第17章 章末复习(2) 勾股定理-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（人教版 2012）

章末复习（二） 勾股定理 01考点针对练 5.(2023·东营)一艘船由A港沿北偏东60°方 考点1勾股定理的认识与证明 向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方 1.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直 向航行40km至C港，则A,C两港之间的距 角三角形（直角边长分别为a,b,斜边长为c) 离为 构成如图所示的正方形：乙同学用边长分别 6.(2024·眉山)如图，图1是北京国际数学家 为a,b的两个正方形和长为b,宽为a的两个 大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽 长方形构成如图所示的正方形.甲、乙两位同 的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成 学给出的构图方案中，可以证明勾股定理的 若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面 是 积为4，现将这四个直角三角形拼成图2所示 的图形，则图2中大正方形的面积为() A.24 B.36 C.40 D.44 A.甲 B.乙 图 图2 C.甲、乙都可以 D.甲、乙都不可以 第6题图 第7题图 考点2勾股定理及其应用 7.(2023·天津)如图，在△ABC中，分别以点A 2.如图，做一个长80cm,宽60 和点C为圆心，大于号AC的长为半径作弧 cm的长方形木框，需在相对 角的顶点钉一根加固木条，则 (弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M,N 木条的长至少为 两点，直线MN分别与边BC,AC相交于点 cm. D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5, 3.新考向跨学科(2024·吉林)图1中有一 则AB的长为 首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲 A.9 B.8 C.7 D.6 所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中 AB=AB',AB⊥BC于点C,BC=0.5尺， 8.已知线段a,b,c,且线段a,b满足a一√48|十 B'C=2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为 (b-12)2=0. (1)求a,b的值 (2)若a,b,c是某直角三角形的三条边的长， D 诗文：波平如镜一湖面，半尺高 求c的值. 处牛红连。亭亭多姿湖巾立，笑 造狂风吹一边离开惊处二尺远， 龙贴湖证像师莲 图1 图2 4.(2023·大连)如图，在平面片 直角坐标系中，点A,B的 坐标分别为(1,0)和(0,2)， 连接AB,以点A为圆心， AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点 C,则点C的横坐标是 名31 口8当4数曰a5。 考点3勾股定理的逆定理及其应用 02核心素养提升练 9.如图，表格中是直角三角形的是 14.勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样， 其巧妙各有不同，在进行勾股定理这一章的 回顾与思考时，李老师带领同学们进行了如 下的探究活动：图1是用硬纸板剪成的四个 全等的直角三角形（两直角边长分别为a,b, 斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请将 它们拼成一个能验证勾股定理的图形. A.① B.② C.③ D.①② 10.在△ABC中，a,b,c分别是三边的长，下列说 法：①∠B=∠C-∠A:②a2=(b+c)(b c):③∠At∠B:∠C-3:4:5:④a:b:c= 5:4:3:⑤a2::2=1:2:3.其中能判断 △ABC为直角三角形的条件的个数为() 图1 图2 A.2 B.3 C.4D.5 (1)如图2，这是李明拼成的图形，他利用图2 11.如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连 验证勾股定理的过程如下，请帮他补充 接AD,BD,且AD⊥BD.已知AD=4, 完整： BD=3,AC=13,BC=12.则图中阴影部分 中间的正方形的面积可表示为 ,还 的面积为 可以表示为 :由正 方形的面积相等可列出等式 ,化简得 第11题图 第12题图 (2)一个零件的形状如图3所示，按要求这 12.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+ 个零件中∠A和∠C都应是直角，工人师 ∠PBA=°（点A,B,P是网格线交 傅测得这个零件各边尺寸已在图中标出 点). (单位：cm),这个零件符合要求吗？请说 13.