精品解析：安徽省五河第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

五河一中2024-2025学年度第二学期高二年级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题5分，计40分） 1. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 2. 在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行六面体的几何性质，利用空间向量的线性运算以及数量积的定义，结合向量模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则， 由， 则，， 所以 . 故选：B. 3. 设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出 和的值，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或 ， 故选：A. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用正弦定理，再结合双曲线定义及两角和差的正弦公式计算化简即可求解. 【详解】 依题意得， 则的离心率为 故选：B. 5. 已知实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将其看作直线，由题知直线和圆有公共点，则利用圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，即可求出结果. 【详解】设，将其看作直线， 由直线与圆有公共点， 得圆心到直线的距离小于或等于圆的半径， 即，解得， 所以的最大值为， 即的最大值为 故选：D 6. 设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 成等差数列，公差为 C. 当且仅当时，取得最大值 D. 时，的最大值为33 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得数列是以为公差，32为首项的等差数列，求出，然后利用可求出，再逐个分析判断即可. 【详解】因为， 所以数列是以为公差，32为首项的等差数列， 所以，所以， 所以当时，， 所以， 因为，所以， 对于A，因为， 所以是以为公差的等差数列，所以A错误， 对于B，因为，所以， 所以， 因为， 所以成等差数列，公差为，所以B错误， 对于C，，对称轴为， 因为，所以当或时，取得最大值，所以C错误， 对于D，由，得，且，所以的最大值为33，所以D正确， 故选：D 7. 当时，设函数存在导数，且满足，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 8. 已知，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示，易知点关于直线的对称点， 由对称性即三角形三边关系可得： . 故选：B. 二、多选题（每小题6分，计18分） 9. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 10. 已知，圆，直线，，且与相交于点，则（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 被圆截得的弦长为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用斜率之积即可判断选项A，根据圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断选项B，利用几何法直接求出弦长，即可判断选项C，联立两直线方程，求出点坐标，根据两点之间距离公式，即可求出的值. 【详解】由题知，令直线的斜率为， 则，，，A正确； 圆圆心为，半径， 则到直线的距离， 所以直线与圆相切，B正确； 又到直线的距离， 所以被圆截得的弦长为，C错； 联立方程，解得， 即， 则，解得，D正确. 故选：ABD 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若，则直线恒过定点 C. 若直线过点，则的最小值为4 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用焦半径公式判断A；利用向量数量积公式，结合韦达定理求出直线方程即可判断B；利用过焦点的弦长公式求出弦长，结合不等式的性质求解最小值即可判断C；求出四条边的长即可判断D. 【详解】由得，，准线方程. A.由A的纵坐标为2得，故，选项A正确. B.如图，设直线方程为：， 由得，， 则， ，解得， 直线方程为：，恒过定点，选项B错误. C.如图，设直线方程为：， 由得，， ，当时，，选项C正确. D.如图，设点在第四象限.由题意得，，则. 由准线方程为得，，故， 则 四边形的周长为，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5份，计15分） 12. 已知直线与曲线相切，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出的值. 【详解】设切点为， 由得，，故切线斜率， 由直线可知切线过，故， ∴，解得， ∴. 故答案为：. 13. 设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，则得，再由，可得当取最大值时的值. 【详解】等差数列中， ∵，∴，解得， 则 ， 因为，所以当取最大值时，. 故答案为：. 14. 如图，椭圆的右顶点A是抛物线的焦点，过A作x轴的垂线交于点B，线段BO与交于点D，F是焦点则的离心率__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用给定条件，求出点的坐标，再借助比例式建立方程求出离心率. 【详解】令，直线：，在椭圆中，令，得， 点，在抛物线中，令，得， 由，得，即，而， 解得，所以的离心率 故答案为： 四、解答题（共5小题，计77分） 15. 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的标准方程，将3个点的坐标代入圆的标准方程，建立方程组，解出a，b，r即可. 【详解】设所求的方程是．① 因为，，三点都在圆上，分别代入方程①． 得即 三式两两相减，整理得解得 代入，得． 所以的外接圆的标准方程是． 16. 已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列，并求通项； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）因为，所以，又，所以， 所以数列是以为1首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）将，变形为，再利用等差数列的定义求解； （2）求出，再利用错位相减法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 两式相减得， ， 所以. 17. 如图平面ABC，，F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知 （1）证明：平面平面 （2）若，，N在线段MB上. （i）求点C到平面AEB的距离; （ii）是否存在点N，使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在，或 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面距离；（ii）设存在，根据向量法由平面的夹角公式求出即可得解. 【小问1详解】 ，E是MC的中点，， 平面ABC，平面ABC，， 又，又，平面MAC，平面MAC， 平面MAC， 又平面AEF，， 又，平面MBC，平面MBC， 平面MBC，又平面AEF 平面平面MBC 【小问2详解】 （i） 以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，， 设平面AEB的法向量为 则，即，取，可得， 所以，即点C到平面AEB的距离为； （ii） ， 设，则， ， 设平面NAC的法向量为 则，即， 令。可得， ， 化简得，解得或， 或. 18. 已知函数 ． （1）求函数 在 上的最大值和最小值； （2）若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1）最大值为 ，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用导数可得函数 在 上单调递增，在上单调递减，从而可求函数 在 上的最大值和最小值； （2）不等式 可化为 ，记 ，则原不等式有解可转化为 ，再利用导数求函数的最大值，即可求实数 的取值范围. 【小问1详解】 因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . 【小问2详解】 易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 19. 如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 （1）求曲线C的方程; （2）设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、 （i）求证：为定值; （ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2） 设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； 由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，易知 由，得， ，得 所以 由可知，， 即， 将代入化简得，解得或舍去， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程. （2）（i）设，，，将、分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值； （ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程即可求得的值，即定点坐标. 【小问1详解】 由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五河一中2024-2025学年度第二学期高二年级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题5分，计40分） 1. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 3. 设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 成等差数列，公差为 C. 当且仅当时，取得最大值 D. 时，的最大值为33 7. 当时，设函数存在导数，且满足，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 8. 已知，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 10 二、多选题（每小题6分，计18分） 9. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 10. 已知，圆，直线，，且与相交于点，则（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 被圆截得的弦长为 D. 若，则 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若，则直线恒过定点 C. 若直线过点，则的最小值为4 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 三、填空题（每小题5份，计15分） 12. 已知直线与曲线相切，则实数的值为______. 13. 设为等差数列的前项和，若公差，且，则当取最大值时，的值为______. 14. 如图，椭圆的右顶点A是抛物线的焦点，过A作x轴的垂线交于点B，线段BO与交于点D，F是焦点则的离心率__________. 四、解答题（共5小题，计77分） 15. 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 16. 已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列，并求通项； （2）求数列的前n项和． 17. 如图平面ABC，，F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知 （1）证明：平面平面 （2）若，，N在线段MB上. （i）求点C到平面AEB的距离; （ii）是否存在点N，使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 18. 已知函数 ． （1）求函数 在 上的最大值和最小值； （2）若不等式 有解，求实数 的取值范围. 19. 如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 （1）求曲线C的方程; （2）设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、 （i）求证：为定值; （ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $