精品解析：广西壮族自治区2025届高三下学期二月联合调研测试数学试题

广西2025届2月高三毕业班联合调研测试 数学科试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共.40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交运算的定义即可求解. 【详解】， 故， 故选：A 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据模长公式求解. 【详解】根据可得， 故， 故选：C 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将齐次式由弦化切，即可求值. 【详解】. 故选：C 4. 已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据结合题意整理得，代入公式运算 【详解】向量，都是单位向量，则， ，即， ， 又因为，所以， 故选：B 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得，而根据角的终边位置可得，故可得三者之间的大小关系. 【详解】，而，故， ，而， 故，故， 故选：C. 6. 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用球体、圆柱体体积公式和球体表面积，圆柱体侧面积公式可得答案. 【详解】由球的半径为R，则圆柱体的高为R 此鼎主体部分的容积约为： 此鼎主体部分外表面积约为： 所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为： 故选：D 7. 过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出过圆心与点的直线的斜率，当直线与垂直时，取得最小值，则可得直线的斜率，则直线的方程可求． 【详解】由题意得圆的标准方程为，则圆心. 过圆心与点的直线的斜率为. 当直线与垂直时，取得最小值， 故直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即， 故选：C． 8. 已知，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点的概念，结合三角函数的周期性解题. 【详解】由是函数的零点，可得，即，，取（正半轴的第一个零点）可得； 又是函数的零点，由，得，， 取（正半轴的第四个零点）得，所以，. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长､促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来几个时间发布的人民币一年定期存款利率： 时间 2018年4月 2019年4月 2020年4月 2021年6月 2022年9月 2024年7月 2024年10月 利率 1.35 1.50 1.75 1.75 1.55 1.35 1.10 关于表中的7个数据，下列结论正确的是（ ） A. 极差为0.25 B. 平均数不大于1.5 C. 分位数与分位数相等 D. 中位数为1.75 【答案】BC 【解析】 【分析】将诸数据排序后根据极差、平均数、百分位数、中位数的计算公式计算后可得正确的选项. 【详解】把这7个数据按照从小到大的顺序排列：，，，，，，. 选项A：极差为，A错误. 选项B：平均数为，B正确. 选项C：，， 故分位数与分位数都是1.35，C正确. 选项D：中位数为第四个数即，D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，利用导数研究函数的单调性、极值和零点，即可判断A，B；根据函数的对称性判断C；利用导数的几何意义求的切线方程，即可判断D. 【详解】由得，令得：， 令得或；令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以有两个极值点为极大值点，为极小值点，故A正确； 又，， 而趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大； 所以仅有1个零点如图所示，故B错误； 又，所以，所以关于对称，故C正确； 对于D，设切点，在P处的切线为， 即， 若是其切线，则，则，此时切点为时， 切线方程直线，所以D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 11. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个选项，正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 双曲线两渐近线的夹角正切值为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的图，结合截面圆与底面关系确定半径，即可求面积判断A；再由椭圆、双曲线、抛物线性质建立直角坐标系，并标注相关点的坐标求对应曲线方程，进而判断BCD. 【详解】对于A，依题意，截面圆的半径为底面圆半径的一半，则圆的面积为，A正确； 对于B，如下图轴截面中，作于，则长轴长， 又，则，B正确； 对于C，如下图，与面垂直且过M的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点、点P与底面距离相等，均为2，则，双曲线与底面一个交点， 设双曲线为，且，则，解得， 所以其中一条渐近线为，若其倾斜角为，则， 所以两条渐近线夹角正切值为，C错误； 对于D，如下图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H， 则，点， 设抛物线方程为，则，解得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式即得. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中常数项为， 故答案为：. 13. 已知△的角的对边分别为且，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系化简得出，再应用正弦定理边角转化及余弦定理代入求解即可. 【详解】因为， ，代入，，则可得：. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意函数，根据得，即，令，通过导数求的最大值即可. 【详解】由题意，， 注意到，， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足,， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足，， 当时，函数成立，符合条件， 所以，即. 令，则， 令，则， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数判断函数的单调性并求最值，本题解题的关键是由得，然后结合导数求解待求表达式最大值即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列前项的和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列通项公式及求和公式基本量运算求出，再得出通项公式即可； （2）应用分组求和结合等差数列前n项和公式及等差数列前n项和公式计算求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得 所以 . 16. 近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲､乙两名同学一起收集了6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型①；模型②.对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表： 种植面积亩 2 3 4 5 7 9 每亩种植管理成本/百元 25 24 21 22 16 14 模型① 估计值 25.27 23.62 21.97 17.02 13.72 残差 0.38 0.28 模型② 估计值 26.84 20.17 18.83 17.31 16.46 残差 0.83 3.17 注：表中. （1）将以上表格补充完整，判断哪个模型拟合效果更好，并简要说明理由； （2）视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求其经验回归方程. 参考公式：. 【答案】（1） 种植面积亩 2 3 4 5 7 9 每亩种植管理成本/百元 25 24 21 22 16 14 模型① 估计值 25.27 23.62 21.97 20.32 17.02 13.72 残差 0.38 1.68 0.28 模型② 估计值 26.84 22.39 20.17 18.83 17.31 16.46 残差 1.61 0.83 3.17 模型①拟合效果更好. （2） 【解析】 【分析】（1）根据回归模型①②分别代入求出相应每亩种植管理成本的估计值，再由实际值与估计值的差求出相应残差，然后分别计算残差平方和，比较大小判断拟合效果即可； （2）根据残差的绝对值剔除异常数据，由参考公式求解可得经验回归方程. 【小问1详解】 当时， 当时，， 完成表格如下： 注：表中. 种植面积亩 2 3 4 5 7 9 每亩种植管理成本/百元 25 24 21 22 16 14 模型① 估计值 25.27 23.62 21.97 20.32 17.02 13.72 残差 0.38 1.68 0.28 模型② 估计值 26.84 22.39 20.17 18.83 17.31 16.46 残差 1.61 0.83 3.17 模型①的残差平方和为5.0994， 模型②的残差平方和为24.4832， 因为， 即模型①的残差平方和比模型②的残差平方和小，所以模型①拟合效果更好. 【小问2详解】 由题意及（1）可知，模型①中仅第四组数据残差的绝对值超过1.5， 故应剔除第四组数据，剔除后， 则， ， 则， 所以所求经验回归方程为. 17. 如图（1），在平面四边形中，，， 过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且． （1）证明：． （2）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：依题意，，而，平面， 则平面，又平面，则， 由，，得，， 连接，则，而，平面PCE， 因此平面，又平面， 所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，可得，连接，再证明平面，进而可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角公式计算即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）求函数的极值． （2）设，曲线在处的切线为l． （i）证明：除切点外，曲线恒在l的上方． （ii）若，且，证明：． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （i）因为函数，所以． 设曲线在处的切线的斜率为k，则， 又，则曲线在处的切线方程为：，即． 设函数，则． 当时，单调递减；当时，单调递增． 则， 所以． 故除切点外，曲线恒在l的上方． （ii）分别令，且满足， 由（i）知， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 令，可得， 即，得证． 【解析】 【分析】（1）求导得，求得的根，进而求得函数在根的左路左右两侧的单调性，从而可求极值； （2）（i）利用导数求得函数在处的切线方程，令，利用导数可证，可得结论； （3）利用（2）可得，令，利用导数求得的最小值即可证明结论. 【小问1详解】 ， ，令，可得． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，有极大值，并且极大值为， 函数无极小值． 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：证明（3）问，关键在于利用（2）的结论得到，进而令，再结合导数求得函数的最小值，是一种常用思路与方法． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于点（异于），设直线的斜率分别为. （i）证明为定值，并求出该定值； （ii）设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值. 【答案】（1） （2） （i）显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为． 联立，消去x整理得， ． 所以 . （ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合离心率公式计算即可； （2）（i）设直线l的方程为，联立方程，由韦达定理及斜率公式即可求解； （ii）由（i）得直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，由三角形的面积公式，结合（i）的结论可得，继而即可求解. 【小问1详解】 已知椭圆，， 因为、为椭圆的左右顶点，所以，解得. 又因为椭圆的离心率，，所以. ， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （i i）由（i）得直线的方程为， 直线的方程为， 联立两条直线方程，解得，所以． 又， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西2025届2月高三毕业班联合调研测试 数学科试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共.40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（ ） A. B. C. D. 7. 过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长､促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来几个时间发布的人民币一年定期存款利率： 时间 2018年4月 2019年4月 2020年4月 2021年6月 2022年9月 2024年7月 2024年10月 利率 1.35 1.50 1.75 1.75 1.55 1.35 1.10 关于表中的7个数据，下列结论正确的是（ ） A. 极差为0.25 B. 平均数不大于1.5 C. 分位数与分位数相等 D. 中位数为1.75 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个选项，正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 双曲线两渐近线的夹角正切值为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项是______．（用数字作答） 13. 已知△的角的对边分别为且，若，，则__________. 14. 已知函数，若，则最大值为______ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列前项的和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲､乙两名同学一起收集了6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型①；模型②.对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表： 种植面积亩 2 3 4 5 7 9 每亩种植管理成本/百元 25 24 21 22 16 14 模型① 估计值 25.27 23.62 21.97 17.02 13.72 残差 0.38 0.28 模型② 估计值 26.84 20.17 18.83 17.31 16.46 残差 0.83 3.17 注：表中. （1）将以上表格补充完整，判断哪个模型拟合效果更好，并简要说明理由； （2）视残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求其经验回归方程. 参考公式：. 17. 如图（1），在平面四边形中，，， 过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且． （1）证明：． （2）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）求函数的极值． （2）设，曲线在处的切线为l． （i）证明：除切点外，曲线恒在l的上方． （ii）若，且，证明：． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于点（异于），设直线的斜率分别为. （i）证明为定值，并求出该定值； （ii）设为直线和的交点，记的面积分别为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $