第2章 一元二次方程 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第2章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列选项中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．将方程改写成的形式，则的值分别为（    ） A．1，4，2 B．1，4， C．1，，2 D．1，， 3．关于的一元二次方程的根是（ ） A． B．0 C．1和2 D．和2 4．一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 6．求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 7．若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 8．对于实数a，b定义一种新运算“★”如下：，若，则实数m等于（    ） A．6 B．2 C．2或 D．2或或6 9．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 10．若数使关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共18分． 11．若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是 ． 12．某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程 ． 13．已知t为一元二次方程的一个解，则 ． 14．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ． 15．若，则的值为 ． 16．如图，在中，∠B=90°，点D在线段上，点E在线段上，，，，则线段的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 19．阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：    (1)将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______步； (2)中间小正方形的面积为______平方步； (3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为______； (4)由（2）（3）可得关于x的方程______，进而解得矩形田地的宽为24步． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 21．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价5元，则平均每天销售数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 22．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则的值是______； (2)求当x为何值时，代数式有最小值？并求出最小值为多少． 23．我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥． 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放． （1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样． 【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）． 【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由． 24．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 　 　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列选项中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、方程中未知数的次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故本选项符合题意． C、方程有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．将方程改写成的形式，则的值分别为（    ） A．1，4，2 B．1，4， C．1，，2 D．1，， 【答案】C 【分析】根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【详解】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为1，，2， 故选：C． 3．关于的一元二次方程的根是（ ） A． B．0 C．1和2 D．和2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．熟练掌握解一元二次方程的基本方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故选：D． 4．一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先求出，然后根据一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系进行判断即可． 【详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 5．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 6．求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程求根公式，解题的关键是掌握求根公式．对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，而求根公式得， 故， 故选：C． 7．若m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 8．对于实数a，b定义一种新运算“★”如下：，若，则实数m等于（    ） A．6 B．2 C．2或 D．2或或6 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元二次方程解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：当时，则，解得：，不符合题意，舍去； 当时，则， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，， 故选：B． 9．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 10．若数使关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况、解分式方程，熟练一元二次方程的判别式，解分式方程的步骤是解题的关键．由方程有两个不相等的实数解，利用可得出，解分式方程可得，结合分式方程的解为正整数得到或，再代入分别检验分式方程的解是否符合题意即可得出结论． 【详解】解：方程有两个不相等的实数解， ， 解得：， ， ， 解得：， 由题意得，是正整数， 是正偶数，且， ， ， 或， 或， 当时，是分式方程的增根，不符合题意，舍去； 当时，是分式方程的解，符合题意； 满足条件的的值为5． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共18分． 11．若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键：使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根；根据一元二次方程的解的定义可得，进而可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个实数根是， ， ， 的值是， 故答案为：． 12．某学校图书馆2023年年底有图书5万册，预计到2025年年底增加到8万册，设图书数量的年平均增长率为x，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用预计该校图书馆2025年年底拥有图书量=该校图书馆2023年年底拥有图书量×（1+图书数量的年平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 13．已知t为一元二次方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．利用一元二次方程的解，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：为一元二次方程的一个解， ， ， ． 故答案为：． 14．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 15．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则，再利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：设，则， 整理可得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，点D在线段上，点E在线段上，，，，则线段的长为 ． 【答案】6 【分析】延长至点，使，连接，易得，三线合一，得到，设，得到，证明为等腰三角形，得到，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则：，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； 故答案为：6 【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，利用方程思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）运用因式分解法进行计算即可求解； （2）先去括号，再整理为一般式，最后运用因式分解法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， ∴； （2）解：， 去括号得，，整理得，， 因式分解得，， ∴． 18．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键； （1）由题意可得，再求解即可； （2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根． ， 解得：； （2）解：∵ ∴当时，一元二次方程为， ， ． 19．阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：    (1)将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______步； (2)中间小正方形的面积为______平方步； (3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为______； (4)由（2）（3）可得关于x的方程______，进而解得矩形田地的宽为24步． 【答案】(1)60 (2)144 (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用： （1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解； （2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解； （3）设矩形田地的宽为x步，则长为步，，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可求解； （4）由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程． 【详解】（1）解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步， ∴大正方形的边长为 60步； 故答案为：60 （2）解：中间小正方形的面积为平方步； 故答案为：144 （3）解：设矩形田地的宽为x步，则长为步， ∴小正方形的边长为步， ∴小正方形的面积为平方步； （4）解：由②③可得关于x的方程：． ∴(舍去) ， ∴   答：矩形田地的宽为24步． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出，． （1）根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解； （2）利用根与系数的关系找出，，代入来求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：的两个实数根为， ，， 与的函数关系式为：． 21．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价5元，则平均每天销售数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 【答案】(1)30 (2)20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用； （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价元，则每天的销售量为件，再根据总利润=单件利润×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，若降价5元，则平均每天销售数量为（件）， 故答案为：30； （2）解：设每件商品应降价元， 由题意得，． 整理得：， 解得或． ∵要尽快减少库存， ∴． ∴每件商品应降价20元． 22．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则的值是______； (2)求当x为何值时，代数式有最小值？并求出最小值为多少． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，得，则，，即可作答． （2）模仿题干，则，结合，则当时，有最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，则， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意，， ∵， ∴当时，有最小值． 23．我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥． 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放． （1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样． 【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）． 【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，是第个和第个图形 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据前三个图形中纹样的个数即可得解； （2）根据（1）即可得出规律； （3）根据（2）中的规律，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：（1）由图形可得： 第一个图形有个纹样， 第二个图形有个纹样， 第三个图形有个纹样， 故第四个图形有个纹样， 第五个图形有个纹样； （2）由（1）可得：第n个图形有个纹样； （3）由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴存在相邻的两个图形的纹样个数和为，是第个和第个图形． 24．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 　 　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长． 【答案】（1）不是；（2）的度数为或；（3）的长为或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， 不满足任意两个内角的差为， ∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”； 故答案为：不是； （2）∵是“准等边三角形”，，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴，即 ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）∵，，， ∴，， ∵是“准等边三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，    ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$