第18章 小专题6 平行四边形的证明思路-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（人教版 2012）

小专题6平行四边形的证明思路 类型1已知（已证）四边形中边的关系 (1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等 或另一组对边平行； (2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行 或另一组对边相等 1.(2023·宁夏)如图，已知EF∥AC,B,D分别 是AC和EF上的点，∠EDC=∠CBE.求证： 四边形BCDE是平行四边形. 4.如图，在□ABCD中，AE⊥BD于点E.老师 给出了如下尺规作图步骤： (1)以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BD 于点M,N: (2)分别以点M,N为圆心，大于2MN的长 为半径画弧，两弧交于点P: (3)连接CP并延长，交BD于点F: 2.如图，在四边形ABCD中，AB=DC,点E,F在 (4)连接CE,AF 对角线AC上，且AE=CF,连接BE,DF.若 请根据以上步骤，证明：四边形AECF是平行 BE-DF,求证：四边形ABCD是平行四边形. 四边形. 3.(2023·扬州节选)如图，E,F,G,H分别是平 行四边形ABCD各边的中点，连接AF,CE 相交于点M,连接AG,CH相交于点N.求 证：四边形AMCV是平行四边形. 44名检误家·数单·八年喷下·阳 5.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边 7.如图，□ABCD的对角线相交于点O,直线 AB为边向外作等边三角形ACD及等边三角 EF经过点O,分别与AB,CD的延长线相交 形ABE,已知∠BAC=30°，EF⊥AB,垂足为 于点E,F.求证：四边形AECF是平行四 F,连接DF.求证： 边形. (1)AC=EF. D (2)四边形ADFE是平行四边形. 8.如图，在□ABCD中，O是对角线AC的中点， EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F, GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H, 连接EG,FG,FH,EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形 类型2已知条件（已证结论）与对角线有关，则 可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形 6.如图，将□ABCD的对角线BD向两个方向 分别延长至点E和点F,使BE=DF.求证： AE∥CF,AE=CF. 名校置 45 口44数曰aB。△AEM☑△DCAM(AAS).,AE=D.∴.AE=AB.(2),BM平分5.D ∠AC,,.∠ABM=∠CBM.四边形ABD是平行四边形， 6.解：AE=CF(答案不唯一)证明：，AE∥CF,∴.∠E=∠F,,BE AD∥BC,AD=BC∴，∠CBM=∠AMB..∠ABM=∠AMB. =DF,AE=CF,,△ABE≌△CDF(SAS),,.AB=CD,∠ABE AB=AM..AB=AE.AM=DM..BE=2AB.BC=AD-2AM ∠CDF,,∠ABD-∠CDB.∴，AB∥CD.,四边形ABD是平行 ,C=BE,△CE是等腰三角形.BM平分∠AC,,BM⊥CE 四边形. 微专题2 7.证明：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,(OA=OC. 1.A2.22或20 ∠OAE-∠OCF,∠OEA-∠OFC..△AOE2△COF(AAS). 第2课时平行四边形对角线的性质 1.C2.45143.1<AB114.85.29 OE=OF,G是OA的中点，H是OC的中点，(0G=之0A.OH 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.,AM OB=OD. 之OC0G=OH.两边形ECFH是平行网边形， =CN,.OM=ON,在△BOM和△ON中， ∠BOM=∠D)N, 8.29.D10.D M=)N, I1.证明：(I):CE∥AB,.∠FAD=∠FCE,∠ADF=∠CEF,F ∴，△BOM≌△DON(SAS)..∠OBM=∠ODN,.BM∥DN 是A的中点，，AF=CF,在△AFD和△CFE中， 7元22889 ∠FAD=∠FCE, ∠ADF=∠CEF,:△AFD≌△CFE(AAS)..DF=EF.,四 9.解：四边形ABCD是平行四边形，，Se一2Sm·AB·DE AF=CF, 边形ADCE是平行四边形.(2)，四边形ADCE是平行四边形， -2X号AC·BE.6X3-10BE.BF-号 CE=AD.,D是AB的中点，∴.AD=BD..CE=BD.又CE∥ 10.C11.C【拓展设间1】8【拓展设问2】2012.122 BD,.四边形BCED是平行四边形.，DE=BC 13.解：(1)Sam=Ssm.理由如下：四边形AD是平行国边形 12.解：四边形ABCD为平行四边形.PD∥BQ.若要以P,D.Q,B Sar=有S.同理，Sam啡=才Se,义Sn=Sm 为顶点的四边形是平行四边形，则PD-BQ.当5<1<要时，AP =2Sm.S△=S.(2)四边形ABCD是平行四边形. =1m,PD=(10-t)em,BQ=(30-4)cm,.10-=30-4+解 OA=(OC,又，AB=BC,,AC⊥BD..∠COD=90.四边形 得1-号：当号<10时，AP-1cm,PD-(10-)am,BQ-( ABDF是平行四边形，.AF∥BD,,.∠CAF=∠COD=90°， 14.解：（门）4(2)S,十S:的值不变，理由：连接AF,:四边形ACD 是平行四边形，AO=C.Sw=Sar,DE=OF.S 一30)cm10-=一30，解科1=8综上所述，当1的值为婴或 ,=Sw,六S十S:=Sg=Saxw.四边形ABCD是平 8时，以P,D,Q.B为顶点的四边形是平行四边形 行四边形，，AD∥BC,OD=OB..∠DAC=∠BCO=90, 第3课时三角形的中位线 L.C2.D3.2+.65.B6.B7.8 ∠A0D=∠BC=60'.·∠AD0=30.A0=20D=BD 8.证明：D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，∴，DE,EF是△ABC 的中位线..DE∥AC,EF∥AB..四边形ADE下为平行四边形. 2.在Rt△AOD中，AD=√OD-A0=√4-2T=25,.S,+ ∴.AE与DF互相平分。 5=5am=AD·0A=×2X2=2,. 9.A10.26”11.2 12.解：(1)证明：D,E分别是AC,AB的中点，，DE是△ABC的中 微专题3 位线..DE∥BC.BC-2DE.CF-3BF,.BC-2BF..DE- 1.42.B BF.又DE∥BF,.四边形DEFB是平行四边形.(2)28 18.1.2平行四边形的判定 13,解：(1)图略，(2)送命题Ⅱ，证明：图略，过点E作EM∥AB交BC 第1课时平行四边形的判定1 边于点M,连接DM.又，DE∥BC,,四边形EDBM是平行四边 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.B3.B 形.BD=EM,DE=BM又DE=BC,∴DE=BM=CM· 4.解：(1)图略.(2)设小正方形方格的边长为1.则AC=√2.AB=后 BE-√E,CE-5..AC一BE.AB-(CE.:四边形ABEC是平行四 四边形DECM是平行四边形..DM=CE,DM∥CE..DM∥ 边形 AE.义：EM∥AD,.四边形ADME是平行四边形，.AD一EM, 5.D6.D7.对角线互相平分的四边形是平行四边形8.D DM=AE.AD=BD,AE=CE..D,E分别是AB,AC的中点 9.正明：，四边形ABCD是平行四边形，.OB=OD,O=OA.AE 选命题Ⅲ，证明：图路，延长ED至点F,使DF=DE,连接BF,,D =CF,.OA十AE=OC十CF,即OE=OF.OB=OD,.四边形 是AB边的中点，∴.AD=BD.又∠ADE=∠BDF,,△ADE≌ △BDF(SAS)..AE=BF,∠AED=∠BFD..AC∥BF.,EF∥ BFDE是平行四边形. 10.C11.C12.24 B,,四边形BEF是平行四边形，.BF=CE..CE=AE.,E 13.证明：，AB∥CD,.∠B十∠C=180°，.∠C=180°-45°=135 是AC的中点 ,ADLCD,DE=DA,.∠E=45,∴，∠C+∠E=180°.∴.AE∥ 微专题4 BC,又AB∥CD,.四边形ABCE是平行四边形，AE=BC. 1.C2.C3.6T 14.证期：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD∥B,AB=CD 小专题6平行四边形的证明思路 ·∠DAE=∠AEB.,AE平分∠BAD,,∠BME-∠DAE. L.证明：，EF∥AC,.∠EDC十∠C=180又，∠EDC=∠CBE,, ∠BAE=/AEB.∴.BE=AB.,BE=D.(2),BE=AB,BF平 ∠CBE+∠C=180..EB∥DC.又，DE∥BC,.四边形BCDE 分 ∠ABE,，AF=EF.在△ADF和△ECF 中 是平行四边形， ∠DAF=∠CEF, AE-CF. AF-EF. ,△ADF≌△EF(ASA)..DF-CF又 2.证明：在△AEB和△CFD中，AB=CD,,.△AEB2△CFD ∠AFD■∠EFC, BE-DF. AF=EF,∴.四边形ACED是平行四边形， (SSS).∠EAB-∠FCD.∴.AB∥DC.义AB-DC..四边形 15.解：(1)以①©作为题设构成的命题是真命题.证明：，AB∥CD ABCD是平行四边形. ∠OAB-∠OCD. 3.证明：”E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点，AH∥ ·∠(OAB=∠OXD.在△AOB和△COD中，AO=), CF,AH=CF..圆边形AFCH是平行四边形..AM∥CN.同理 ∠AOB=∠OD. 可得，四边形AECG是平行四边形.∴.AN∥CM..四边形AMCN △AOB≌△COD(ASA)..OB-OD..四边形ABCD是平行四 是平行四边形， 边形.(2)以①③作为题设构成的命地是段命圈：如果四边ABCD 4.证明：由题意可知，CF⊥BD,.∠CFD=∠CFE=90°.，AE⊥BD, 中.AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形，反例： ,.∠AEB=∠AED=90,,∴.∠CFE=∠AEF=∠AEB=∠CFD= 图1略，等梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC.但它不是平行四 90,.AE∥CF,四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,ABA 边形：以②③作为题设构成的命题是假命题：如果四边形ABCD CD. ∠ABE ∠CDF,在△ABE和△CDF中 的对角线交于点)，且OA=,AD=BC,那么四边形ABD是 I∠AEB=∠CFD, 平行四边形.反例：图2路，根据已知条件不能推出四边形ABCD ∠ABE=∠CDF,∴.△ABE≌△CDF(AAS).,AE=CF.又 是平行四边形. AB-CD. 第2课时平行四边形的判定2 AE∥CF,,四边形AECF是平行四边形 1.平行四边形2.C3.C 5.证明：(1)Rt△ABC中，∠BAC=30,AB=2BC又：△ABE 4.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.AD∥BC又， 是等边三角形，EF⊥AB.AB=2AF,AE=AB.AF=BC在 BE=DF,.AD-DF一BC-BE.即AF-(CE..四边形AECF是 平行四边形. R△BCA和RL△AFE中，(BA-AE,R△BCA≌RL△AFE 13=A5, 36 R阳八下·参考落素 (H),:AC=EF,(2):△ACD是等边三角形，.∠DAC=60, AC=AD.∠DAB=∠DAC+∠BA=0..ADAB.又：EF ADCE是矩形，(2)：D是BC的中点，BC-4,∴BD=CD-BC ⊥AB,,EF∥AD.:AC=EF,AC=AD,EF=AD,.四边形 =2.由(1)可知，四边形ADCE是矩形，AE=CD=2,∠AEC ADFE是平行四边形. 90°，在Rt△AE℃中，AE=2,CE=3,由勾股定理，得AC 6.证明：连接AC交BD于点O.,四边形ABCD是平行四边形，AO =CO,BO=DO.,BE=DF,.BO十BE=DO+DF,即OE=OF VAE FCE=.:EFLAC,S:w=安AC·EF=AE .四边形AECF是平行四边形..AE∥CF,AE一CF, 7.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OD=OB.OA=COC,AB川 ·CE.EF=AE·CE-2X36S AC 1513 CD.,∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EB).在△FDO和△EBHO中， 13.解：(1)证明：由折叠的性质，得∠HEJ=∠AEH,∠BEF ∠DFO=∠BEO. ∠FDO=∠EBO,.△FDO≌△EBO(AAS),.(OF=OE又” ∠FE以，∠HEF=∠HE+∠FE=号×180=90.同理可 OD-OB. 得，∠EHG=∠HGF=∠EFG=9),.四边形EFGH是矩形， OA=O,,四边形AECF是平行四边形. (2)EH=3cm,EF=4cm,∴，HF=E+EF=/0+16 8.证明：四边形ABCD是平行四边形，AD∥C.∠EA(O= ∠FO.O为AC的中点，.OA一(OX.在△OAE和△OF中， 5(m.由折叠的性质，得AE=BE=E=号AB,CG=DG=KG ∠EAO=∠FCO, A-OC. .△OA2△OCF(ASA),.EsOF,同理可 -之CD.HD=HK,CF-KF,∴AE-CG.四边形EFGH是矩 ∠AOE-∠COF. 形，EH=GF.又∠A=∠C=90,.Rt△AEH≌Rt△CGF 证，OG=OH..四边形EGFH是平行四边形. (HL)...AH=CF...AH=KF...AD=AH+HD=FK+HK= 18.2 特殊的平行四边形 HF-5 cm. 18.2.1矩形 18.2.2菱形 第1课时矩形的性质 第1课时菱形的性质 1.A2.C3.48 1.B2.A3.C4.85.57°6.107.28.(2,0) 4证明：四边形ABCD为知形，AB=CD,∠B=∠C=90°.BE 9,证明：四边形ABCD是菱形.AB-AD,∠B=∠D.在△ABE -CF,.BE+EF-CF+EF.即BF-CE.在△ABF和△DCE中 ∠B=∠D, AB-DC. 和△ADF中，∠AEB=∠AFD,,△ABE≌△ADF(AAS)..BE ∠B=∠C..△ABF≌△DCE(SAS)..AF=DE AB=AD. BF=CE. =DF 5.C6.(1)30°(2)47.2.5 10.24 8.证明：四边形ABCD是矩形，.AC=BD,AB∥CD.又BE∥ AC,.四边形ABEC是平行四边形.AC=BE,∴，BD=BE. I山，解：四边形ABCD是菱形，BD=4,OM=OC=立AC,OB= 9.B10.70 11.证明：，ACL BC.AD⊥BD..∠ACB=∠ADB=90义：E为 OD=号BD=2,AC1BD.在R△0XD中，∠0XCD=30,CD AB的中点心CE=士AB,DE=号 AB.CE=DE.△ECD是 =20D=4,.(C=VCD-OD=V0-2=25..AC=20C 等腰三角形 -t瓦.∴Sm-之AC…BD-之×45X4-8a 12.C13.D14.18 12.C13.A14.10或80 15.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，AD∥BC,∠A=90°，AB 15.解：(1)证明：.四边形ABCD是菱形，.AB=AD.∠B∠D. =CD=4.∠DEC=∠ECB.EC平分∠BED,·∠BEC= AE⊥BC·AF⊥CD,·∠AEB-∠AFD-90.在△ABE和△ADF ∠DEC.∠BEC一∠ECB..BC-BE.(2)设BC一BE-x,则 ∠B=∠D, AE=x-2.AB+AE=BE(-2)=x.=5. 中，∠AEB=∠AFD,∴△ABE2△ADF(AAS),.AE=AF BC=元.S6m-号BC·DC-号X5X4=10. AB=AD. (2)四边形ABD是菱形，.BC∥AD.,∠B+∠BAD=180, 16.解：1)图略.(2)AE一(F.证明如下：四边形ABCD是矩形，. ∠B=60,∠BAD=120,∠AEB=90°，∠B=60, AD∥BC∠EAO=∠FO,∠AEO=∠CFO.”EF是AC的垂 ∠BAE=30.由(1)得，△ABE2△ADF,.∠BAE=∠DAF= ∠AEO=∠CFO. 30.∠EAF=120°-30°-30°=60°.义，AE=AF,.△AEF是 直平分线，∴.AO=CO.在△AOE和△OF中，∠EAO-∠FCO 等边三角形..∠AEF一60， AO=CO. 16.5 .△AOE≌△OF(AAS)..AE=CF 微专题5 17.或1 1,752.B 第2课时矩形的判定 第2课时菱形的判定 1.C 1,D2.∠A=90(答業不唯一) 2.证明：四边形ABCD是平行四边形，，AD∥BC,∴.∠AEB 3.证明：O是边AB的中点，.OA1-OB.在△4OD和△BCOC中， ∠FBE.BE平分∠ABC.∠ABE=∠FBE..∠AEB ∠AOD=∠BOC. ∠ABE,·AE=AB.,BF=AB,.AE=BF..四边形ABFE是平 0A-OB. .△AOD2△BC(ASA)..DA-CB.∠A 行四边形.，'AB=BF,,平行国边形ABFE是菱形. ∠A=∠B 3.AD∥C(答案不唯一) =∠B=90,.∠A十∠B=180,∴，DA∥(CB.,同边形ABD是 +.解：(1)△AOB是直角三角形.理由如下：：四边形ABCD是平行四 平行四边形，又：∠A=90°，.平行四边形ABCD是矩形. 4.∠A=90(答案不唯一) 边形，BD=8.0B-0D-号BD-4.0A=3,0B=4AB-5. 5.证明：，AB=AC,AE⊥BC,,.∠AEC=90°，∠BAE=∠CAE= OA+(OF=AB,△AOB是直角三角形，且∠AB=90.(2)证明： 壹∠BAC.:AD平分∠FAC.∠DAC=号∠FAC∠DAE= 由(1)知，∠AOB=0,ACLBD.∴，平行四边形ABD是菱形. 5.A ∠CAE+∠DAC=号∠BAC+2∠FAC=Z(∠BAC+∠FAC 6.证明：BD平分∠ABC·.∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD ∠ABD-∠CBD. -言×180-90.又：CD1AD.∠ADC-90.四边形AECD 中，∠A=∠C, ·△ABD2△CBD(AAS)..AB=BC,AD BD-BD. 是矩形. 6.C =DC.AB=AD,.AB=BC=DC=AD..四边形ABCD是菱 形. 7.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD一B,AD∥BC:BE =DF,∴.AD一DF=BC一BE,即AF=EC..四边形AECF是平行 7.B8.C9.8√ 四边形，又：AC=EF,.平行四边形AECF是矩形， 10.解：(1)证明：DE∥BC,EC∥AB,.四边形DBCE是平行四边 8A9D10.12山.g 形..且EC=DB.在Rt△ABC中，CD为边AB上的中线，.AD =DB=CD,.EC=AD,.四边形ADCE是平行四边形.义AD 12.解：(1)证明：AB=AC,D是B的中点，.AD⊥BC,即∠AD( =CD..平行四边形ADCE是菱形.(2)在Rt△ABC中，CD为边 ∠ADB-90°.CE∥AD,.∠ECD-∠ADB-90.AEI AB上的中线.∠B=60°，BC=6,.AB=2BC=12.在R1△ABC AD,.∠EAD=90..∠ADC=∠ECD=∠EAD=90..四边形 中，由勾股定理，得AC=√A一C=6√3.，四边形DBCE是 R」八下·参考答案 多胶课堂37