精品解析：安徽省铜陵市铜官区铜陵市第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

铜陵一中2024-2025学年高三下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式得集合A，求函数定义域得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以． 故选：A 2. 已知平面向量的夹角为，且，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案. 【详解】由， 所以，即， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 3. 某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论. 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种， 再将余下人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名， 故满足条件的报名方法有, 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法， 再安排余下三人，有种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种， 所以满足条件的不同的报名方法共有种方法. 故选：C. 4. 葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ）（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件求出上下两个球的半径，结合球的体积公式求两个球的体积，相减可得结论. 【详解】设下面球的半径为， 因为上，中，下三个几何体的高度之比为， 则上面球的半径为，圆柱的高为， 由已知，所以， 故下面球的半径为，上面球的半径为， 所以下面球的体积为，上面球的体积为， 又， 所以下面球的体积与上面球的体积之差约为， 故选：A. 5. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 所有项恒大于等于 B. 若，则是单调递增数列 C. 若是常数列，则 D. 若，则是单调递增数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列递推公式计算每一选项，选项A，若，可推得；选项B，，不符合单调递增数列；选项C， 计算可得，即可判断；选项D，利用反例法判断. 【详解】对于A，因数列满足， 若，可推得，故A错误； 对于B，当时，代入，解得， 将代入，可得， 易得，，故不是递增数列，故B错误； 对于C，若是常数列，即有，则得，解得，故C正确； 对于D，由题， 因为，所以由递推关系可知，且，， 所以，.故D错误. 故选：C. 6. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调， 所以列出不等式，计算出，判断即可. 【详解】由题意知，，则， 因为，所以，又因为在区间上单调， 所以，解得，则的最大值为. 故选：B. 7. 定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可. 【详解】∵，∴为奇函数，又∵， ∴的图象关于直线对称． 当时，，单调递增． 由，即有， 所以，即函数的一个周期为4， 由可得，，所以的图象关于中心对称． 函数的简图如下： 其中， 由，∴所有实根之和为. 故选：A． 【点睛】方法点睛： （1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和； （2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象； 8. 设双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，且，则双曲线两条渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式得到，再由双曲线的定义和余弦定理得到，最后结合三角形的面积公式求出渐近线斜率即可. 【详解】设，则，即， 双曲线C的渐近线方程为， 则， 又，则， 在中，由余弦定理可得：， 于是，， 而，因此，化简得， 即，所以，即， 所以双曲线两条渐近线的斜率为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（）的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 为纯虚数 【答案】AB 【解析】 【分析】设，根据复数代数形式的运算法则一一计算即可. 【详解】设，则， 所以，故A正确； ，故B正确； 取，则，显然，但，故C错误； ，当，时，，故D错误． 故选：AB 10. 如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，故A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，故B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，故C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（ ） A. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为 B. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于 C. 若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则 D. 若为拉梅曲线上第一象限内一点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对拉梅曲线的理解后，根据在特定参数下曲线的性质和所围成区域面积的计算，通过分析各个选项，结合拉梅曲线的基本定义和性质，逐一验证每个选项的正确性即可求解． 【详解】当时，拉梅曲线方程为为菱形，与坐标轴交于点，， 则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab，A不正确． 当时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线在第一象限的情形， 此时由可得，下证， 即证，即证， 即证，即证，即证， 即证，即证，这显然成立． 因为（）表示圆心为，半径为a的四分之一圆弧， 所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为， 则拉梅曲线与第一象限围成的封闭区域的面积小于， 则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于，B正确． 当拉梅曲线与曲线恰有4个公共点时， 根据对称性可知，它们在第一象限恰有1个公共点，由， 整理得恰有1个正根，则， 解得，即，C正确． 若为拉梅曲线上第一象限内一点， 则，从而，D正确． 故选：BCD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中和的系数，即可得的展开式中的系数. 【详解】的展开式的通项式 当时，, 当时，, 的展开式中含的系数为. 故答案为：. 13. 若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据基本（均值）不等式求出的取值范围，再结合对变形成，设函数，则问题转化成函数在给定区间上的最小值问题.利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值. 【详解】因为x，y为正实数，且， 所以，且（当且仅当时取“”）. 又因为. 设函数（）.问题转化为求函数的最小值. 因为， 由，又，所以； 由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化成函数求最小值问题，还要结合基本不等式，确定所设函数的定义域. 14. 在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出光线与、、相切时的斜率，数形结合即可得解. 【详解】将半圆依次沿着，，作对称，如图所示： 光线在镜面发生反射可以等效处理为：光线进入了镜子后的空间， 因此问题就转化为光线如何与镜子内外的圆没有交点，光线变化的范围如图所示. 当光线与相切时，光线所在直线斜率为， 由对称性可知当光线遇射线时反射光线若与相切，则入射光线所在直线为与圆相切， 当光线与圆相切但遇射线时反射光线不与相切时， 此时，所以光线斜率为 ， 当光线与相切时，光线斜率为， 所以由图可知k的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是数形结合简化问题的难度. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，为边上的中线. （1）证明：； （2）若，，求的最大值. 【答案】（1）证明：方法一：为边上中线，， ， 在中，由余弦定理得：， ， ， . 方法二：为边上中线， 在中，， 在和中，由余弦定理得： ， 即， ， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：对两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二： 在和中，由余弦定理可得答案； （2）在中，由余弦定理得，结合（1）再利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，由余弦定理可得， 故，即， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值为. 16. 如图，在四棱柱中，已知底面，，点是线段上的动点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与所成角的余弦值的最大值； （3）在线段上是否存在与不重合的点，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可得平面，结合面面垂直的判定定理可证结论； （2）根据直线与平面所成角的取值范围，求得平面与直线的夹角，结合法向量与线面距离，可得答案； （3）设，求得二面角的两平面的一个法向量，结合夹角的向量公式，可得的方程，求解可得答案. 【小问1详解】 由，，所以. 由平面，平面，所以. 由，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 取中点，连接， 在梯形中，因为，，所以，， 则在中，，由，则， 易知两两垂直，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示： 在四棱柱中，，则， 因为平面，平面，所以， 在中，， 则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，可得，则， 取，则，所以平面的一个法向量， 设点到平面的距离， 设直线与平面所成角为，则，即， 在四棱柱中，因为，且平面， 所以当直线与所成角为时，其余弦值取得最大值，即为. 【小问3详解】 由题意作图如下：由题可知 ，，， 因为，所以，则，， ， 设平面的法向量，可得， 则，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面的法向量，可得， 则，令，则， 所以平面的一个法向量， 设二面角的大小为， 则， 由二面角的正弦值为，则， 可得，化简可得，解得或， 由，则，故存在，. 17. 甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜．已知共20道试题，甲能答对其中的15道题，乙答对每道题的概率为，每答对一题得5分，答错不扣分．两人商议后约定：甲随机选择其中的3道题作答；乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题．设甲答题总得分为，乙答题总得分为． （1）求甲答题总得分的概率； （2）求乙答题总得分的期望，并从期望角度说明甲、乙谁胜出？ （参考数据：） 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由已知，甲答题总得分，即甲答对2道题，答错1道题，由概率公式计算即可. （2）由已知，求得，由乙答题得分的取值范围为，求出对应概率，进而由期望公式求出，即可得到答案. 【小问1详解】 因为共20道试题，甲能答对其中的15道题， 甲答题总得分，即甲答对2道题，答错1道题， 所以甲答题总得分的概率为 . 【小问2详解】 设甲答对题目的个数为，则， 则， 所以； 由题意可知，乙答题得分的取值范围为， ，，，， ， ， 记， ， 得 ， 所以， ， 因为，所以， 则，所以乙胜出． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （ⅰ）设点，所以，， 设直线的斜率为，方程为：，则， 由消去，得①， 因为直线与椭圆相切，所以方程①， 得， 所以②， 其中． 所以关于的方程②有两相等实根，所以， 所以为定值． （ⅱ）椭圆：的左、右焦点，． 方法1：由（ⅰ）得过点与直线垂直的直线为：， 令，得，所以直线与轴交点， 所以，． （）， 同理．所以． 根据内角分线定理得，为的角平分线，设与轴交于点, 所以， 即，，三点共线，所以直线过点． 方法2：设点，则， 根据题意得，解得 所以， 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． 方法3：设点，则， 过垂直于的直线交于点， 由（ⅰ）可得：，则：． 联立直线与的方程得所以 所以， 所以，所以，，三点共线， 所以直线过点． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和短轴的概念建立方程组，解之即可求解； （2）（ⅰ）设，：，联立椭圆方程，利用可得，结合得，解得，即可证明；（ii）由（i）可得点与直线垂直的直线方程，求出直线与轴交点，根据两点求距离公式证明，结合内角平分线定理即可下结论. 【小问1详解】 根据题意得， 又，解得，， 所以椭圆：． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）． 19. 数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题： （1）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：； （2）是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （注：e为自然对数的底数） 【答案】（1）；证明如下: 此时有，因为，则得， 则，所以得证； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）当时，恒成立，；当时，可化为，令，，利用导数方法判断其单调性，结合洛必达法则即可求出的范围；得出以，将代入整理，即可证明不等式成立； （2）先由题意得到；由推出，结合（1）的结果，可求出；对于，当或时，于显然恒成立；当时，推出以，同（1）构造函数，求出；从而可求出结果. 【小问1详解】 当时，显然恒成立，； 当时，可化为， 令，，则， 令，，则在上恒成立， 因此在上单调递减，所以， 即在上恒成立， 所以在上单调递减， 又由洛必达法则可得：， 所以恒成立，因此，为使对任意恒成立，只需； 综上，； 证明略. 【小问2详解】 存在，使得：有，,证明如下： 由题意，为使恒成立，必有； (i)由得，所以，则，因为， 由（1）知对任意恒成立， 为使都成立，只需，解得； (ii)对于，当或时，于显然恒成立； 当时，，由得，所以， 令，则，， 所以，同（1）令，， 则， 令，， 则在上恒成立， 因此在上单调递增，所以， 因此在上恒成立， 所以在上单调递减， 又， 所以当，； 因此，为使恒成立，只需，解得； 由(i)(ii)可得，；即存在，使得：有，. 【点睛】思路点睛： 利用导数的方法求解不等式中的参数时，一般可利用分离参数的方法，先分离出所求参数，再构造函数，利用导数的方法求函数的最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜陵一中2024-2025学年高三下学期开学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量的夹角为，且，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 3. 某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ）（） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 所有项恒大于等于 B. 若，则是单调递增数列 C. 若是常数列，则 D. 若，则是单调递增数列 6. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ). A. B. C. D. 7. 定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 8. 设双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，且，则双曲线两条渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（）的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 为纯虚数 10. 如图，棱长为2的正方体 中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 11. 我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（ ） A. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为 B. 若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于 C. 若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则 D. 若为拉梅曲线上第一象限内一点，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________（用数字作答） 13. 若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为______． 14. 在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，为边上的中线. （1）证明：； （2）若，，求的最大值. 16. 如图，在四棱柱中，已知底面，，点是线段上的动点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与所成角的余弦值的最大值； （3）在线段上是否存在与不重合的点，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 17. 甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜．已知共20道试题，甲能答对其中的15道题，乙答对每道题的概率为，每答对一题得5分，答错不扣分．两人商议后约定：甲随机选择其中的3道题作答；乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题．设甲答题总得分为，乙答题总得分为． （1）求甲答题总得分的概率； （2）求乙答题总得分的期望，并从期望角度说明甲、乙谁胜出？ （参考数据：） 18. 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点． 19. 数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题： （1）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：； （2）是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （注：e为自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $