相等 C．互补 D．以上都不对 56．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线，那么图中标记的、、、中一定相等的角是 ． 57．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作， 得（____________）， 因为（____________）， （所作）， 所以（____________）． 得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知）， 所以______°（等式性质）． 【易错必刷二十 根据平行线的性质求角的度数】 58．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角是，则另一个角是（　  　） A． B． C．或 D．或 59．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果，那么的度数是 ． 60．（23-24七年级下·上海·期中）如图，直线被直线所截，交点为点G、H，，，垂足为点G，，，求的度数． 【易错必刷二十一 平行公理的应用】 61．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若， ，则； B．若与相交，与相交，则与相交； C．相等的角是对顶角； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 62．（23-24七年级下·上海·期中）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是 ．    63．（23-24七年级下·上海·期中）如图，已知直线AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数． 解：过点C作FG∥AB 因为FG∥AB，AB∥DE（已知） 所以FG∥DE（　 　） 所以∠B＝∠　 　（　 　） ∠CDE+∠DCF＝180°（　 　） 又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°（已知） 所以∠　 　＝80°（等量代换） ∠DCF＝40°（等式性质）                   所以∠BCD＝　 　． 【易错必刷二十二 平行公理推论的应用】 64．（23-24七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 65．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，在直线 的同侧有 ，， 三点，若，，那么 ，， 三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理由是 ． 66．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图，已知点A在射线上，，说明与平行的理由． 【易错必刷二十三 平行线的性质在生活中的应用】 67．（2024·上海杨浦·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 68．（23-24七年级下·上海宝山·期中）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    69．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【易错必刷二十四 根据平行线判定与性质求角度】 70．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，，那么三者之间的关系为（    ）．    A． B． C． D． 71．（23-24七年级下·上海·期中）如图，，，，那么的度数是 ． 72．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如图，已知，，，求的度数． 【易错必刷二十五 根据平行线判定与性质证明】 73．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，在下列条件中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 74．（23-24七年级下·上海·期中）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，则∠1与∠2的关系是 ． 75．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）对于如图给定的图形（不再添线），从①；②；③；④中选取两个作为已知条件，通过说理能得到． (1)你选择的两个条件是______（填序号）； (2)根据你选择的两个条件，说明的理由． 【易错必刷二十六 写出命题的题设与结论】 76．（23-24七年级下·上海静安·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 77．（2024七年级下·上海松江·模拟预测）将命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．．，那么．．．．”的形式为：如果 ，那么 ． 78．（23-24七年级下·上海·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【易错必刷二十七 判断命题真假】 79．（23-24七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．任何命题都有逆命题 D．“绝对值等于它本身的数是正数”是真命题 80．（23-24七年级下·上海·期末）写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 81．（23-24七年级下·上海静安·期中）写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【易错必刷二十八 写出命题的逆命题】 82．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）关于命题“若，，则”，下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 83．（23-24七年级下·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 84．（23-24七年级下·上海闵行·期末）（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB//CD，则BC//AD．请说明理由． 理由如下： ∵AB//CD（已知）， ∴∠ABE＝∠______（______）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴______（______）． ∴BC//AD（_______）． （2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例． 【易错必刷二十九 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 85．（23-24七年级下·上海崇明·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 86．（23-24七年级下·上海奉贤·课前预习）实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ． 87．（23-24七年级下·上海虹口·课后作业）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$