专题2.1 一元二次方程（5大知识点5大考点17类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.1 一元二次方程（5大知识点5大考点17类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】一般形式：（其中是未知数，是已知数，）. 【知识点2】一元二次方程的解法： （1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. （2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法. 【知识点3】一元二次方程的根的判别式： （1）当时方程有两个不相等的实数根； （2） 当时方程有两个相等的实数根； （3）当时方程没有实数根； （4）当时方程有两个实数根 【知识点4】一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，则, . 【知识点5】实际问题与一元二次方程 （1）列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；（x是平均增长率，n增长次数） ③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 【考点与题型目录】 【考点1】概念与性质理解巩固 【题型1】一元二次方程定义与一般形式............................................3 【题型2】一元二次方程的解+整体思想求代数式的值.................................3 【题型3】一元二次方程的解的估算................................................3 【考点2】解一元二次方程 【题型4】解一元二次方程——直接开平方法........................................4 【题型5】解一元二次方程——配方法..............................................4 【题型6】解一元二次方程——公式法..............................................5 【题型7】解一元二次方程——因式分解法.................................,........5 【题型8】用适当的方法解一元二次方程..................................,.........5 【考点3】根的判别式与根与系数关系 【题型9】根的判别式...................................................,........6 【题型10】根与系数的关系...............................................,.......6 【题型11】根与系数的关系与根的判别式综合..............................,........7 【考点4】一元二次方程的应用 【题型12一元二次方程的应用——传播问题+握手问题+循环问题..............,.......7 【题型13】一元二次方程的应用——与图形有关问题.........................,.......7 【题型14】一元二次方程的应用——销售+利润问题+增长率问题................,......8 【题型15】一元二次方程的应用——其他问题...............................,.......9 【考点5】中考链接与拓展延伸 【题型16】直通中考.......................................................,.....9 【题型17】拓展延伸............................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】概念与性质理解巩固 【题型1】一元二次方程定义与一般形式 【例1】（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 （1）为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【变式1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则a满足（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东茂名·期中）一元二次方程化简成一般形式后，二次项系数为9，其一次项系数为 ． 【题型2】一元二次方程的解+整体思想求代数式的值 【例2】（24-25九年级上·北京·期中）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【变式1】（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）若是方程的一个根，则的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【题型3】一元二次方程的解的估算 【例3】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 【考点2】解一元二次方程 【题型4】解一元二次方程——直接开平方法 【例4】（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为，则输入的x的值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【题型5】解一元二次方程——配方法 【例5】（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）用配方法解方程： （1）； （2）． 【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【变式2】（18-19九年级上·全国·单元测试）方程应用配方法时，配方所得方程为 ． 【题型6】解一元二次方程——公式法 【例6】（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程． 解：∵，，，， ∴， ∴，． 【陷阱】__________________________________________________ 【题型7】解一元二次方程——因式分解法 【例7】（2024九年级上·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（19-20八年级下·山东烟台·期末）用因式分解法解关于的方程 ，将左边分解因式后有一个因式为，则的值为 【变式2】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【题型8】用适当的方法解一元二次方程 【例8】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）用适当方法解下列方程： （1） （2） 【变式1】（24-25九年级上·云南大理·期中）用适当方法解方程： （1） （2） 【变式2】（24-25九年级上·河南信阳·期中）用适当方法解下列方程： （1） （2）； 【考点3】根的判别式与根与系数关系 【题型9】根的判别式 【例9】（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值． 【变式1】（2024九年级上·吉林长春·竞赛）关于的一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知一次函数的图象不经过第一象限，则方程的根的个数为 ． 【题型10】根与系数的关系 【例10】（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知关于的方程．若方程有一个根为2，求的值及该方程的另一个根． 【变式1】（24-25九年级上·河北沧州·期中）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）若一元二次方程的两个根分别为m，n，则代数式的值为 ． 【题型11】根与系数的关系与根的判别式综合 【例11】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【变式1】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知关于的方程：． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设非0实数是方程的两根，试求的值． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知：的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5．k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【考点4】一元二次方程的应用 【题型12】一元二次方程的应用——传播问题+握手问题+循环比赛问题 【例12】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． （1）每轮传染中平均一人传染了几人？ （2）如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【变式1】（24-25九年级上·山西忻州·期中）为丰富学生的课余活动，某校九年级组织进行一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（参赛的每两队之间都比赛一场），共需安排场比赛，则九年级班级的个数为 ． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期中）在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．若设参加此交流会的学生为x名，根据题意可列方程 ． 【题型13】一元二次方程的应用——与图形有关问题 【例13】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃． （1）设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为______； （2）当的长是多少米时，围成的花圃面积为平方米？ （3）围成的花圃面积能否平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）《代数学》中记载，求方程的正数解的几何方法是：“如图1，构造一个面积为的正方形，以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为300，则该方程的正数解为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式2】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为 ． 【题型14】一元二次方程的应用——销售+利润问题+增长率问题 【例14】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）据统计某公仔在某电商平台6月份的销量是5万件，8月份的销量是7.2万件． （1）若该平台6月份到8月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降低元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【变式1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）产业兴，百姓富，生态美，革命老区贵州遵义正努力走出一条转型发展新路子．2024年遵义前三季度的生产总值约为3600亿元，第一季度生产总值约为1160亿元，设前三季度每个季度的平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）眼下正是道州脐橙成熟上市的季节，今年道县21.6万亩脐橙迎来了大丰收．两年前道州脐橙的种植面积是15万亩，假设这两年种植面积的平均增长率相同． （1）求这两年道县脐橙种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，道县某脐橙基地每天能售出2000千克脐橙，每千克降价1元，每天可多售出500千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，若每千克降价元，则每千克利润为元，该基地某天获利了3375元，则当天每千克降价了多少元？ 【题型15】一元二次方程的应用——其他问题 【例15】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． （1）写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； （2）经过几秒，的面积为； （3）出发几秒后，的长度等于？ 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 【考点5】链接中考与延伸拓展 【题型16】直通中考 【例1】（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 【例2】（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【题型17】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在等边三角形中，E为反向延长线上一点且，F为线段上一点且，则F到直线和直线距离之和为    1 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【题型5】解一元二次方程——配方法..............................................7 【题型6】解一元二次方程——公式法..............................................9 【题型7】解一元二次方程——因式分解法.........................................11 【题型8】用适当的方法解一元二次方程...........................................13 【考点3】根的判别式与根与系数关系 【题型9】根的判别式...........................................................15 【题型10】根与系数的关系......................................................17 【题型11】根与系数的关系与根的判别式综合......................................19 【考点4】一元二次方程的应用 【题型12一元二次方程的应用——传播问题+握手问题+循环问题.....................21 【题型13】一元二次方程的应用——与图形有关问题................................22 【题型14】一元二次方程的应用——销售+利润问题+增长率问题......................25 【题型15】一元二次方程的应用——其他问题......................................27 【考点5】中考链接与拓展延伸 【题型16】直通中考............................................................29 【题型17】拓展延伸............................................................31 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】概念与性质理解巩固 【题型1】一元二次方程定义与一般形式 【例1】（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 （1）为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】（1）；（2）当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 解：（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 【变式1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则a满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·广东茂名·期中）一元二次方程化简成一般形式后，二次项系数为9，其一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将一元二次方程进行化简称为一般形式即可得到答案． 解：一元二次方程化简成一般形式为：， 故一次项系数为， 故答案为：． 【题型2】一元二次方程的解+整体思想求代数式的值 【例2】（24-25九年级上·北京·期中）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，整体代入计算得到答案． 解： ， 是关于的一元二次方程的根， ， ， 则原式． 【变式1】（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）若是方程的一个根，则的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，根据题意可得，再代入求值即可． 解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 【题型3】一元二次方程的解的估算 【例3】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，将关于的方程化为，由表格可知，当或时，，由此可得关于的方程的实数根，掌握方程的解的定义是解题的关键． 解：关于的方程可化为， 由表格可知，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，， 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 解：时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点拨】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 【考点2】解一元二次方程 【题型4】解一元二次方程——直接开平方法 【例4】（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为，则输入的x的值为 ． 【答案】4或 【分析】根据运算程序可得，然后利用直接开平方法解方程即可． 本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解方程的步骤是解题的关键． 解：根据题意，得， 两边都除以，得， 所以， 解得，． 故答案为：4或． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查解一元二次方程，把看成一个整体，利用直接开方法解方程即可． 解： ∴， ∵， ∴的值是7． 【题型5】解一元二次方程——配方法 【例5】（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）用配方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 解：（1）解：， ， ， ， ，； （2）（2）， ， ， ， ， ， ，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 【变式2】（18-19九年级上·全国·单元测试）方程应用配方法时，配方所得方程为 ． 【答案】 【分析】先将﹣1移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后将等号左边配成一个完全平方式就可以了． 解：移项得：2x2﹣8x=1 两边同时除以2，得：x2﹣4x= 配方得：x2﹣4x+4=，即（x﹣2）2=． 故答案为（x﹣2）2=． 【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程的运用，完全平方公式的运用，在解答时根据配方法的步骤进行变形是关键． 【题型6】解一元二次方程——公式法 【例6】（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）无实数根；（2）无实数根 【分析】（1）先化成一般式，计算根的判别式，再求解． （2）先化成一般式，计算根的判别式，再求解． 解：（1），，，， ∴， ∴该方程无实数根． （2）整理为一般式，得：， ∵，，， ∴， ∴方程无实数根． 【点拨】本题考查了解方程，先计算根的判别式是解题的关键． 【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程． 解：∵，，，， ∴， ∴，． 【陷阱】__________________________________________________ 【答案】见分析 【分析】先把方程化成一般式，后求解． 解：用公式法解方程时，没有先把方程化成一般形式，系数找错． ， ∵，，，， ∴， ∴，． 【点拨】本题考查了公式法解方程，把方程化成一般式是解题的关键． 【题型7】解一元二次方程——因式分解法 【例7】（2024九年级上·全国·专题练习）用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用十字相乘法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ， 或， ∴； （2）解：， ， ∴或， ∴． 【变式1】（19-20八年级下·山东烟台·期末）用因式分解法解关于的方程 ，将左边分解因式后有一个因式为，则的值为 【答案】1 【分析】方法一：根据题意因式分解得到，再展开去括号，根据恒等式即可求出p的值；方法二：将代入方程可得一个关于p的一元一次方程，解方程即可得． 解：方法一：由题意得，， ，， 解得， 则； 方法二：由题意得，是关于x的方程的一个解， 则将代入得：， 解得， 故答案为：1． 【点拨】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键． 【变式2】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【答案】①一；②，；③， 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项→将方程的右边化为零； 化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 解：①明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②， ，即， ∴或， 解得：，， ∴此题的正确结果是：，， 故答案为：：，； ③， ， ， ， ∴或， 解得：，． 【题型8】用适当的方法解一元二次方程 【例8】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；；（2），； 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程： （1）移项，二次项系数化为1，配方，直接开平方求解即可得到答案； （2）移项，因式分解求解即可得到答案； 解：（1）解： 移项得， ， 系数化为1得， ， 配方得， ，即， 两边开平方得， ∴， ∴，； （2）解： 移项得， ， 因式分解得， ， ∴或， ∴，． 【变式1】（24-25九年级上·云南大理·期中）用适当方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法解方程是关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 解：（1）解：∵ ∴ 则或， 那么，，； （2）解：∵， ∴， 则， 故，． 【变式2】（24-25九年级上·河南信阳·期中）用适当方法解下列方程： （1） （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一无二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键． （1）先移项，再配方，利用开方法来求解； （2）先移项，再提取公因式，化为两个因式的积等于0的形式，进而得到或，再解一元一次方程即可求解． 解：（1）解：移项得， 配方得， ， 开平方得， ． （2）解：， 移项得 提取公因式得， 或， 【考点3】根的判别式与根与系数关系 【题型9】根的判别式 【例9】（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了根的判别式． （1）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用求根公式法解方程得到，，再利用有理数的整除性得到，从而确定整数m的值． 解：（1）证明： ， 该方程总有两个实数根； （2）解：， ∴，， 方程有两个不相等的正整数解， ∴， ∴ 整数的值为2． 【变式1】（2024九年级上·吉林长春·竞赛）关于的一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】根据所给方程可得，计算得，根据非负性得，健即可得． 解：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点拨】本题考查了根的判别式，非负性，掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）已知一次函数的图象不经过第一象限，则方程的根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，根据一次函数的图象判断的符号，进而判断出一元二次方程的判别式的符号，即可．解答本题的关键是讨论和． 解：∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴，或， ∵， ∴当时，方程化为，方程有1个解； 当时，则：，为一元二次方程， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2． 【题型10】根与系数的关系 【例10】（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知关于的方程．若方程有一个根为2，求的值及该方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系．熟记相关结论即可． 将代入方程得到的值，再根据根与系数的关系可求出另一根． 解：将代入方程得： ， 解得：； ， ， 解得； ，方程的另一个根是． 【变式1】（24-25九年级上·河北沧州·期中）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 解：，是关于的方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）若一元二次方程的两个根分别为m，n，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为． 根据一元二次方程的定义得出，由一元二次方程根与系数关系得出，整体代入即可得到答案． 解：∵一元二次方程的两根分别为m，n ∴，，即， ∴． 故答案为：． 【题型11】根与系数的关系与根的判别式综合 【例11】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系以及根与系数的关系是解答的关键． （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 解：（1）解：一元二次方程有实数根， ， ， 即； （2）解：为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知关于的方程：． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设非0实数是方程的两根，试求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义； （1）计算一元二次方程根的判别式，根据，即可得证； （2）根据题意可得是原方程的解，可得，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式，即可求解． 解：（1）证明：∵． 无论取何实数时，总有． ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入方程，得．即． ∵， ∴． 由根与系数的关系，． ∴． ∴． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知：的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5．k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【答案】k＝3或4，周长是14或16 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是根据等腰三角形的性质分情况讨论并结合一元二次方程的根的情况进行求解． 根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①，②，③，再由根与系数的关系得出k的值． 解：分两种情况： ①当时，， ， 解得不存在； ②当时，即， ， 解得或， ③当时，同理求得或； 则的周长为：或． 综上所述，当或4时，是等腰三角形．其相应的的周长是14或16． 【考点4】一元二次方程的应用 【题型12一元二次方程的应用——传播问题+握手问题+循环比赛问题 【例12】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． （1）每轮传染中平均一人传染了几人？ （2）如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染9个人；（2）100人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有100人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 解：（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：，即： 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染9个人． （2）第一轮的患病人数为：人， 第二轮的患病人数为：人， 则，第三轮的患病人数为：人． 【变式1】（24-25九年级上·山西忻州·期中）为丰富学生的课余活动，某校九年级组织进行一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（参赛的每两队之间都比赛一场），共需安排场比赛，则九年级班级的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设九年级班级的个数为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：设九年级班级的个数为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴九年级班级的个数为， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期中）在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．若设参加此交流会的学生为x名，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键． 设参加此会的学生为x名，每个学生都要握手次，而两名学生握手一次，所以应将重复的握手次数去掉，由此列出一元二次方程即可． 解：设参加此交流会的学生为x名，根据题意得： 故答案为：． 【题型13】一元二次方程的应用——与图形有关问题 【例13】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃． （1）设花圃的一边为，则的长可用含的代数式表示为______； （2）当的长是多少米时，围成的花圃面积为平方米？ （3）围成的花圃面积能否平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米；（3）不能，理由见分析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式； （1）设花圃的一边为，则的长为； （2）令该面积等于63平方米，求出符合题意的x的值，即是所求的长． （3）不能，根据花圃的面积为即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即不能围成的花圃． 解：（1）解：的长可用含x的代数式表示为， 故答案为：； （2）解：依题意有， 解得； 当时，符合题意； 当时，不符合题意，舍去， 故当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米． （3）解：不能，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不能围成的花圃． 【变式1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）《代数学》中记载，求方程的正数解的几何方法是：“如图1，构造一个面积为的正方形，以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为300，则该方程的正数解为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识．根据阴影部分的面积及一次项的系数，可得出构造的大正方形的面积为400，进而可求出该方程的正数解． 解：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个角上的小正方形的边长为5， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴该方程的正数解为， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列出方程．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程． 解：设道路的宽为，根据题意得：， 故答案是： 【题型14】一元二次方程的应用——销售+利润问题+增长率问题 【例14】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）据统计某公仔在某电商平台6月份的销量是5万件，8月份的销量是7.2万件． （1）若该平台6月份到8月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降低元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是；（2）售价应降低元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 （1）设月平均增长率是，利用8月份的销售量月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． 解：（1）解：设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：月平均增长率是． （2）解：∵售价每降低元，每天可多售出2件， ∴售价每降低元，每天可多售出4件， 设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，． 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 【变式1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）产业兴，百姓富，生态美，革命老区贵州遵义正努力走出一条转型发展新路子．2024年遵义前三季度的生产总值约为3600亿元，第一季度生产总值约为1160亿元，设前三季度每个季度的平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了增长率问题的一元二次方程的实际应用，设前三季度每个季度的平均增长率为x，第一季度生产总值约为1160亿元，则第二季度生产总值约为，第三季度生产总值约为，再根据前三季度的生产总值约为3600亿元列出方程即可． 解：设前三季度每个季度的平均增长率为x，第一季度生产总值约为1160亿元， 则第二季度生产总值约为，第三季度生产总值约为， 故前三季度的生产总值约为：， 即， 故选：C 【变式2】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）眼下正是道州脐橙成熟上市的季节，今年道县21.6万亩脐橙迎来了大丰收．两年前道州脐橙的种植面积是15万亩，假设这两年种植面积的平均增长率相同． （1）求这两年道县脐橙种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，道县某脐橙基地每天能售出2000千克脐橙，每千克降价1元，每天可多售出500千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，若每千克降价元，则每千克利润为元，该基地某天获利了3375元，则当天每千克降价了多少元？ 【答案】（1）；（2）当天获利3375元，则售价降低了元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年道县脐橙种植面积的平均增长率为x，根据两年前道州脐橙的种植面积是15万亩，今年是21.6万亩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）每千克降价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：（1）解：设这两年道县脐橙种植面积的平均增长率为x， 根据题意得， 解得（不合题意，舍去）， 答：这两年道县脐橙种植面积的平均增长率是； （2）解：每千克降价y元，则每天可售出千克， 根据题意，得， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：当天获利3375元，则售价降低了元． 【题型15】一元二次方程的应用——其他问题 【例15】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． （1）写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； （2）经过几秒，的面积为； （3）出发几秒后，的长度等于？ 【答案】（1），；（2）2秒或4秒；（3）2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 解：（1）解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； （2）设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 设长为步，则宽为步，根据题意，列方程． 解：设长为步，则宽为步， 由题意可得：， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 【考点5】链接中考与延伸拓展 【题型16】直通中考 【例1】（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 【答案】或 【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，分式有意义、解一元二次方程等知识点，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程． 由于关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解． 解：设方程的两个根为， 则， 由条件知，即且， 故． 则方程为． 当，即时，关于x的方程为有实数根， 不等式即为， 则， 或． 当时，， ． 又是正整数，且， ，但使不等式的分母无意义． 综上，不等式的解为：或． 【例2】（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为；（2）购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 解：（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 【题型17】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在等边三角形中，E为反向延长线上一点且，F为线段上一点且，则F到直线和直线距离之和为    【答案】 【分析】延长至点，使得，过点作，于点，过点作于点，先证明，再导角得到，则，在中，由勾股定理得，，设，则，在中，由勾股定理得，再解方程即可． 解：延长至点，使得，过点作，于点，过点作于点，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：或（舍）， ∴， ∵， 而， ∴， ∴F到直线和直线距离之和为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，难度较大，运用面积法求解是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$