精品解析： 山东省聊城市阳谷县2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年山东省聊城市阳谷县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式”，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，故A不是最简分式，不符合题意； B、，故B不是最简分式，不符合题意； C、最简分式，符合题意； D、，故D不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 2. 以下是四届冬奥会会标的一部分，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合要求； B、不是轴对称图形，故不符合要求； C、是轴对称图形，故符合要求； D、不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握轴对称的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 3. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 【详解】解：由，解得，即或． 又∵分母，即． 故选：A 4. 如图，，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键．根据全等三角形对应角相等求出，，再利用三角形内角和为180度求出，最后利用角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：D 5. 在第60届国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名．我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，下列说法错误的是（ ）． A. 我国一共派出了6名选手 B. 我国参赛选手的平均成绩为38分 C. 我国选手比赛成绩的中位数为38 D. 我国选手比赛成绩的团体总分为228分 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的计算公式即可分析求解． 【详解】解：A、由方差计算公式可知，总人数为6人，故我国一共派出了6名选手，选项正确，不符合题意； B、由方差计算公式可知，平均数为38，故平均成绩为38分，选项正确，不符合题意； C 、由方差计算公式无法判断出中位数的值，故选项错误，符合题意； D、由方差计算公式可知，总分=，选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了方差的概念和平均数，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式． 6. 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 9.1 9.3 9.2 0.1 如果每个评委打分都高0.1，那么表格中数据一定不会发生变化的是（） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：如果每个评委打分都高0.1，那么这组数据的波动幅度不会受到影响， 所以方差不会发生变化， 故选：D． 7. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（ ） A. 86分 B. 85分 C. 84分 D. 83分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，该选手的成绩是，（分）， 故选：D． 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质． 先由推出，再代入即可得解． 【详解】解：， ， ． 故选：． 9. 如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵水厂到两个村庄P，Q的距离相等， ∴水厂应建在的垂直平分线上，即点B， 故选B． 10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①，     高与右边腰成夹角，由三角形内角和可得，顶角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②，     此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为， 所以该等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 11. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个. A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示： 与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 12. 如图，在和中，，，添加下列条件后，能使这两个三角形全等的有（ ） ①和上的高相等；②角平分线和角平分线相等；③和上的中线相等 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】当和上的高相等，无法补充和全等所需要的条件， 故①错误； ②当角平分线和角平分线相等时， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， 故②正确； 当和上的中线相等时，无法补充和全等所需要的条件， 故③错误； 故选B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 如图，已知，，，，则的周长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】解：， ，， 的周长=， 故答案为：13． 14. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是______． 【答案】9小时 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义可知将40位同学锻炼时间从小到大排序后，第20位同学和第21位同学的平均数即是中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，第20位同学和第21位同学的平均数为（小时），即中位数为9小时， 故答案为：9小时． 15. 写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是___________． 【答案】“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形” 【解析】 【分析】将题设与结论对调即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 逆命题为：“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”， 故答案为：“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”； 【点睛】本题考查逆命题的定义：将题设与结论对调得到的命题叫逆命题． 16. 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母可化为， 又因为关于的分式方程有增根， 所以是方程的根， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键． 17. 如图，将纸片沿过点的直线折叠，使点落边上的点，折痕为．若的周长为，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处， ，， ， 的周长为， ， ， ． 故答案为：6． 18. 如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，可得出，再由，即可得出，由是线段的垂直平分线，可知点C关于直线的对称点为点B，故的长为的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点B， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：8． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算和分式方程，掌握解分式方程的一般步骤，分式的运算法则等知识点是解决本题的关键． （1）按解分式方程的一般步骤求解即可； （2）先因式分解各分式中的分子分母，再约分计算乘法，最后算加法． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号并整理，得， 解得：， 检验：把代入得． 所以，原方程的解为； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交、于、． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于基础题型，熟知等腰三角形和线段垂直平分线的性质定理是求解的关键. 根据线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式求出结果即可； 先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出的度数，再利用等边对等角求出的度数，即可求出结果. 【小问1详解】 解：是的垂直平分线， ， 的周长； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 21. 如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格点上． （1）已知△ABC和关于直线l对称． ①请在图中把△ABC和补充完整； ②在以直线l为y轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； （2）在直线l上画出点P，使得最短． 【答案】（1）①如图；②； （2）见上图． 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、作图-轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）①根据轴对称的性质作图即可；②根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可； （2）连接，与直线l交于点P，连接，此时最短． 【小问1详解】 解：如图，和即为所求； 由题意可得，点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求． 22. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质得到∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2，再通过证明△ADE和△ADF全等，即可求解． 【详解】证明：如图， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2， ∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线， ∴，， ∴∠ADE＝∠ADF， 在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（ASA）， ∴DF＝DE． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 23. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 【答案】型汽车的进价为每辆10万元 【解析】 【分析】设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； 【详解】解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义， 答： 型汽车的进价为每辆10万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． 问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】任务1：与全等，理由见解析；任务2： 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知全等三角形的性质与判定是解题关键． 任务1：利用，证得与全等； 任务2：根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 详解】解：任务1：由题意，得，，，，， ∴， 又， ∴， 在与中 ， ∴； 任务2：∵， ∴， ∴， 即小丽距离地面有高． 25. 当地时间2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日．某校在七、八年级举行了“春节习俗”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名参赛学生的成绩（百分制）整理和分析如下： （成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 七年级10名学生的成绩是：． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：． 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 52 八年级 92 93 100 根据以上信息，解答下面的问题： （1）填空：______，______，______； （2）求七年级被抽取这10名学生这次竞赛成绩的平均数的值； （3）我校八年级共200人参加了此次知识竞赛，估计参加此次知识竞赛成绩优秀的八年级学生人数是多少？ 【答案】（1）40，96，96 （2） （3）140人 【解析】 【分析】（1）先求出八年级学生成绩落在C组人数所占百分比，再根据百分比之和为1求解可得a的值，根据中位数和众数的概念求出b和c的值即可； （2）根据的概念求解即可； （3）用总人数乘以样本中成绩优秀（）的八年级学生人数对应的百分比即可． 【小问1详解】 ∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为， ∴， ∴． 将七年级成绩重新排列为：80，82，86，90，96，96，96，99，99，100， 则这组数据的中位数，， 故答案为：40，96，96； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 （人）， 答：估计参加此次调查活动成绩优秀（）的八年级学生人数是140人． 【点睛】本题考查了方差、中位数、众数的意义和计算方法，扇形统计图，从统计图中获取数量之间的关系是解决问题的关键． 26. 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程： 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为_________． （2）模仿上述换元法解方程：． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，求平方根的方法解方程： （1）设，则，据此求解即可； （2）设，先把方程变形，再用换元法求解即可． 【小问1详解】 解：设，原方程可化为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设，原方程可化为， 方程两边同时乘以，得， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省聊城市阳谷县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下是四届冬奥会会标的一部分，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 16 4. 如图，，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在第60届国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名．我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，下列说法错误的是（ ）． A. 我国一共派出了6名选手 B. 我国参赛选手的平均成绩为38分 C. 我国选手比赛成绩的中位数为38 D. 我国选手比赛成绩的团体总分为228分 6. 在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 9.1 9.3 9.2 0.1 如果每个评委打分都高0.1，那么表格中数据一定不会发生变化的是（） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 7. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，80分，80分，若依次按照的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（ ） A. 86分 B. 85分 C. 84分 D. 83分 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个. A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 12. 如图，在和中，，，添加下列条件后，能使这两个三角形全等的有（ ） ①和上的高相等；②角平分线和角平分线相等；③和上的中线相等 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 如图，已知，，，，则的周长为______． 14. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是______． 15. 写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是___________． 16. 若关于x分式方程有增根，则________． 17. 如图，将纸片沿过点直线折叠，使点落边上的点，折痕为．若的周长为，，，则______． 18. 如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值为__________． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）计算：． 20. 已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交、于、． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 21. 如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格点上． （1）已知△ABC和关于直线l对称． ①请在图中把△ABC和补充完整； ②在以直线l为y轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； （2）在直线l上画出点P，使得最短． 22. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF． 23. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 24. 根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． 问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 25. 当地时间2023年12月22日，第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日．某校在七、八年级举行了“春节习俗”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名参赛学生的成绩（百分制）整理和分析如下： （成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 七年级10名学生的成绩是：． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：． 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 52 八年级 92 93 100 根据以上信息，解答下面的问题： （1）填空：______，______，______； （2）求七年级被抽取的这10名学生这次竞赛成绩的平均数的值； （3）我校八年级共200人参加了此次知识竞赛，估计参加此次知识竞赛成绩优秀的八年级学生人数是多少？ 26. 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程： 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为_________． （2）模仿上述换元法解方程：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $