专题03 命题与证明重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题03 命题与证明重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 写出命题的逆命题 题型六 判断是否为互逆命题 题型七 写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型八 已知证明过程填写理论依据 题型九 根据给出的论断组命题并证明 知识点01 逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题 知识点02 命题 ①命题：判断一件事情的语句叫作命题. ②真命题与假命题：正确的命题叫作真命题,错误的命题叫作假命题. ③命题的写法： 数学命题通常由条件、结论两部分组成,命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.用“如果”开始的部分是条件,用“那么”开始的部分是结论. 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（23-24七年级下·上海金山·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 1．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有 ；是真命题的有 ．（只填序号） 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn． （1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题? （2）写出一个真命题，并证明． 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 【例2】（23-24七年级下·上海崇明·期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 1．（24-25七年级下·上海奉贤·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 2．（2024七年级下·江苏·专题练习）将命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．．，那么．．．．”的形式为：如果 ，那么 ． 3．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【经典例题三 判断命题真假】 【例3】（24-25七年级下·上海虹口·期中）下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果，那么 C．若，则，， D．若，则 2．（2024七年级下·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 3．（24-25七年级下·上海杨浦·课后作业）已知命题“绝对值相等的两个数互为相反数”． (1)将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断该命题的真假 【经典例题四 举例说明假（真）命题】 【例4】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）能说明命题“若，则”为假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）用一组a，b的值说明“若a>b，则a2>b2”是假命题，若小亮取a=3，则b= ． 3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； (3)如果，那么． 【经典例题五 写出命题的逆命题】 【例5】（24-25七年级下·上海徐汇段练习）下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A．等边三角形的三个内角都相等 B．全等三角形的对应角相等 C．若，，则 D．对顶角相等 1．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一定能被整除；③末位数是的数，能被整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24七年级下·上海崇明·期末）下列命题中，其逆命题成立的是 ．（填上正确的序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上； ⑤等边三角形是锐角三角形． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期中）（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    【经典例题六 判断是否为互逆命题】 【例6】（23-24八年级·上海金山·课后作业）下列命题的逆命题错误的是（    ）. A．对顶角相等 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．在一个三角形中，等边对等角 D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 1．（23-24七年级下·上海宝山·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 2．（23-24七年级下·上海徐汇·假期作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 3．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【经典例题七 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例7】（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 1．（23-24七年级下·上海松江·课后作业）（1）命题是由 和 两部分组成. （2）命题的题设是 事项，结论是由 推出的事项. 2．（23-24七年级下·上海虹口·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据． 已知：如图，．求证：． 证明：延长交于点，则 ．（             ） 又∵， ∴_______，（等量代换） ∴．（                   ）    【经典例题八 已知证明过程填写理论依据】 【例8】（23-24七年级下·全国·课后作业）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 1．（23-24七年级下·上海闵行·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 2．（23-24七年级下·上海长宁·课后作业）如图所示，，那么 ，依据是 ． 3．（23-24七年级下·上海静安·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【经典例题九 根据给出的论断组命题并证明】 【例9】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）下列问题你不能肯定的是（    ） A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系 C．三角形的内角和 D．边形的外角和 2．（23-24七年级下·上海嘉定·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 3．（23-24七年级下·上海宝山·课后作业）如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①． （1）在构成的三个命题中，真命题有________个； （2）请选择其中一个真命题加以证明． 1．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）下列命题，是真命题的是（   ） A．自然数都大于0 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．若，则 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24七年级下·上海静安·期中）命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 4．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（    ） （1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； （2）对顶角相等； （3）在三角形中，相等的角所对的边也相等； （4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个 5．