2025年中考数学一轮复习-第06讲 分式方程及应用

第06讲分式方程及应用 一、选择题： 1.下列关于的方程中，是分式方程的是(    ) A. B. C. D. 2.方程的解是(    ) A. B. C. D. 3.在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为(    ) A. B. C. D. 4.已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为   (    ) A. B. 且 C. 且 D. 且 5.若关于的方程有增根，则的值是(    ) A. B. C. D. 6.千里江山图是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 7.某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本图书价格的倍，已知学校用元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多本，那么学校购买文学类图书平均每本图书的价格是。 A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、填空题： 8.下列方程：；；；是常数；其中是关于的分式方程的有          填序号 9.解关于的方程有增根，则的值为          ． 10.若二次根式有意义，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的和是          ． 11.分式方程的解是          ． 12.解方程时，若设，则方程可化为整式方程           ． 13.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？若设这批椽的数量为株，则可列分式方程为          ． 14.“绿水青山就是金山银山．”某地为美化环境，计划种植树木棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了，结果提前天完成任务，则实际每天植树________棵． 三、解答题： 15. 解方程：； 解不等式组：． 16. 年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 17.若关于的分式方程无解，求的值． 18.关于的方程：． 当时，求这个方程的解； 若这个方程有增根，求的值． 19.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前天完成任务，还多种了稞．实际每天种多少棵树？ 本题所列的方程可以是：；． 表示的实际意义是          ，表示的实际意义是          ． 选择其中一种方程解答此题． 20.阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：，． 经检验：，都是方程的解． 当时，，解得：； 当时，，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解． 原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： 若在方程中，设，则原方程可化为：______； 若在方程中，设，则原方程可化为：______； 模仿上述换元法解方程：． 21.如果两个实数、使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数、组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：、使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． 下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有______填序号； 若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； 若数对且，是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】A.，是一元一次方程，不符合题意；．，是一元一次方程，不符合题意；．，是分式方程，符合题意；．，是一元一次方程，不符合题意故选C． 2.【答案】  【解析】解：方程的两边都乘以得：， 解方程得：， 经检验是原方程的解， 所以原方程的解是． 故选B． 方程的两边都乘以，把分式方程变成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 本题考查了分式方程的解法，关键是把分式方程转化成整式方程，注意一定要进行检验． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了用换元法使分式方程简便，掌握换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转化为整式方程是关键． 如果，那么，原方程变为：，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程． 【解答】   解：设，则， 原方程变为， 方程两边都乘得． 即． 4.【答案】  【解析】解：， ， ， 方程的解为非负数， ， ， ， ， ， 的取值范围是且． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：确定增根的值；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【解答】 解：方程两边都乘，得 ， 方程有增根， 最简公分母，即增根是， 把代入整式方程，得． 故选B． 6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  【解析】根据题意，得该分式方程的增根是，该分式方程转化为整式方程，得，把代入，得故答案为． 10.【答案】  【解析】将分式方程去分母，得，解得又分式方程有正数解，，解得当，即时，分式方程有增根二次根式有意义，，即，，且，整数的值为、、、、、，其和为． 11.【答案】  【解析】【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 原方程的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验． 12.【答案】  【解析】解：因为， 所以原方程可变形为． 整理，得：． 故答案为：． 此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 根据换元法解分式方程的方法解答即可． 13.【答案】  【解析】这批椽的数量为株，少了一株椽之后的运费为文这批椽的价钱为文，每株椽的价钱为文由题意可得． 14.【答案】  【解析】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 故答案为：． 设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，根据工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前天完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出的值，再将其代入中即可求出结论． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15.【答案】解：去分母，得， 去括号，得， ． 经检验，是原方程的解． 原方程的解为：． ， 解不等式，得． 解不等式，得． 原不等式组的解集为：．  【解析】按解分式方程的一般步骤求解即可； 先解组中的每一个不等式，再确定不等式组的解集． 本题考查了分式方程和二元一次不等式组，掌握求解分式方程和一元一次不等式的一般步骤是解决本题的关键． 16.【答案】 解： 设这款电动汽车平均每公里的充电费为元， 则燃油车平均每公里的加油费为元， 根据题意，得解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为元．   【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设这款电动汽车平均每公里的充电费为元，则燃油车平均每公里的加油费为元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍列分式方程，解方程即可求解． 17.【答案】解：去分母得：，整理得：， 当时，方程无解，此时； 当，时，分式方程无解，则， 故关于的分式方程无解，则的值为或．   18.【答案】解：当时，原方程为， 方程两边同时乘以得：， 解这个整式方程得：， 检验：将代入， 是原方程的解； 方程两边同时乘以得， 若原方程有增根，则， 解得：， 将代入整式方程得：， 解得：．  【解析】把的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； 由分式方程有增根，得到最简公分母为，求出的值，代入整式方程即可求出的值． 此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 19.【答案】【小题】 原计划每天种树的棵数 实际种树的天数 【小题】 解：选择方程， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 实际每天种棵树； 选择方程， ， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合意义； ， 实际每天种棵树．   【解析】  本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据各数量之间的关系所列方程，找出表示的实际意义是解此题的关键． 由实际与原计划每天种树的棵数间的关系及所列方程可得出表示的实际意义；根据实际与原计划种树时间间的关系以及所列方程可得出表示的实际意义； 【详解】解：青年志愿者的支援，每天比原计划多种， 方程中表示的实际意义是原计划每天种树的棵数，表示的实际意义是实际每天种树的棵数； 青年志愿者的支援，提前天完成任务， 方程中表示的实际意义是实际种树的天数， 故答案为：原计划每天种树的棵数；实际种树的天数；  解分式方程，检验后得出的值，即可得解． 20.【答案】； ； 原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， 当时，，该方程无解， 当时，，解得：， 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解为．  【解析】解：将代入原方程，则原方程化为． 故答案为：； 将代入方程，则原方程可化为． 故答案为：； 原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， 当时，，该方程无解， 当时，，解得：， 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解为． 将所设的代入原方程即可； 将所设的代入原方程即可； 利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可． 本题考查了分式方程的解法，掌握换元法解分式方程是关键． 21.【答案】  【解析】解：若，，分式方程的解为无解， 不符合“关联数对”的定义， 故不正确，不符合题意； 若，，分式方程的解为， ，符合“关联数对”的定义， 故正确，符合题意； 若，，分式方程的解为， 不符合“关联数对”的定义， 故不正确，不符合题意； 故答案为：； 数对是关于的分式方程的“关联数对”， 是方程的解， ， 整理得：， 解得：； 数对且，是关于的分式方程的“关联数对”， 是分式方程的解， ， 整理可得， 解得， 将方程整理为， 解得， 方程有整数解， ，， 或或或， 又，， ， ， 或． 根据“关联数对”定义分别判断即可； 根据“关联数对”定义，将代入，建立关于的方程求解即可； 根据“关联数对”定义计算即可； 本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$