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边AC上 明理由， 的一点，CD=1,BC=√5，BD=2. (1)求证：△BCD是直角三角形. 25 20 (2)求△ABC的面积. 15 图3 32名地误京~放学·八年顺下，对 新课标·新情境·新题型·引领训练 类型1数学文化 (2)若a=7cm,b=24cm,求△ADE的面积 1.(2024·大庆)如图1，直角三角形的两个锐角 分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方 形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分 别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别 以所得到的直角三角形的直角边为边长作正 方形.图2是1次操作后的图形.图3是重复 上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称 为“毕达哥拉斯树”.若图1中的直角三角形 斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方 形的面积和为 类型3综合与实践 3.【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆 的高度. 图1 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系 图2 图3 类型2阅读理解问题 在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一 段，但这条绳子的长度未知 2.阅读材料：勾股定理是平面几何中一个极为 【实践探究】设计测量方案： 重要的定理，在对它的证明方法中很多都用 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长 到了出入相补原理：把一个平面图形从一处 度，测得多出部分绳子的长度是1米。 移至它处，面积不变：如果把图形分割成几 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接 块，那么各部分面积之和等于原来图形的面 触地面的点C,再测量绳子底端C与旗杆根部 积。 B点之间的距离，测得距离为5米。 解决问题：小红用硬纸板做成了如图1所示 【问题解决】设旗杆的高度AB=x米，通过计 的两个全等的直角三角形，两直角边的长分 算即可求得旗杆的高度： 别为a和b,斜边为c,和一个以c为直角边的 (1)依题知BC= 米，AC= 等腰直角三角形，然后把它们拼成了如图2 米（用含x的式子表示）. 所示的一个直角梯形。 (2)求旗杆的高度， (1)请根据小红的操作，利用下面的图形证明 勾股定理 地而 名置33 日44数曰0B。($n-n-2n+1+4n=n+2n+1-(+1- ,,以a,b 小专题5 1} 利用勾股定理解决最短路径问题 为边的三角形是直角三角形 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 【例1】 1.不垂直 2.正北 3.72cm 4.C 5.90* 6.6V13 7.45° 【例2】3/2 8.解:该尾翼符合设计要求,理由如下:'乙DBC-90”,BC-16cm. 【例3】解:平面展开图略.由题意,得AA'-12cm,A'B--×2x CD-20 cm.*.BD=CD-BC-20 -16-12(cm).在 △ABD中,AB=13em,AD-5cm.'AV+BD-5+12-13- 3-9cm.在Rt△AA'B中,根据勾股定理,得AB-VAA+ABr AB。..△ABD是直角三角形,且乙ADB-90。乙ADB- 12+9-15(cm)'.需要爬行的最短路程是15cm. 乙DBC...AD/BC.*.该尾翼符合设计要求. 针对训练 9.25 10.11.①②④ 1.6 2.5 3.A 4.25 5.10 6.10 7.25 8.10 9.解:(1),'长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为1cm...A.C。一 12.解;(1)CH是从工厂C到河边最近的一条路,理由;.CH+BH +-17(em).*.A.C-5+(17)-42(em).(2)图 -2+(1.5)-6.25.BC-6.25.CH+BH-BC△CHB 1略,A.C=(1+4)+5-5v2(cm).图2略,A.C= 是直角三角形,且/CHB一90。..CH与AB垂直,即CH是从工 厂C到河边最近的一条路.(2)设AC=rkm,则AB二rkm,AH (4+5)+1-8(cm).图3略,AC-(1+5)+4 一(x-1.5)km.在Rt△ACH中.由勾股定理,得AC-AH+ 2v13(em)..5v2<213<82..爬行的最短路程是5v2.m. 章末复习(二) CH',即-(r-1.5)+2,解得-25..AC的长为km. 勾股定理 13.解(1D证明..AC-300km.BC-400km.AB-500km.AC+ 1.A 2.100 3.+2-(.r+0.5) 4.v5+1 5.50 km 6. D BC-AB。'.△ABC是直角三角形,且乙ACB-90”(2)海港C 7.D 会受台风影响,理由:过点C作CDIAB于点D.'S=AC 8.解:(1)'la-48l+(-12)-0.'a-48-.b-12-. '.a-4v3,b-2v3.(2)分两种情况讨论:①当a,b为直角三角形的 AB 500 两条直角边时,^.-十-(4v③)+(23)-215:②当 250240..,海港C会受台风影响.(3)在直线AB上取点E.F,且 a为直角三角形的斜边时,^.r-V--(4v3)-(23)= EC-250km,FC-250 km.在Rt△CED中,由勾股定理,得ED- 6.综上所述.c的值为2v15或6. EC-CD-250-240-70(km).同理,FD-70 km..FF -140km.台风的速度为40km/h..140+40-3.5(h)...台风 9.B 10.C 11.24 12.45 影响该海港持续的时间为3.5h. 13.解:(1D证明:CD-1.BC-5,BD-2.CD+BD-1+2 5-BC.'.△BCD是直角三角形.(2)设腰长AB=AC一r.在 小专题2 利用勾股定理探索两点间距离公式 R△ADB中,由勾股定理,得AB一AD+BD,即=(-1)+ -教材P26练习T2的变式与拓展 1.A 2.C 3.B 4.2v5 14.解:(1)(a+):-×4-(a+):- 5.解:△ABC是等覆三角形,理由如下:AB= 1x4 (-1+a)+(4-1-V13,BC-(-3-1+(1-1-4 =(2)这个零件不符合要求,理由如下:,BC+DC-15- AC(-1-1)+(4-1-13.'AB-AC,AB+AC $ 0*-225+400-625-BD...△BCD是直角三角形,且乙C= BC.'.△ABC为等腰三角形. 90·AB+AD-23+7-529+49-578,BD-25-625. 6.解:设Cr,0)A(3,0),B(0,4)'AB-③+4-5.AC-13-l. '.AB+AD子BD.'.△ABD不是直角三角形,乙A不是直角。 BC一 +16.①当AB-AC时,△ABC为等腰三角形.*.13-rl .这个零件不符合要求 -5.解得x=-2或x-8.点C的坐标为(-2,0)或(8,0);②当 新课标·新情境·新题型·引领训练 AB-BC时,△ABC为等腰三角形。*r+16-5,解得x-3或 2.解:(1)证明:' Ssmao-S+Ss+S-ab+Iab+ 1.48 x=一3.当x一3时,点A.C重合,不合题意,含去,',点C的坐标为 (一3.0):③当AC-BC时,△ABC为等腰三角形.*.13-rl 十16,解得--..点C的坐标为(-.0).综上所述,点 C的坐标为(-2.0)或(8,0)或(-3,0)或(-,0). ##(a&+2ab+)-寸+寸+abab+号=号+ 小专题3 方程思想在勾股定理中的运用 16+ah..-十(2)△ABE是直角三角形,a-7cm.b- 110-r(10-)+6- 【例1】 3 24en.-Va=7+24-25(em).$= 【例2】14--15--13-(14-) . 针对训练 1.5 3.解:(1)5(r十1)(2)在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC十AB 2.解:过点A作AD IBC于点D.设CDc·AC一CD-AB =AC,即5{+-(c+1),解得c=12.答:旗杆的高度为12米。 B$D.13--15-(4+).解得 -5AD-AC-CD 第十八章 平行四边形 -V13-5-12..$--BC.AD-1x4X12=24. 18.1 平行四边形 3.解;设AD-r.在R△ACD中,AC-AD+CD-+4.在 18.1.1 平行四边形的性质 R△BCD中.BC-CD+BD-4+2.在Rt△ABC中,AC 第1课时 + 平行四边形边、角的性质 B$-AB,即+4+4+2-(r+2),解得-8AD-8.。 1.平行四边形 2.D 3.(1)18 11 (2)55 125 55 (3)70 110 小专题4 利用幻股定理解决折叠问题 (4)108 72 4.40*5.2 6.(4.2) 【例】解:、D为BC的中点,.BD-CD-3.设BN一z.则AN 7.证明:?四边形ABCD是平行四边形,..AB=CD,AB//CD.. DN-8-x.在Rt△BDN中,由勾股定理,得(8-x)一r+3,解得 AB-CD. 一故BN的长为 BAE=DCF.在△BAE和△DCF中. BAF-DCF.: AF-CF. 针对训练 △BAE△DCF(SAS)...BE-DF 1.C2.C3. 4.或15 8.D 9.7或17 10.C 11.D 12.21 13.解:(1)图略.(2),四边形ABCD是平行四边形.&.CD一AB-3. 5.解:(1)证明:由折叠的性质可知,乙A-乙EGB-90”,AE-FG·E AD-BC-5..EF是AC的垂直平分线...AE-CE'.△DCE 是AD的中点,'.AE一EG-DE.在Rt△EGF和Rt△EDF中, 的周长为CE+DE+CD-AE+DE+CD-AD+CD-5+3-8. 14.证明;(1)'四边形ABCD是平行四边形.^.AB/CD,AB-CD. E-之DCM. 一x.则GF-r.BF-6+x.CF-6-x.在Rt△BFC中.BF-CF .E-乙DCM.在△AEM和△DCM中. I乙AME-DMC.: +BC,即(6+r)-(6-c)+96,解得x-4.DF的长为4. lAM-DM. A名 35 八下,考答来