精品解析：重庆市开州区文峰教育集团 2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

文峰初中教育集团2025年春季学期九年级作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据“正数大于负数，两个负数，绝对值大的而反而小”进行比较即可判断求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴最小的数在和中， ∵，， 又∵两个负数，绝对值大的而反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选： ． 2. 中式纹样体现了中华民族的智慧和审美，下列传统中式纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 下列关于抛物线说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当 时，函数有最小值2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用－销售问题，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，称轴为直线 ，顶点坐标为，当 时，函数有最大值2． 故选C． 4. 如图 和以点为位似中心的位似图形，若，则 与的面积之比是（ ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识，先由 和以点为位似中心的位似图形，得到，结合，进而由 和的相似比为，再由相似三角形性质即可得到 与的面积之比，熟记相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解： 和以点为位似中心的位似图形， ， ， 和的相似比为， 与的面积之比是， 故选：D． 5. 如图， 是 的外接圆，已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，由等边对等角得，即得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：； 故选D． 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，先由二次根式混合运算法则计算得到，再由无理数估算得到，最后由不等式性质即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算、无理数估算方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，且， ，即的值应在4和5之间， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段、的长为半径画圆弧，若， ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、扇形的面积公式、勾股定理等知识点，发现阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积是解题的关键．先根据矩形的性质以及勾股定理求得，再根据阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面为：． 故选：A． 9. 如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边 上的一点，点 关于的对称点为 ，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理；延长交 于，连接 ，根据正方形的性质得到 ，，由折叠的性质得到，通过，于是得到．由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，于是求得，得，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交 于，连接 ， 四边形是正方形， ，， 点 关于直线的对称点为 ， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， 正方形的边长为， ， 设， ， 即， 解得：． 故答案为：． 10. 已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当 时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当 时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的次数，分式运算，因式分解应用，完全平方公式的应用，解题的关键是注意分类讨论．根据 时，，得出 ， ，或， ，或， ，三种情况，即可判断①正确；根据当时，，，，根据a、b、c均为正整数，得出，，，然后分类讨论即可判断②错误；根据当 时，，a、b、c均为正整数，得出所有的和为： ，根据x、y、z均不为0，得出，即可判断③正确． 【详解】解：当 时，， ∵a、b、c均为正整数， ∴ ， ，或， ，或， ，三种情况， ∴当 时，符合条件的单项式共有3个，故①正确； 当时，，，， ∵a、b、c均为正整数， ∴，，， ∴当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴共有四种结果，故②错误； 当 时，，a、b、c均为正整数， 当， ，时，， 当 ， ，时，， 当 ， ，时，， 当，，时，， 当， ，时，， 当， ， 时，， ∴所有的和为： ∵x、y、z均不为0， ∴， ∴所有的和为正数，故③正确； 综上分析可知：以上说法正确的有2个． 故选：C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：若代数式有意义， 则， 解得． 故答案为：． 12. 小巴同学要从2024年度的流行语“city不city、硬控、班味、松弛感”4个词语中随机抽取2个进行“表演猜词语”，小巴同学抽中“班味”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，分别用A、B、C、D表示city不city、硬控、班味、松弛感，画树状图求解即可． 【详解】解：分别用A、B、C、D表示city不city、硬控、班味、松弛感，画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中小巴同学抽中“班味”的有6种， 所以，小巴同学抽中“班味”的概率为：， 故答案为：． 13. 二次函数的图象经过点，则代数式的值是________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，首先根据二次函数的图象经过点得到，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 14. 若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数 之和为__． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组，再由不等式组解集的情况求出参数；再解分式方程，根据分式方程有解且解为非负整数，分类讨论求解即可得到所有满足条件的整数 是，最后求和即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 关于的一元一次不等式组至少有3个整数解， ，解得； 关于的分式方程的解为非负整数， 分式方程的解为非负整数，且， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时， ，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当 时，，不符合题意； 当时， ，符合题意； 当 时，，不符合题意； 当时， ，符合题意； 当 时，，不符合题意； 综上所述，所有满足条件的整数 是， 所有满足条件的整数 之和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查解不等式组、利用不等式组解集的情况求参数范围、解分式方程、分式方程有解的意义、利用分式方程解的情况求参数等知识，掌握不等式组的解法、分式方程的解法，分类讨论是解决问题的关键． 15. 如图，在 中，为直径，为弦，点为弧的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点，连接交于点 ，若， ，则的长度为______；的长度为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 4 【解析】 【分析】根据垂径定理及其推论，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵点为弧的中点， ∴， ∵以点为切点的切线与的延长线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∴； ∴； ∴， 故答案为：2；4． ． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，切线的性质，勾股定理，批判性的判定，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 16. 一个四位自然数，若它的千位数字与十位数字之和为9，百位数字与个位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“数”．若将一个“数”的千位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的四位数．规定．例如：，∵，∴1283是“数”，则．若“数”，则_________；已知是“数”（均为正整数），若被7整除，则满足条件的的最大值是__________． 【答案】 ①. 5 ②. 8114 【解析】 【分析】本题考查了新定义下实数的运算、整式加减的应用，解题的关键在于理解“数”的定义，正确列式计算．根据题意直接计算，即可求解；根据“数”的定义，得出，，由题意可得，即可求解出满足条件的的最大值． 【详解】解：根据题意，； ∵是“数”， ∴，， ， ∵，，各位数字均不为0， ∴，， ∴当 取最小值1时，最大，此时才有可能取最大值， ∵被7整除， ∴能被7整除， ∴当，能被7整除时， ， ∴此时， 满足条件的的最大值是． 故答案为：；8114． 三、解答题：（本大题8个小题，17题共16分，每个小题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别根据特殊角三角值、负整数指数幂、绝对值的代数意义以及零指数幂运算法则计算，然后进行加减运算即可； （2）先将原式中的括号内进行通分，再把除法以转换为乘法，约分后得最简结果，再代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ∵， ∴， ∴原式． 18. 在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且 ． （1）作的平分线交 于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． ∵ ， ∴ ④ ． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴四边形是菱形． 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ⑤ ． 【答案】（1）图见解析 （2）①；②；③；④；⑤互相垂直 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）根据画角平分线的方法即可； （2）根据角平分线的定义得，平行四边形的性质和平行线的性质可得，由得可得，进而得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步证明结论． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； ． 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ∵ ， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴四边形是菱形． 平行四边形的任意一组邻角的平分线：相互垂直， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ，即平行四边形的任意一组邻角的平分线相互垂直． 故答案为：①；②；③；④；⑤互相垂直． 19. 年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： ， ， ，，，，，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，． 八年级名学生竞赛成绩在 组的数据是，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有 名，八年级有名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1） ，， ； （2）八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； （3）人． 【解析】 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知；根据八年级学生成绩达到 的人数为 人，可知八年级学生的成绩从大到小排列第和名的成绩分别为和，所以可知八年级的中位数为；根据八年级级名学生竞赛成绩在 组的数据共有 个，可以求出； 根据八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； 用样本估计总体，分别求出七年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数． 【小问1详解】 解：从七年级名学生的竞赛成绩可以看出，七年级的成绩众数是 分， ； 从扇形统计图中可知：八年级学生成绩达到 组的占 ， 八年级学生成绩达到 的人数为：， 八年级名学生竞赛成绩在 组的数据是，，，，，，， 八年级名学生竞赛成绩在 组的人数为 ， 八年级名学生竞赛成绩在 组和 组的共有人， 八年级名学生竞赛成绩的众数为， ； 八年级名学生竞赛成绩在 组的人数为 ， 八年级名学生竞赛成绩在 组的百分率为， ， 故答案为： ，， ； 【小问2详解】 解：我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； 【小问3详解】 解：七年级参加竞赛的人中达到优秀的有人，占总人数的， 估计七年级的 名学生达到优秀的有人， 八年级参加竞赛的人中达到优秀的有 ， 估计八年级的名学生中达到优秀的有人， 估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人． 【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小． 20. 某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶硫酸铜溶液的成本是 元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第三次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商场获利330元，求 的值． 【答案】（1）每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为 元，5元 （2） 的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． （1）根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为 元 由题意得 ， 解得， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为 元，5元． 【小问2详解】 解：由题意得 ， 整理得， 解得， ∵ ， ∴ ， 答： 的值为． 21. 如图，在中， ，， ，动点从点 出发，沿着 方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点 出发，沿着 方向运动，速度为每秒1个单位长度，当两者相遇时停止运动．设运动时间为 秒，点与点 的距离为，点与点的距离为，． （1）请直接写出y关于t的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合图象直接写出 时，t的值． 【答案】（1）关于 的函数关系式为： （2） 在平面直角坐标系中画出函数的图象如图所示， 当 时，随 的增大而减小 （3） 的值为3或9 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得到 ，由题意得，当 时， ， ，根据线段的和差得到 ， ，于是得到函数关系式；当时，得到 ， ，即可得到函数关系式； （2）根据函数解析式在平面直角坐标系中画出函数的图象即可； （3）将 分别代入两个函数解析式解两次方程即可． 【小问1详解】 解： ，， ， ， 由题意得，当 时， ， ， ， ， ； 当时， ， ，当相遇时， ，解得， ， 综上所述，关于 的函数关系式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当 时， ，解得 ；或 ，解得 ∴ 的值为3或9． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，求函数的解析式，画函数的图象以及函数的性质，正确地画出函数的图象是解题的关键． 22. 某班正在点 处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点 位于点 的正东方100米处，点位于点 的北偏东 方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点 的东北方向（点 、 、、、在同一平面内，参考数据：）． （1）求点到点的距离（结果保留整数）； （2）下课后，小巴沿以 的速度前往四食堂，小川沿以 的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 【答案】（1）41米 （2）小川先到达四食堂 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，数形结合，掌握方位角表示位置及特殊角的三角函数是解决问题的关键． （1）过点 作 ，交延长线于点，延长交于点 ，如图所示，根据矩形的判定得到四边形为矩形，结合题意，由特殊角的三角函数值列式求解即可得到答案； （2）先解直角三角形求出，再由小川和小巴运行路线及速度列式求时间，比较长短即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点 作 ，交延长线于点，延长交于点 ，如图所示： 由题意得， 四边形为矩形， 点位于点 的北偏东 方向80米处， 在中，，米， ∴米，米， 点位于点正南方30米处， 米， 点 位于点 的正东方100米处， 米， 点位于点 的东北方向， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， 答：的距离为41米； 【小问2详解】 解：在中，米， 小川沿以 米/秒的速度前往四食堂， （秒）； 小巴沿以米/秒的速度前往四食堂， （秒）； ∵， ∴小川先到达四食堂． 23. 如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． （1）求抛物线解析式； （2）点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当 面积最大时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y （2），的最小值为3 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）作轴于E，交于F，先直线的解析式为，设，，则，利用二次函数的性质可求得，作轴，作于G，作于H，利用平行线的性质和锐角三角函数可得到，进而由可求解； （3）作轴于W，先根据题意和图象的平移规则得到平移后的抛物线解析式为，设，证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求得x值，进而可求得Q的坐标． 【小问1详解】 解：（1）当时，，， ∴， 当时，， ∴， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：y； 【小问2详解】 解：如图1，作轴于E，交于F， 设直线的解析式为： ， ∴， ∴， ∴，设，则 ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴， 作轴，作于G，作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为3； 【小问3详解】 解：如图2，作轴于W， 由题意，抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位后， 则平移后的抛物线解析式为， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （舍去），，（舍去）， 当 时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数图象的平移，二次函数与图形面积，线段和的最小值问题，角度问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 在 中，点C在直线的上方． （1）如图1，，点D在边上，且，若 ，求线段的长； （2）如图2，点E为 外一点，，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转 到得线段，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，，在 中，利用勾股定理求解即可得； （2），证明：在取一点，使得，先证出，根据全等三角形的性质可得， ，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得证； （3）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，设与的交点为点，过点 作 ，且 ，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后利用勾股定理可得，最后根据（当且仅当点共线时，等号成立）可得的最小值，由此即可得． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵在 中，， ， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以线段的长为． 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，在取一点，使得， ∵，， ∴，即 ， 在和 中， ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①如图，当点在线段上时， 设与的交点为点，过点 作 ，且 ，连接， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ， ∴，即， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵在中， ，， ∴， 又∵（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②如图，当点在的延长线上时， 设与的交点为点，过点 作 ，且 ，连接， 同理可证：， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， 同理可证：， ∴， ∵在中， ，， ∴， 又∵（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、一元二次方程的应用、平行四边形的判定与性质等知识，较难的是题（3），正确找出取得最小值时的位置，并分两种情况讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文峰初中教育集团2025年春季学期九年级作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 中式纹样体现了中华民族的智慧和审美，下列传统中式纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于抛物线说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当 时，函数有最小值2 4. 如图 和以点为位似中心的位似图形，若，则 与的面积之比是（ ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 5. 如图， 是 的外接圆，已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 如图，在矩形中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段、的长为半径画圆弧，若， ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边 上的一点，点 关于的对称点为 ，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x、y、z的单项式（a、b、c均为正整数，x、y、z均不为0），该单项式的次数为n． ①当 时，符合条件的单项式共有3个； ②当时，对于任意的n，代数式的值可能有两种不同结果； ③记，当 时，对于符合条件的任意x、y、z的值，所有的和恒为正数．以上说法正确的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 小巴同学要从2024年度的流行语“city不city、硬控、班味、松弛感”4个词语中随机抽取2个进行“表演猜词语”，小巴同学抽中“班味”的概率为______． 13. 二次函数的图象经过点，则代数式的值是________． 14. 若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数 之和为__． 15. 如图，在 中，为直径，为弦，点为弧的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点，连接交于点 ，若， ，则的长度为______；的长度为_______． 16. 一个四位自然数，若它的千位数字与十位数字之和为9，百位数字与个位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“数”．若将一个“数”的千位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的四位数．规定．例如：，∵，∴1283是“数”，则．若“数”，则_________；已知是“数”（均为正整数），若被7整除，则满足条件的的最大值是__________． 三、解答题：（本大题8个小题，17题共16分，每个小题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中a满足． 18. 在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且 ． （1）作的平分线交 于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． ∵ ， ∴ ④ ． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴四边形是菱形． 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ⑤ ． 19. 年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： ， ， ，，，，，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，． 八年级名学生竞赛成绩在 组的数据是，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有 名，八年级有名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20. 某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶硫酸铜溶液的成本是 元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第三次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商场获利330元，求 的值． 21. 如图，在中， ，， ，动点从点 出发，沿着 方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点 出发，沿着 方向运动，速度为每秒1个单位长度，当两者相遇时停止运动．设运动时间为 秒，点与点 的距离为，点与点的距离为，． （1）请直接写出y关于t的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合图象直接写出 时，t的值． 22. 某班正在点 处上体育课，上完体育课后，小巴和小川准备去四食堂处吃午饭，经测量，点 位于点 的正东方100米处，点位于点 的北偏东 方向80米处，且位于点正南方30米处，点位于点的正西方，且位于点 的东北方向（点 、 、、、在同一平面内，参考数据：）． （1）求点到点的距离（结果保留整数）； （2）下课后，小巴沿以 的速度前往四食堂，小川沿以 的速度前往四食堂，请通过计算判断小川与小巴谁先到达四食堂（结果保留整数）？ 23. 如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． （1）求抛物线解析式； （2）点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当 面积最大时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 在 中，点C在直线的上方． （1）如图1，，点D在边上，且，若 ，求线段的长； （2）如图2，点E为 外一点，，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转 到得线段，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $