2025年江苏省中考数学一轮复习讲义——专题06 全等三角形、相似三角形

一轮复习——全等三角形、相似三角形 1、全等三角形 知识一：全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识二：全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识三：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识四：直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识五：全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 2、相似三角形 知识点1．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点2．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点3．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点4．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点5．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1. （2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 【答案】A 【知识点】利用平行线间距离解决问题、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 2. （2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】全等三角形的性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 3. （2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 4. （2024·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，，即可求解； 掌握全等三角形的判定方法与性质，准确找出对应边、对应角是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， （）； （2）解：， ，， ． 5. （2023·江苏南京·三模）如图，在中，点E、F分别是边、的中点．    (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）可证，即可求证； （2）可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，从而可证，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点E、F分别是边、的中点， ，， ， 在和中 ， ()． （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 点E、F分别是边、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， 同理可证：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定，掌握判定方法及性质是解题的关键． 6. （2024·江苏苏州·二模）如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连结并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定、根据正方形的性质证明 【分析】用代数分别表示全等直角三角形两直角边的长及正方形面积，再根据全等三角形性质推理求得全等直角三角形两直角边的长，利用垂直平分线的判定证明后可得，最后利用相似三角形性质即可求解． 【详解】解：设全等直角三角形长直角边为，短直角边为，，， ，， 依题得：， ， ， ，， ，， ，， 在线段的垂直平分线上， 在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， ， 正方形中，， ， ， ， ， ，， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、垂直平分线的判定、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练 掌握相似三角形的判定与性质． 7. （2024·江苏淮安·模拟预测）如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键. 由 可证可得故①正确.由等腰三角形的性质可得 故②正确，由全等三角形的性质可得则可得故③正确；由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离，由三角形的面积公式可求故④正确，即可求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确. ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 故②正确， ， ， 故③正确； ∵平分 ∴点到的距离等于点到的距离，设为h， 故④正确， 故选：A. 8. （2024·江苏无锡·一模）矩形中，，，点是中点，点从点出发，沿边运动至点停止，四边形与四边形关于直线对称，设，四边形与矩形重叠部分的面积记为． (1)当点、、三点共线时，求； (2)求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，结合对称性质证得，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得，，进而根据解方程求解即可； （2）分当时，当时，当时，当时，分别画出相应的图形，利用对称性质、全等三角形的判定与性质，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在矩形中，，，点是中点， ∴，，，， ∴为等腰直角三角形，则，， 由对称性质得，，， ∴， ∵， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得； （2）解：当时，如图2，设与相交于点E，连接，过M作于H，则，，又， ∴，则，设， ∵， ∴，又， ∴在中，由勾股定理得， ∴，解得， ∴ ； 当时，四边形与四边形重合， ∴，上式仍然成立； 当时，如图3，设与相交于点F，连接、，过M作于E，则 ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，又， ∴， ∴，设，则，， 在中，， 由得， 解得， ∴ ， 当时，重叠部分为，则，符合上式， 综上，． 【点睛】本题考查矩形的性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和函数的思想求解是解答的关键． 9. （2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 10. （2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度． 根据已知证，利用勾股定理求出的长，再证明，得出，然后证明，得出对应边成比例，建立关于a、x的方程，求解即可． 【详解】解：∵平分交于点E，且， ， ∴， 又∵， ∴， 设， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 11. （2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 12. （2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形应用举例、列分式方程 【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键． 设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示， 根据题意，，，，，， ， ， ， ， 故选：D． 13. （2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形应用举例、利用相似三角形的性质求解 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 14. （2024·江苏扬州·二模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】2.6 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 为2.6米， 故答案为：2.6． 15. （2024·江苏泰州·三模）如图，是的外接圆． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上找一点，使得（注：每个工具只限用一次）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质是解题的关键． （1）如图，以为圆心，长为半径画弧交于，连接，交于，点即为所求； （2）由，可得，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于，连接，交于， 连接， 由作图可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所作； （2）解：∵， ∴，即，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的长为． 16. （2024·江苏徐州·模拟预测）徐州方特冲上云霄是一座高空刺激过山车，这座过山车以其惊险刺激的体验和高度而闻名，乘坐者可以在高空中感受到速度和重力的极限挑战．如图，为了测量该建筑物最高处的高度，小红通过调整测角仪的位置，在该建筑物周围的点C处用测角仪测得其顶部A的仰角为（测角仪的高度忽略不计）接着，在阳光下，小红沿着方向向前走47米（即米），到达该建筑物顶部在太阳光下的影子末端D处，在D处竖立一个2米长的标杆，此时标杆在太阳光下的影长为3米．已知B、C、D、F四点在同一直线上，，请结合以上数据求该建筑物的高度（精确到）．（参考数据：，） 【答案】该建筑物的高度约为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、相似三角形应用举例 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 设米，利用正切函数可得到，进而得到米，再利用太阳光线是平行光线可得，再利用相似三角形对应线段成比例，列出方程求解即可． 【详解】解：设米， 由题意得：， ∴， ∴米， ∵米， ∴米， ∵, ∴， ∴，即,,解得：． 答：该建筑物的高度约为米． 17. （2024·江苏南京·二模）晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）证明，可得，可得； （3）由，求出，再由求出即可 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴， 解得，， 答：此时小凯到路灯的距离； （2）解：如图， 由（1）可得：, ∴ 又 ∴， ∴ ∴； （3）解：如图， 同（2）可得， ∴ ∵ ∴， ∴， 又 ∴， ∴ 解得，， 所以，小凯头顶离地面的最大高度． 18. （2023上·江苏常州·九年级统考期末）已知点P在内，连接，在中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点P为的自相似点，如图，在直角中，，如果点P为直角的自相似点，那么 ． 【答案】 【分析】先找到的内相似点，再根据三角函数的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故可在内作， 又∵点P为的自相似点， ∴过点C作，并延长交于点D，    则， ∴点P为的自相似点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件先确定出P点的位置是解题的关键． 19. （2023上·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则该矩形与相邻的另一条边长是 .（剪法不止一种） 【答案】或 【分析】分情况讨论，根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示矩形， 设，， ∵， ∴， 即：， ∴，， ∴， 则； 如图所示矩形， 设，， ∵， ∴， 即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 20. （2023下·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    【答案】或 【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与相似， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，    ①当时，有， ∴，即， 解得； ②当时，有， ∴，即， 解得， ∴经过2秒或秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键． 21. (2023南通市中考数学真题)正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 【答案】（1） （2）的度数为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案； （2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案； 当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案； （3）由平行的性质得到分线段成比例． 【小问1详解】 ． 正方形， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交于点． ， 四边形是矩形． ． ，， ， 为等腰直角三角形，． ． ． ． ， ． 为等腰直角三角形，． ． ②当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形， 同理，． ． 为等腰直角三角形，． ． 综上，的度数为45°或135°． 【小问3详解】 解：当点在边延长线上时，点在边上（如图）， 设，则． ． ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22. (2023徐州市中考数学真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点． （1）求点的坐标； （2）随着点在线段上运动． ①大小是否发生变化？请说明理由； ②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为 ． 【答案】（1），； （2）①的大小不变，理由见解析；②线段的长度存在最大值为； （3） 【解析】 【分析】（1）得，解方程即可求得的坐标，把化为顶点式即可求得点的坐标； （2）①在上取点，使得，连接，证明是等边三角形即可得出结论；②由，得当最小时，的长最大，即当时，的长最大，进而解直角三角形即可求解； （3）设的中点为点，连接，过点作于点，证四边形是菱形，得，进而证明得，再证，得即，结合三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点为， 令，， 解得或， ∴； 【小问2详解】 解：①的大小不变，理由如下： 在上取点，使得，连接， ∵， ∴抛物线对称轴为，即， ∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，即的大小不变； ②，∵， ∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段的长度存在最大值为； 【小问3详解】 解：设的中点为点，连接，过点作于点， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵的中点为点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵的中点为点，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. （2023·江苏盐城·校联考二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例．    【初步体验】 （1）如图 1，在中，点 D 在上，E 在上，．若，，则 ， ； （2 ） 已知，如图 1 ，在中，点 D 、E 分别在、上，且． 求证：． 证明：过点作的平行线交于点 F … … … … … … 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】 （3 ）如图 2，如果一条直线与的三边、、或其延长线交于 D、F、E 点，那么是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由； （4） 如图 3 ，在中，D 为 的中点，．则 ．    【答案】（1）3，（2）见解析（3）是定值，值为1（4） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可； （2）根据平行线的性质，以及平行线分线段成比例，推出和的各角对应相等，各边对应成比例，即可得证； （3）过点作，交于点，得到，即可得到； （4）过点作，交于点，交于点，根据平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质，进行推导求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：3，； （2）证明：过点作的平行线交于点 F    则：， ∵， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （3）过点作，交于点，    ∴， ∴， 即：为定值，值为1； （4）过点作，交于点，交于点，    ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质．解题的关键是掌握平行线分线段成比例，添加辅助线，构造平行和相似三角形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——全等三角形、相似三角形 1、全等三角形 知识一：全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识二：全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识三：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识四：直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识五：全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 2、相似三角形 知识点1．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点2．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点3．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点4．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点5．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1. （2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 2. （2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 3. （2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 4. （2024·江苏无锡·二模）如图，点C在线段上，，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 5. （2023·江苏南京·三模）如图，在中，点E、F分别是边、的中点．    (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 6. （2024·江苏苏州·二模）如图，已知正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形，连结并延长交于点，设正方形的面积为，正方形的面积为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7. （2024·江苏淮安·模拟预测）如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8. （2024·江苏无锡·一模）矩形中，，，点是中点，点从点出发，沿边运动至点停止，四边形与四边形关于直线对称，设，四边形与矩形重叠部分的面积记为． (1)当点、、三点共线时，求； (2)求关于的函数表达式． 9. （2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 10. （2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 11. （2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 12. （2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 13. （2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 14. （2024·江苏扬州·二模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米， 那么为 米． 15. （2024·江苏泰州·三模）如图，是的外接圆． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上找一点，使得（注：每个工具只限用一次）； (2)若，，求的长． 16. （2024·江苏徐州·模拟预测）徐州方特冲上云霄是一座高空刺激过山车，这座过山车以其惊险刺激的体验和高度而闻名，乘坐者可以在高空中感受到速度和重力的极限挑战．如图，为了测量该建筑物最高处的高度，小红通过调整测角仪的位置，在该建筑物周围的点C处用测角仪测得其顶部A的仰角为（测角仪的高度忽略不计）接着，在阳光下，小红沿着方向向前走47米（即米），到达该建筑物顶部在太阳光下的影子末端D处，在D处竖立一个2米长的标杆，此时标杆在太阳光下的影长为3米．已知B、C、D、F四点在同一直线上，，请结合以上数据求该建筑物的高度（精确到）．（参考数据：，） 17. （2024·江苏南京·二模）晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 18. （2023上·江苏常州·九年级统考期末）已知点P在内，连接，在中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点P为的自相似点，如图，在直角中，，如果点P为直角的自相似点，那么 ． 19. （2023上·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则该矩形与相邻的另一条边长是 .（剪法不止一种） 20. （2023下·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    21. (2023南通市中考数学真题)正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 22. (2023徐州市中考数学真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点． （1）求点的坐标； （2）随着点在线段上运动． ①大小是否发生变化？请说明理由； ②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，的面积为 ． 23. （2023·江苏盐城·校联考二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例．    【初步体验】 （1）如图 1，在中，点 D 在上，E 在上，．若，，则 ， ； （2 ） 已知，如图 1 ，在中，点 D 、E 分别在、上，且． 求证：． 证明：过点作的平行线交于点 F … … … … … … 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】 （3 ）如图 2，如果一条直线与的三边、、或其延长线交于 D、F、E 点，那么是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由； （4） 如图 3 ，在中，D 为 的中点，．则 ．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$