精品解析：广东省清远市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年广东省清远市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下软件的图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数据是勾股数是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 5，6，7 D. 7，24，25 3. 下列各数中，无理数的是（ ） A. B. π C. D. 4. 以下能确定位置是（ ） A. 甲与乙地相距 B. 该地区位于北纬 C. 电影院在超市的北偏东方向 D. 昊谦同学的位置在教室第五排第六列 5. 下列命题中： ①同旁内角相等，两直线平行； ②等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线三线合一； ③无限小数都无理数； ④三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和． 其中是真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，这组数据的方差是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 估算在哪两个整数之间（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 已知一次函数与的交点坐标为，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与正比例函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的相反数是_______. 12. 等腰三角形的顶角是100°，则底角是_______°． 13. 某校学生的综评成绩由三部分组成：课堂表现占成绩的，期中测试占，期末测试占．小智的上述三项成绩依次是95分，90分，86分，则小智这学期的综评成绩是______分． 14. 计算：=_________． 15. 如图，一次函数与坐标轴的交点为A，B，在y轴上存在一点P，使得是以为底边的等腰三角形，则点P的坐标为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算：； （2）解方程组． 17. 如图，小渡家在B地，他计划周末骑自行车去公园A地游玩，且，C地有一处凉亭，且，若，则小渡家距离凉亭直线距离为多少？ 18. 如图，四边形各个顶点的坐标分别是． （1）画出四边形关于y轴对称的图形． （2）写出A点、B点关于y轴对称的点的坐标． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为选拔一名跳高运动员去参加省赛，表现优异的小超和小梦共进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下： 小超：，，，，，，，； 小梦：，，，，，，，； 【数据整理】 平均数 中位数 众数 小超 x 小梦 y （1） m， m； （2）为了便于分析数据，教练用折线统计图表示了两位运动员的数据，由折线统计图可知 的成绩更为稳定； 【数据决策】 （3）经大数据分析预测，跳高获得冠军的可能性很大，为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由． 20. 如图，D是线段上的动点，E是上的一点，的延长线交的延长线于点F，． （1）求证：； （2）若，，，求点D在运动过程中，的度数．（用含α，β的代数式表示） 21. 迎接2025年元旦，某灯笼制造厂设计了一限定款古风灯笼．每名专业手工师傅均能独立制作古风灯笼，由于专业手工师傅人手不足，制造厂决定招聘一些新人手工师傅，经过培训后也可独立进行制作．调查发现：1名专业手工师傅和2名新人手工师傅每周可合作完成8个古风灯笼；4名专业手工师傅和3名新人手工师傅每周可合作制作22个古风灯笼． （1）每名专业手工师傅和新人手工师傅每周分别可以独立制作多少个古风灯笼？ （2）制造厂计划用4周时间制作360个限定款古风灯笼，若制造厂原有20名专业手工师傅，那么在专业手工师傅全部上场制作的情况下需要招聘几名新人手工师傅刚好能在4周时间完成制作任务？ （3）若制造厂分两批售卖360个限定古风灯笼，第一批每个灯笼可获利40元，第二批每个灯笼可获利30元．若制造厂第一批售卖了个，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出n为多少时，利润最大，最大利润为多少？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为 ； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 23. 几何探究： 小星利用上课探究函数性质的思路来研究函数的图象，下表是该函数所对应的表格： x … 0 1 2 … y … 5 2 … （1） ； （2）若只把该函数图象的部分关于直线对称，与原函数图象的部分组成的新函数为． ①当时，求的函数表达式； ②求当时，x的取值范围 ； （3）小星自学知识求出函数的对称轴为直线：，和的图象的交点坐标．请求出函数上两点、和函数上一点与点P围成的四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省清远市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下软件的图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到一个点，所以不是中心对称图形； 选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合； 故选：A． 2. 下列数据是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 5，6，7 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、2，能构成直角三角形，且都是正整数． 故选：D． 3. 下列各数中，无理数的是（ ） A. B. π C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数以及算术平方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、，属于有理数，故此选项不符合题意； B、π是无理数，故此选项符合题意； C、，属于有理数，故此选项不符合题意；； D、是分数，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 以下能确定位置是（ ） A. 甲与乙地相距 B. 该地区位于北纬 C. 电影院在超市的北偏东方向 D. 昊谦同学的位置在教室第五排第六列 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标确定位置、方向角，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否符合题意． 根据各个选项中的说法可以判断是否能确定具体位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A.甲与乙地相距，不能确定甲和乙的位置，故此选项不符合题意； B.该地区位于北纬，无法确定具体位置，故此选项不符合题意； C.电影院在超市的北偏东方向，无法确定具体位置，故此选项不符合题意； D.昊谦同学的位置在教室第五排第六列，可以确定吴谦同学的位置； 故选：D． 5. 下列命题中： ①同旁内角相等，两直线平行； ②等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线三线合一； ③无限小数都是无理数； ④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和． 其中是真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据平行线的判定、等腰三角形的三线合一、无理数的概念、三角形的外角性质判断即可． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行，故本小题命题是假命题； ②等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线三线合一，是真命题； ③无限不循环小数都是无理数，故本小题命题是假命题； ④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，是真命题； 故选：B． 6. 5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9，这组数据的方差是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算方法，方差等于样本中各数据与平均数差的平方之和再除以样本个数． 先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：平均数， 方差． 故选：A． 7. 估算在哪两个整数之间（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的估算，根据二次根式先化简，结合估算的取值范围即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴值是在5和6之间， 故选：C． 8. 已知一次函数与的交点坐标为，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 先把代入可确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：把代入得， 可化为，可化为， 方程组的解为， 故选B． 9. 如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是由三角形的外角性质推出． 延长交于K，由三角形的外角性质推出，即可求出． 【详解】解：延长交于K， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 10. 一次函数与正比例函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可． 【详解】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故选项A不符合题意； B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故选项B不符合题意； C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数经过二、三、四象限，故选项C不符合题意； D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故选项D符合题意． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的相反数是_______. 【答案】- 【解析】 【分析】根据相反数知识直接作答即可. 【详解】的相反数是-，故填-. 【点睛】本题是对无理数的相反数考查，熟练掌握相反数是解决本题的关键，难度较小. 12. 等腰三角形的顶角是100°，则底角是_______°． 【答案】40 【解析】 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可． 【详解】解：等腰三角形的顶角是100°， 则底角是． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“等边对等角”的性质是解题关键． 13. 某校学生的综评成绩由三部分组成：课堂表现占成绩的，期中测试占，期末测试占．小智的上述三项成绩依次是95分，90分，86分，则小智这学期的综评成绩是______分． 【答案】89 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题关键．利用加权平均数的公式直接求解即可． 【详解】解：小智这学期的综评成绩是：（分）． 故答案为：89． 14. 计算：=_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法运算将式子展开，然后进行加减运算即可. 【详解】原式=3-1=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的基本运算，属于比较容易的题目. 15. 如图，一次函数与坐标轴的交点为A，B，在y轴上存在一点P，使得是以为底边的等腰三角形，则点P的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由一次函数与坐标轴的交点为A，B，得到A，B两点坐标，结合是以为底边的等腰三角形，则，从而得到P点坐标． 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，；当时，， ∴，， ∵在y轴上存在一点P，使得是以为底边的等腰三角形， ∴设，， ∴，， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算：； （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查含乘方的实数混合运算和解二元一次方程组， （1）根据运算法则先计算绝对值、乘方、化简二次根式和开立方，再进行加减运算即可； （2）利用加减消元法计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 得，，解得， 将代入，，解得， 则方程组的解． 17. 如图，小渡家在B地，他计划周末骑自行车去公园A地游玩，且，C地有一处凉亭，且，若，则小渡家距离凉亭直线距离为多少？ 【答案】小渡家距离凉亭直线距离为米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：在中，，，， ∴． 答：小渡家距离凉亭直线距离为米． 18. 如图，四边形各个顶点的坐标分别是． （1）画出四边形关于y轴对称的图形． （2）写出A点、B点关于y轴对称的点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求． 【小问2详解】 解：A点关于y轴对称的点的坐标为，B点关于y轴对称的点的坐标为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为选拔一名跳高运动员去参加省赛，表现优异的小超和小梦共进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：m）如下： 小超：，，，，，，，； 小梦：，，，，，，，； 【数据整理】 平均数 中位数 众数 小超 x 小梦 y （1） m， m； （2）为了便于分析数据，教练用折线统计图表示了两位运动员的数据，由折线统计图可知 的成绩更为稳定； 【数据决策】 （3）经大数据分析预测，跳高获得冠军的可能性很大，为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？请说明理由． 【答案】（1）、；（2）小超；（3）可能选择小梦参加跳高比赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数和方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）由小超8次中仅有1次达到，小梦8次中有2次超过可得答案． 【详解】解：（1）小超成绩的众数， 小梦成绩重新排列为：1.60，1.62，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，1.75， 所以其成绩的中位数， 故答案为：、； （2）分别计算两人的跳高成绩的方差分别： ， ， ∴， ∴小超的成绩更为稳定； 故答案为：小超； （3）可能选择小梦参加跳高比赛， 由题意知，小超8次中仅有1次达到，小梦8次中有2次超过， 所以小梦的潜力更大，应选择小梦参加跳高比赛． 20. 如图，D是线段上的动点，E是上的一点，的延长线交的延长线于点F，． （1）求证：； （2）若，，，求点D在运动过程中，的度数．（用含α，β的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）通过外角的性质可知，进而证出，即可得证； （2）在中，由三角形内角和可得，由对顶角相等可知，再在中，利用三角形内角和求解即可． 【小问1详解】 证明：，． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，由三角形内角和可得， ， ∴， 在中，由三角形内角和可得， ． 21. 为迎接2025年元旦，某灯笼制造厂设计了一限定款古风灯笼．每名专业手工师傅均能独立制作古风灯笼，由于专业手工师傅人手不足，制造厂决定招聘一些新人手工师傅，经过培训后也可独立进行制作．调查发现：1名专业手工师傅和2名新人手工师傅每周可合作完成8个古风灯笼；4名专业手工师傅和3名新人手工师傅每周可合作制作22个古风灯笼． （1）每名专业手工师傅和新人手工师傅每周分别可以独立制作多少个古风灯笼？ （2）制造厂计划用4周时间制作360个限定款古风灯笼，若制造厂原有20名专业手工师傅，那么在专业手工师傅全部上场制作的情况下需要招聘几名新人手工师傅刚好能在4周时间完成制作任务？ （3）若制造厂分两批售卖360个限定古风灯笼，第一批每个灯笼可获利40元，第二批每个灯笼可获利30元．若制造厂第一批售卖了个，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出n为多少时，利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1）每名专业手工师傅每周可以独立制作4个古风灯笼，每名新人手工师傅每周可以独立制作2个古风灯笼 （2）5名 （3）w关于n的函数关系式为，当时，利润最大，最大利润为11800元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设每名专业手工师傅每周可以独立制作x个古风灯笼，每名新人手工师傅每周可以独立制作y个古风灯，根据“1名专业手工师傅和2名新人手工师傅每周可合作完成8个古风灯笼；4名专业手工师傅和3名新人手工师傅每周可合作制作22个古风灯笼”列出相应的二元一次方程组，即可解答； （2）设需要招聘m名新人手工师傅刚好能在4周时间完成制作任务，根据专业手工师傅4周制作的灯笼新人手工师傅4周制作的灯笼360，列出方程，解方程即可； （3）根据总利润＝第一批利润+第二批的利润列出w关于n的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设每名专业手工师傅每周可以独立制作x个古风灯笼，每名新人手工师傅每周可以独立制作y个古风灯，根据题意得： ， 解得， 答：每名专业手工师傅每周可以独立制作4个古风灯笼，每名新人手工师傅每周可以独立制作2个古风灯笼； 【小问2详解】 解：设需要招聘m名新人手工师傅刚好能在4周时间完成制作任务， 根据题意得：， 解得：， 答：需要招聘5名新人手工师傅刚好能在4周时间完成制作任务； 【小问3详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴w随n的增大而增大， ∵， ∴当时，w最大， 答：w关于n的函数关系式为，当时，最大利润为11800元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为 ； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用、无理数的估算、无理数的混合运算和开平方的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）结合（1）小方形纸片边长和二次根式的运算得到小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为，代入代数式计算即可； （3）设长方形的长和宽分别是和．根据剪出的大长方形的面积列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：； 小问2详解】 解：由（1）小方形纸片的边长， ∵，且， ∴， ∴小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为， 则； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，． ∴， ， ∵， ， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 23. 几何探究： 小星利用上课探究函数性质的思路来研究函数的图象，下表是该函数所对应的表格： x … 0 1 2 … y … 5 2 … （1） ； （2）若只把该函数图象的部分关于直线对称，与原函数图象的部分组成的新函数为． ①当时，求的函数表达式； ②求当时，x的取值范围 ； （3）小星自学知识求出函数的对称轴为直线：，和的图象的交点坐标．请求出函数上两点、和函数上一点与点P围成的四边形的面积． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）在表格中任意挑一组数据带入即可得解； （2）①先求出时，的表达式，在上取一点，找关于的对称点，则该点在的图象上，进而根据待定系数法求解即可； ②先求出的表达式，然后根据分段函数分别求解即可； （3）先求出各点的坐标，进而画出图形，利用割补法求出面积即可． 【小问1详解】 将，代入得， ， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 新函数图象如图所示， ①由（1）知， ∴， 当时，， 根据题意可知部分，和关于对称， 当时，，即在的函数图象上， ∵关于对称点为， ∴的图象经过这个点， 由图易知也经过， 设， ， 解得： ∴当时，的函数表达式为； ②由题可知当时，， ， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 由（2）可知， ， ， ， ， 解得：， 点在函数上， ， 如图所示，连接PC， 由各点坐标可知，，， 边上的高为， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、利用函数解不等式、函数的几何变换、坐标图形面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$