专题04 平行线中的四大基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题04 平行线中的四大基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优） 题型一 平行线基本模型之M模型 题型二 平行线四大模型之铅笔模型 题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型 题型四 平行线四大模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型的拓展 【经典例题一 平行基本模型之M模型】 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 【例1】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）25°；（2）垂直，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补． （1）先得出，根据平行线的性质得出，，进而得出，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的性质得出，进而得出，再推出，得出，证得结论； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴；  （2）与的位置关系是垂直． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 1．（23-24七年级下·上海崇明·单元测试）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）C；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质及角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及等式的的性质求解即可； （2）过点作，再根据平行线的性质与判定求解； （3）利用（1）（2）的结论及角平分线的定义求解． 【详解】解：（1）， ，， ， 故选：C； （2）． 理由：过点作，点在点的左侧， ． ， ， ， ； （3）． 理由：，分别平分和， ，． 由（1）可得， ， 即． 由（2）可得， ． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 3．（23-24七年级下·上海宝山·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，求的度数． ②如图③，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点，平分，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析． (2)①，②． 【分析】（1）过E作ETAB，由ABCD，得ETABCD，即有∠B=∠BET，∠D=∠DET，即可得∠BED=∠B+∠D； （2）①同（1）方法可知：∠AEC=∠BAD+∠BCD，即知∠AEC=116°=∠BED，根据EF平分∠BED，即得答案； ②延长DH交AG于K，由DGCB，∠BCD=80°，得∠CDG=100°，而DH平分∠CDG，即得∠CDH=∠CDG=50°，又ABCD，可得∠AKD=130°，根据∠BAD=36°，AH平分∠BAD，得∠KAH=∠BAD=18°，即可得∠AHD=148°． 【详解】（1），理由如下： 如图1：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）①同（1）方法可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ②延长DH交AG于K，如图3： ∵DGCB， ∴∠BCD+∠CDG=180°， ∵∠BCD=80°， ∴∠CDG=100°， ∵DH平分∠CDG， ∴∠CDH=∠CDG=50°， ∵ABCD， ∴∠CDH+∠AKD=180°， ∴∠AKD=130°， ∵∠BAD=36°，AH平分∠BAD， ∴∠KAH=∠BAD=18°， ∴∠AHK=180°-∠KAH-∠AKH=32°， ∴∠AHD=180°-∠AHK=148°， ∴ 故答案为：148． 【点睛】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用． 【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】（23-24七年级下·上海奉贤·期末）【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点．若，求的度数． 【问题解决】 （1）请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点作． （_____）． ， ． ， （_____）． ． ， ． ． 【迁移应用】 （2）如图③，、分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点、．是线段上一点，连结、．若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意直接利用平行线的性质进行填空即可； （2）过点作，进一步利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图②，过点作． （两直线平行，同旁内角互补）． ， ． ， （平行于同一直线的两直线平行）． ． ， ． ． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一直线的两直线平行；；100； （2）如图，过点作， ， ， ， ， ． 1．（2024七年级下·上海长宁·专题练习）（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 【答案】（1），理由见详解；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线之后，将分散的角集中起来，是解决问题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质即可求出得，，问题得解； （2）根据（1）中的结论，即可得到结果． 【详解】解：（1），理由如下： 过点作， ． 又， ， ， ， 即， （2）根据（1）中的结论， 可得出． 过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 即． 2．（2024七年级下·上海闵行·专题练习）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 3．（2024七年级下·上海青浦·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ (2)，见解析 (3)图中，图中 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据平行线的性质补充完整即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点作，如图所示， 所以 (①两直线平行，同旁内角互补)． 因为，， 所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)， 所以 (③两直线平行，同旁内角互补)， 所以④，即． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ （2）解：猜想． 理由：过点P作，如图所示， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以，即； （3）解：图中，图中． 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴； 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴． 4．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】 【例3】（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 1．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 2．（23-24七年级下·上海青浦·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24七年级下·上海青浦·单元测试）已知：CD，点E、F分别在、上，M为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3) 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）过M向左作，利用平行线的性质得到，，然后利用角的和差解题即可； （2）设直线、交于点G，由（1）得，，，过F作，则有，然后根据解题即可； （3）设，则有，过点T向右作，可得，由（1）得，可以求出，进而计算，即可求比值． 【详解】（1）过M向左作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）设直线、交于点G， ∵平分， ∴， 设 ∵， 由（1）得，， ∴， 由（1）得，， ∴， 过F作，则，， ∴， 于是得，，解得， ∴. （3）设， ∵平分， ∴， 过点T向右作， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴. 【经典例题四 平行基本模型之“骨折”模型】 【例4】（2024七年级下·上海金山·专题练习）【信息阅读】 材料信息： 如图①，，点是直线，外任意一点，连接，． 方法信息： 如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数． 解：过点作． ． ， ． ． ． 【问题解决】 (1)通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：___________； (2)如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质探究角的关系． （1）过点作，根据平行线的判定以及性质可得出，，再根据角和和差关系即可得出． （2）过点作，根据平行线的判定以及性质可得出，，再根据角和和差关系即可得出． 【详解】（1）解∶过点作． 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为∶ （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（2024七年级下·上海徐汇·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 2．（23-24七年级下·上海金山·课后作业）（1）如图，点G在上，与平行吗？说明理由． （2）在（1）的条件下，平分平分，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）平行，见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是： （1）根据两个角的度数得到，再根据同旁内角互补得到，两直线平行即可证明； （2）根据平行线的性质得到，结合角平分线得到，，继而得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：（1）平行． ∵， ∴， ∴； （2）平行．∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴，得， ∴． 3．（23-24七年级下·上海静安·随堂练习）如图． (1)已知，，平分，与平行吗？为什么？ 解：．理由如下： 因为，平分（已知）， 所以（__________）， 又因为（已知）， 所以____________________， 所以（__________）． (2)已知，平分，与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)平行，理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据同位角相等，两直线平行即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义，，，内错角相等，两直线平行； （2）解：平行．理由如下： ∵EF平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 4．（2024七年级下·上海青浦·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 【经典例题五 平行线基本模型的拓展】 【例5】（23-24七年级下·上海金山·单元测试）如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 1．（23-24七年级下·上海徐汇·单元测试）探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作， (1)求证：． (2)在图2中，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角之间的数量关系为______．（直接填空） ②如图4，，分别平分，．则与之间的数量关系为______．（直接填空） 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)①② 【分析】本题主要考查平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）通过平行线可得，，再根据角的和差即可得证； （2）过点作，交于点，通过平行线可得同旁内角互补，进而可以得出答案； （3）①过点作，通过平行线可得，，进而可以得出答案； ②过点作，过点作，由角平分线得，，由平行线得出，，，，再由角的和差和等量代换即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ． （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， ， ， ，， ， ． （3）①过点作， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． ②如图，过点作，过点作， ，分别平分，， ，， ， ， ，，，， ， ． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)不发生变化，的度数为 (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； ②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：①过点作， ， ， ，， 又， ， ； ②过点C作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，，理由为： 由②可得，， 、的角平分线交于点， ， 过点作，则， ，， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 的度数为或． 3．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧． (1)如图1，当，时， ①若平分，平分，则________； ②若，，则________； ③若，，则________． (2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若平分，平分，当，时，求的度数； ②若，，当，时，求的度数． 【答案】(1)①；②； (2) (3)①；② 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义． （1）①分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论；②同理①，即可求解；③同理①，即可求解； （2）如图，作射线，分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论； （3）①结合（2）中结论，再利用角平分线的定义即可求解；②同理①，即可求解． 【详解】（1）解：①分别过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， ； ②同理①得：， ，， ； ③同理①得：， ，，， ； （2）解：，理由如下： 如图，作射线，分别过点作， 则， ， ， ， ， 即原图中：， （3）解： 由（2）可得：，， 平分，平分， ， ， 即， ， ； ②，， ，， ， 同理①的：， ，即， ． 4．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，则，即可求证；②根据光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，得出，即可解答； （2）根据题意推出，过点C作，则，推出，易得，则，根据直角三角形连锐角互补即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶． （2）解：∵是与入射镜筒壁平行，， ∴， ∴， 过点C作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 1．（23-24七年级下·上海松江·单元测试）如图，，则（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，分别过点作，可得，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，即可解答． 【详解】解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作，过H作，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过E作，过H作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故选：B．    【点睛】此题考查平行线的性质和平行公理的推论，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质容易得出答案． 【详解】解： ， ，即， ． ， ， ， ． 故答案为：A． 4．（2024·上海金山·模拟预测）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A．72° B．62° C．18° D．36° 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 过点B作射线，根据平行线的性质与判定先求得，再利用平行线的性质即可求得． 【详解】解：过点B作射线 ∵ ∴ 由图可知， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：A． 5．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E =∠A +∠C;③如图3，ABCD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，ABCD，则∠A=∠C +∠P．以上结论正确的个数是(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E作直线， ∵，∴， ∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误； ②过点E作直线， ∵， ∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C， ∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确； ③过点E作直线， ∵，∴， ∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°， 即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确； ④如图，过点P作直线， ∵，∴， ∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC， ∵∠FPA=∠FPC+∠CPA， ∴∠1＝∠C＋∠CPA， ∵ABCD，∴∠A＝∠1， 即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确． 综上所述，正确的小题有②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 6．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）假日，小明和爸爸驾车去山区旅游，汽车经过A、B、C三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，过作，根据平行线的性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：过作，由题意可得，， ∵，， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，过作，则，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作，    又∵， ∴， ∴，， ， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则 ；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，平分线的定义等知识，过点作，过点作，则可证出，再根据角平分线定义可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作． ，． ， ． ，， ． 平分，平分， ， ， ． 同理可得， ，， …， 以此类推， 故答案为：；；． 9．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图①，，则； 如图②，，则； 如图③，，则； 如图④，，，则第个图中的 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，根据两直线平行，同旁内角互补得出规律，即可求解． 【详解】解：如图①，， ； 如图②，过作， ， ， ，， ； 如图③，过作，过作， ， ， ，，， ， 第个图中的， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，直线，为直线上一点，，分别交直线于点，M，平分，，垂足为点，． （1） （填“”或“”或“”），理由是 ； （2） （用含的式子表示）． 【答案】 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线段最短解答； （2）根据两直线平行，同位角相等表示出，再根据角平分线的定义表示出，然后表示出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】（1）， ，理由是垂线段最短； （2）， ， 平分， ， ， 在中，． 故答案为： ，垂线段最短， 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线段最短的性质，是基础题，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 11．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， ， 12．（23-24七年级下·上海金山·期中）已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过点作，根据平行线的性质得，再由垂直的定义得答案； （2）过作，过作，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差得，便可求得结果； （3）过作，过作，设，，通过平行线的性质，和角平分的定义及角的和差，得出，，由，便可求得结果． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：如图2，过作，过作， ， ， ，，，， 平分，平分， ，， ， ， ； （3）解：．理由如下： 如图3，过作，过作， 设，， 平分， ， ， ，， ，， ，，， ，，， ， 则， 平分， ， ， ， 又， 则， ，，且， ， ， ， ， ． 13．（23-24七年级下·上海松江·期中）问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图所示的样子，并提出了一个问题： ，，，求的度数． 小康的解法如下： 解：如图，过点作． ， （根据1）． ， （根据2）． (1)按照上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程． (2)聪明的小明在图的基础上，将图改变为图，其中，，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根据平行性的性质求角度、平行公理推论等知识． （1）根据求出，再求出．即可求出； （2）过点P作，过点Q作，根据得到，即可得到，，．再分别求出，，，即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：过点P作，过点Q作， ∵， ∴， ∴，，． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． 14．（23-24七年级下·上海静安·期中）【问题背景】 如图，已知，点C在，之间，连接，． 【问题发现】（1）如图1，过点C作，若，，求的度数； 【研究拓展】（2）如图2，平分，平分，延长交于点P，，设，过点C作，交于点M． ①若，求的度数； ②求与的数量关系． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质进行求解即可； （2）①根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出结果； ②根据解析①的思路进行求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 所以，， 所以． （2）①因为，且， 所以，， 因为平分， 所以， 因为，， 所以， 所以，， 因为平分， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． ②因为，， 所以，． 因为平分， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以． 15．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图1，点E在上，点F在上，点M在直线之间，且，    (1)求证：； (2)如图2所示，点M、N在之间，且位于的异侧，连，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． (3)如图3，连接，；，且平分．若，与的三等分线交于N，则__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）过点作，则，再由得出，从而证明，即可证明结论； （2）过点作，过点作，则，可得，，，从而推出，再根据等量代换即可得出结论； （3）根据平行线的性质，分和两种情况，证明即可． 【详解】（1）如图1，过点作，    ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． （2），理由如下： 如图2，过点作，过点作，    ∵，，， ∴． ∴，，． ∴， ． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）或； 分两种情况： ①当时，如图3-1，过点作，过点作，    ∵平分，， ∴，． ∵，，， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴， ∵，，， ∴． ∴，． ∴． ②当时，如图3-2，过点作，过点作，    同理可得：，． ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判断和性质，正确作出辅助线利用平行线的判定和性质证明是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行线中的四大基本模型专项训练（5大题型+15道拓展培优） 题型一 平行线基本模型之M模型 题型二 平行线四大模型之铅笔模型 题型三 平行线四大模型之“鸡翅”模型 题型四 平行线四大模型之“骨折”模型 题型五 平行线基本模型的拓展 【经典例题一 平行基本模型之M模型】 【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 结论3的模型也称为锯齿模型； 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型 【例1】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 1．（23-24七年级下·上海崇明·单元测试）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本中的一道习题： 如图①，如果，那么（  ）           【类比探究】 （2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图②，不变，当点移动到点的位置时，请写出，，之间的等量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图③，将图①的部分与图②重合，不变，当，分别平分和时，请写出与之间的等量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 3．（23-24七年级下·上海宝山·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 4．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，求的度数． ②如图③，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点，平分，平分，直接写出的度数． 【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】 【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n 【例2】（23-24七年级下·上海奉贤·期末）【问题提出】如图①，和的边与互相平行，边与交于点．若，求的度数． 【问题解决】 （1）请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点作． （_____）． ， ． ， （_____）． ． ， ． ． 【迁移应用】 （2）如图③，、分别是边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点、．是线段上一点，连结、．若，求的度数． 1．（2024七年级下·上海长宁·专题练习）（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 2．（2024七年级下·上海闵行·专题练习）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 3．（2024七年级下·上海青浦·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 4．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】 【例3】（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 1．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 2．（23-24七年级下·上海青浦·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 3．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 4．（23-24七年级下·上海青浦·单元测试）已知：CD，点E、F分别在、上，M为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为 ． 【经典例题四 平行基本模型之“骨折”模型】 【例4】（2024七年级下·上海金山·专题练习）【信息阅读】 材料信息： 如图①，，点是直线，外任意一点，连接，． 方法信息： 如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数． 解：过点作． ． ， ． ． ． 【问题解决】 (1)通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：___________； (2)如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 1．（2024七年级下·上海徐汇·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 2．（23-24七年级下·上海金山·课后作业）（1）如图，点G在上，与平行吗？说明理由． （2）在（1）的条件下，平分平分，判断与的位置关系，并说明理由． 3．（23-24七年级下·上海静安·随堂练习）如图． (1)已知，，平分，与平行吗？为什么？ 解：．理由如下： 因为，平分（已知）， 所以（__________）， 又因为（已知）， 所以____________________， 所以（__________）． (2)已知，平分，与平行吗？为什么？ 4．（2024七年级下·上海青浦·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【经典例题五 平行线基本模型的拓展】 【例5】（23-24七年级下·上海金山·单元测试）如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 1．（23-24七年级下·上海徐汇·单元测试）探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作， (1)求证：． (2)在图2中，猜想与，之间的数量关系，并说明理由． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角之间的数量关系为______．（直接填空） ②如图4，，分别平分，．则与之间的数量关系为______．（直接填空） 2．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 3．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧． (1)如图1，当，时， ①若平分，平分，则________； ②若，，则________； ③若，，则________． (2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若平分，平分，当，时，求的度数； ②若，，当，时，求的度数． 4．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 1．（23-24七年级下·上海松江·单元测试）如图，，则（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 2．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·上海金山·模拟预测）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A．72° B．62° C．18° D．36° 5．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E =∠A +∠C;③如图3，ABCD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，ABCD，则∠A=∠C +∠P．以上结论正确的个数是(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）假日，小明和爸爸驾车去山区旅游，汽车经过A、B、C三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，，则等于 ． 7．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    8．（23-24七年级下·上海静安·期末）如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则 ；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则 ， ． 9．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图①，，则； 如图②，，则； 如图③，，则； 如图④，，，则第个图中的 ．（用含的代数式表示） 10．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，直线，为直线上一点，，分别交直线于点，M，平分，，垂足为点，． （1） （填“”或“”或“”），理由是 ； （2） （用含的式子表示）． 11．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 12．（23-24七年级下·上海金山·期中）已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 13．（23-24七年级下·上海松江·期中）问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图所示的样子，并提出了一个问题： ，，，求的度数． 小康的解法如下： 解：如图，过点作． ， （根据1）． ， （根据2）． (1)按照上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程． (2)聪明的小明在图的基础上，将图改变为图，其中，，，，求的度数． 14．（23-24七年级下·上海静安·期中）【问题背景】 如图，已知，点C在，之间，连接，． 【问题发现】（1）如图1，过点C作，若，，求的度数； 【研究拓展】（2）如图2，平分，平分，延长交于点P，，设，过点C作，交于点M． ①若，求的度数； ②求与的数量关系． 15．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图1，点E在上，点F在上，点M在直线之间，且，    (1)求证：； (2)如图2所示，点M、N在之间，且位于的异侧，连，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． (3)如图3，连接，；，且平分．若，与的三等分线交于N，则__________（用含的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$