（23-24七年级下·上海崇明·单元测试）已知下列命题：若，则；若，则；内错角相等；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．其中原命题与逆命题均为真命题的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（23-24七年级下·上海长宁·期末）命题“若，则．”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 7．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）同角的余角相等的逆命题是 ，它是一个 命题（填“真”或“假”） 8．（23-24七年级下·上海奉贤·课后作业）请写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的题设和结论： 题设： ； 结论： ． 9．（23-24七年级下·上海金山·期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号） ①如果ab，，那么；     ②如果，，那么； ③如果ab，cb，那么ac；       ④如果，，那么bc． 10．（23-24七年级下·上海松江·课后作业）如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明． 条件： ； 结论： ．（填序号） 11．（2025七年级下·上海虹口·专题练习）在学习中，小明发现：当时，的值都是负数．于是小明猜想：当为任意正整数时，的值都是负数．判断小明的猜想是真命题还是假命题，并说明你的理由． 12．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 13．（23-24七年级下·上海静安·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 14．（24-25七年级下·上海宝山·课后作业）如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 15．（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 命题与证明重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 写出命题的逆命题 题型六 判断是否为互逆命题 题型七 写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型八 已知证明过程填写理论依据 题型九 根据给出的论断组命题并证明 知识点01 逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题 知识点02 命题 ①命题：判断一件事情的语句叫作命题. ②真命题与假命题：正确的命题叫作真命题,错误的命题叫作假命题. ③命题的写法： 数学命题通常由条件、结论两部分组成,命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.用“如果”开始的部分是条件,用“那么”开始的部分是结论. 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（23-24七年级下·上海金山·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 1．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据命题的定义分别对各语句进行判断． 【详解】解：“同角的补角相等”是命题，“雪是白的”是命题；“画∠AOB=Rt∠”不是命题；“他是小张吗？”不是命题；“两直线相交只有一个交点”是命题． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 2．（23-24七年级下·上海松江·期中）下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有 ；是真命题的有 ．（只填序号） 【答案】 ①②⑤ ②⑤ 【分析】判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，根据定义依次分析解答． 【详解】解：①同旁内角相等是命题，是假命题； ②如果，那么是命题，是真命题； ③对顶角相等吗？不是命题； ④画线段不是命题； ⑤两点确定一条直线是命题，是真命题． 故答案为：①②⑤，②⑤． 【点睛】此题考查命题的定义，真命题的定义，熟记相关性质是解题的关键． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn． （1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题? （2）写出一个真命题，并证明． 【答案】（1）3个；（2）见解析 【分析】（1）直接利用命题的定义进而得出答案； （2）结合平行线的判定与性质分别分析得出答案． 【详解】（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②． （2）以上3个命题都是真命题． (i)∵∠AFE=∠FED， ∴b∥c， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∵∠BAC=∠BDC， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴m∥n； (ii)∵∠AFE=∠FED， ∴b∥c， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∵m∥n， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴∠BAC=∠BDC； (iii)∵m∥n， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∵∠BAC=∠BDC， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∴b∥c， ∴∠AFE=∠FED． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 【例2】（23-24七年级下·上海崇明·期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（  ） A．垂直 B．两条直线互相平行 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论． 【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”． 故选：D． 【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断． 1．（24-25七年级下·上海奉贤·课后作业）下列描述是定义的是（   ） A． B．不相交的两条线段是平行线 C．用“”连接而成的式子叫作等式 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义问题，定义是由三部分组成：被定义项、定义项和定义联项，能区别语句中的定义，定理，作图语句是解题关键．据此逐一判断即可． 【详解】解：A.是数学语言，不是定义，故该选项不符合题意； B. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故该选项不符合题意； C. 用“”连接而成的式子叫作等式是定义，故该选项符合题意； D. 同角的补角相等是定理不是定义，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024七年级下·江苏·专题练习）将命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．．，那么．．．．”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是同一个角的补角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 3．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【分析】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 【经典例题三 判断命题真假】 【例3】（24-25七年级下·上海虹口·期中）下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果，那么 C．若，则，， D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键． 先写出逆命题，后逐一判断正误即可． 【详解】解：A．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故A不符合题意； B．选项逆命题为：如果，那么，根据还可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．选项逆命题为：，，，那么，根据条件，无法判定，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故D符合题意； 故选：D 2．（2024七年级下·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·课后作业）已知命题“绝对值相等的两个数互为相反数”． (1)将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断该命题的真假 【答案】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数 (2)假命题 【分析】本题主要考查了真假命题，绝对值等知识， （1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论解答即可； （2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可； 熟练掌握命题的定义并能灵活判定真假是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵“绝对值相等的两个数互为相反数” ∴此命题可改写成如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数； （2） 解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数；是假命题， 反例：，但，这两个数不互为相反数，是假命题． 【经典例题四 举例说明假（真）命题】 【例4】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）能说明命题“若，则”为假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断假命题举反例等知识点，掌握举反例的方法是解题的关键．然后根据举反例的方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、B选项符合，也符合，不符合题意； C选项既不符合，也不符合，不符合题意； D. 符合，但不符合，符合题意． 故选D． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的外角性质即可判断． 【详解】、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是钝角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是假命题，此选项符合题意； 、∠是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）用一组a，b的值说明“若a>b，则a2>b2”是假命题，若小亮取a=3，则b= ． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】找出一个小于3的值，使a2＜b2即可得答案． 【详解】当b=-4时， ∵3＞-4，32＜42， ∴“若a>b，则a2>b2”是假命题， 故答案为：-4 【点睛】本题考查命题，正确找出反例是解题关键． 3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； (3)如果，那么． 【答案】(1)假命题．反例：，，但，不是锐角（举反例不唯一） (2)真命题 (3)假命题．反例：，有，但（举反例不唯一） 【分析】本题主要考查了命题，锐角的性质，平行线的性质，等式的性质等知识点， （1）通过举反例即可得解； （2）由平行线的公理可得解； （3）通过举反例即可得解； 熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：假命题．反例：，，但，不是锐角（举反例不唯一）； （2）解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是公理，是真命题； （3）解：假命题．反例：，有，但（举反例不唯一）． 【经典例题五 写出命题的逆命题】 【例5】（24-25七年级下·上海徐汇段练习）下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A．等边三角形的三个内角都相等 B．全等三角形的对应角相等 C．若，，则 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题与逆命题、真命题与假命题：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．解决本题的关键是分别写出这四个命题的逆命题，再判断逆命题的真假． 【详解】解：A选项：命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是“三个内角都相等的的三角形是等边三角形”，逆命题为真命题，故A选项符合题意； B选项：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定是全等三角形，所以这个逆命题是假命题，故B选项不符合题意； C选项：命题“，，则”的逆命题是“若，则，”，当时，有可能是、异号并且正数的绝对值大，所以这个逆命题是假命题，故C选项不符合题意； D选项：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，两个角相等不一定是对顶角，所以这个逆命题是假命题，故D选项不符合题意． 故选：A． 1．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一定能被整除；③末位数是的数，能被整除；④对顶角相等．逆命题是假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，命题的真假，先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可，正确写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②偶数一定能被整除的逆命题是能被整除的是偶数，是真命题； ③末位数字是的数，能被整除的逆命题是能被整除的数，末位数字是，是假命题，因为末尾数也可以是； ④对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； ∴逆命题是假命题的个数是个， 故选：． 2．（23-24七年级下·上海崇明·期末）下列命题中，其逆命题成立的是 ．（填上正确的序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上； ⑤等边三角形是锐角三角形． 【答案】①④ 【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断正误即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意； ②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为相等的两个角都是直角，不成立，不符合题意； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为平方相等的两个实数相等，不成立，不符合题意； ④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题为角平分线上的点到角的两边的距离相等，成立，符合题意； ⑤等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意； 成立的有①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期中）（1）已知：如图①，，求证：．    （2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　 （3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．    【答案】（1）见解析；（2）如果，那么；（3）或或，示意图见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线性质可证得，从而得出结论； （2）写出命题的逆命题即可； （3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点P作，   ， 又， ， ， ； （2）如果，那么，的逆命题为：如果，那么， 故答案为：如果，那么； （3）①如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ； ②如图，，理由如下：过点P作，     ， ， ， ， ， ； ③如图，，理由如下：过点P作，   ， ，， ， ， ， ． 【经典例题六 判断是否为互逆命题】 【例6】（23-24八年级·上海金山·课后作业）下列命题的逆命题错误的是（    ）. A．对顶角相等 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．在一个三角形中，等边对等角 D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【答案】A 【分析】根据互逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据相关定理判断即可． 【详解】A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误； B、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的任意一点在线段垂直平分线上，逆命题正确； C、在一个三角形中，等边对等角的逆命题是在一个三角形中，等角对等边，逆命题正确； D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆命题是到一个角的两边的距离相等的点在这个角平分线上，逆命题正确； 故选A． 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 1．（23-24七年级下·上海宝山·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 2．（23-24七年级下·上海徐汇·假期作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 3．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【经典例题七 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例7】（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 1．（23-24七年级下·上海松江·课后作业）（1）命题是由 和 两部分组成. （2）命题的题设是 事项，结论是由 推出的事项. 【答案】 题设 结论 已知 已知事项 【分析】根据命题的定义可得：命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项. 【详解】根据命题的定义可得： （1）命题是由题设和结论两部分组成. （2）命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 故答案是：题设,结论, 已知,已知事项. 【点睛】考查了命题的定义的理解：命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项. 2．（23-24七年级下·上海虹口·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据． 已知：如图，．求证：． 证明：延长交于点，则 ．（             ） 又∵， ∴_______，（等量代换） ∴．（                   ）    【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；内错角相等，两直线平行 【分析】第一个空是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空根据等量代换得出，第三个空是平行线的判定． 【详解】解：延长交于点，则 ．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵， ∴，（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查推理与证明，解题的关键是掌握推理与证明过程中理由的书写，平行线的性质和三角形外角的定理． 【经典例题八 已知证明过程填写理论依据】 【例8】（23-24七年级下·全国·课后作业）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系即可得到答案. 【详解】解：如图，    根据两点之间线段最短，即可判断：， ∴三角形的任意两边之和大于第三边； 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记性质. 1．（23-24七年级下·上海闵行·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 2．（23-24七年级下·上海长宁·课后作业）如图所示，，那么 ，依据是 ． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 3．（23-24七年级下·上海静安·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 【经典例题九 根据给出的论断组命题并证明】 【例9】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，分析判断即可得到答案. 【详解】解：A、直角三角形两个锐角度数不明确，不能比较大小，故本项错误； B、由两边和大于第三边，得到，本项正确； C、由，则，本项正确； D、由勾股定理可知，，本项正确； 故选择：A. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质. 1．（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）下列问题你不能肯定的是（    ） A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系 C．三角形的内角和 D．边形的外角和 【答案】B 【详解】试题解析：A. 二者大小关系一目了然，能肯定； B. 二者面积大小关系不确定，不能肯定； C. 能用三角形的内角和定理判断，能肯定； D. 能用多边形的外角和判断，能肯定； 故选B. 2．（23-24七年级下·上海嘉定·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 3．（23-24七年级下·上海宝山·课后作业）如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①． （1）在构成的三个命题中，真命题有________个； （2）请选择其中一个真命题加以证明． 【答案】（1）2；（2）选择①②③，见解析. 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS，ASA即可判断； （2）选择①②③，根据全等三角形的判定定理AAS，得到，然后即可得到. 【详解】解：（1）①②③，满足全等三角形判定定理AAS，是真命题； ①③②，满足全等三角形判定定理ASA，是真命题； ②③①，是SSA，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题； 故答案为2； （2）选择①②③． 证明：在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键. 1．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）下列命题，是真命题的是（   ） A．自然数都大于0 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查命题的判断，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理进行判断即可． 【详解】解：自然数包括正数、负数和，故选项A是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项B是真命题； 两直线平行，同位角相等，故选项C是假命题； 若，则或，故选项D是假命题； 故选B． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论．再根据选项解答即可． 【详解】解：A、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故A选项不符合题意； B、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故B选项不符合题意； C、满足条件“与互补”，不满足结论“”， 故C选项符合题意； D、不满足条件“与互补”， 也不满足结论，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·上海静安·期中）命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 【答案】B 【分析】根据命题由题设和结论组成，把条件“两个角是同角的余角”写在如果的后面，把结论“这两个角相等”写在那么的后面即可． 【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是“如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等”． 故选B． 【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（    ） （1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； （2）对顶角相等； （3）在三角形中，相等的角所对的边也相等； （4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个 【答案】C 【分析】先写出逆命题，再判断真假，熟练掌握逆命题的写法，正确判断是解题的关键． 【详解】（1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是：到到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确； （2）对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对等角，错误； （3）在三角形中，相等的角所对的边也相等的逆命题是：在三角形中相等的边所对的角相等，正确； （4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是：角平分线上的点到角的两边距离相等，正确． 故选：C． 5．（23-24七年级下·上海崇明·单元测试）已知下列命题：若，则；若，则；内错角相等；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．其中原命题与逆命题均为真命题的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据所学知识，逐一判断解答即可． 本题考查了命题，逆命题，真命题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①“若，则”是假命题，∵当时，不成立； 其逆命题“若，则”也是假命题，∵只有当时，结论才成立； ②当时，，故“若，则”是真命题， 其逆命题“若，则”是假命题，∵当时，也成立； ③“内错角相等”是假命题，∵只有两直线平行时，其内错角才相等， 其逆命题“若两个角相等，则这两个角是内错角”是假命题， ∵两个相等的角不一定是内错角； ④“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”是真命题，是勾股定理， 其逆命题“若两条直角边的平方和等于斜边的平方，则这个三角形是直角三角形”也是真命题，是勾股定理的逆定理； 综上所述，原命题与逆命题均为真命题的只有④，1个. 故选A. 6．（23-24七年级下·上海长宁·期末）命题“若，则．”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】写出该命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：命题“若，则．”的逆命题是若a＞b，则， 例如：当a=3，b=-2时错误，为假命题， 故答案为假． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是交换命题的题设写出该命题的逆命题． 7．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）同角的余角相等的逆命题是 ，它是一个 命题（填“真”或“假”） 【答案】 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角， 假. 【分析】先把同角的余角相等写成“如果…那么…”的形式，然后交换题设和结论即可得到逆命题，再判断其真假． 【详解】解：“同角的余角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角”， 故答案为如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，假. 【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 8．（23-24七年级下·上海奉贤·课后作业）请写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的题设和结论： 题设： ； 结论： ． 【答案】 在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线 这两条直线平行 【解析】略 9．（23-24七年级下·上海金山·期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号） ①如果ab，，那么；     ②如果，，那么； ③如果ab，cb，那么ac；       ④如果，，那么bc． 【答案】①③④ 【分析】分别根据每种情况画出符合条件的图形，再结合垂直的定义，平行线的判定逐一判断即可． 【详解】解：如图，ab，， 则，故①符合题意； 如图，，， 则 故②不符合题意；④符合题意； 如图，ab，cb， 则ac；故③符合题意； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查的是平面内直线与直线的位置关系，平行线的性质，垂直的定义，命题真假的判断，掌握“平行公理，平面内垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键． 10．（23-24七年级下·上海松江·课后作业）如图，三角形中，，是边上的两点，是边上一点，连接并延长．交的延长线于点．现有以下条件：①平分；②；③．从三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明． 条件： ； 结论： ．（填序号） 【答案】 ①② ③ 【详解】条件：①② 结论：③ 证明：平分， ． ， ，． ．（答案不唯一） 11．（2025七年级下·上海虹口·专题练习）在学习中，小明发现：当时，的值都是负数．于是小明猜想：当为任意正整数时，的值都是负数．判断小明的猜想是真命题还是假命题，并说明你的理由． 【答案】假命题，理由见解析 【详解】解：假命题．理由如下： 如：当时，，不是负数，所以小明的猜想是假命题． 12．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即． (1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明； (2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】(1)图①：，图②：，见解析 (2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得； （2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）关系是：图①：，图②：， 如图①∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图②∵， ∴ ∵， ∴ ∴． （2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补． 13．（23-24七年级下·上海静安·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 14．（24-25七年级下·上海宝山·课后作业）如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是真命题，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质， （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 解题的关键是掌握平行线的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：是真命题． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（23-24七年级下·上海徐汇·课后作业）如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可； （2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假． 【详解】解：（1）由，，得到； 由，，得到； 由，，得到； 故能组成3个命题． （2）由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，∴， ，． 由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，， ． 由，，得到，是真命题．理由如下： ∵，，． ，， ． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$