第17章 小专题4 利用勾股定理解决折叠问题&小专题5 利用勾股定理解决最短路径问题-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（人教版 2012）

小专题4 利用勾股定理解决折叠问题 【例】 如图,在直角三角形纸片ABC中 直角边AC的延长线上的点E处,折痕为 . AD,则BD的长为 $$-90^{},AB=8,BC=$6,$折叠三$角形$纸片$ ) ABC,使点A与BC的中点D重合,折痕为 B.1.5 D.3 MN,求线段BN的长 3.如图,正方形纸片ABCD的边长为3,E,F分 【思路点拨】先求得BD的长,由翻折的性 别在边BC,CD上,将AB,AD分别沿AE, 质可知AN=DN,设BN=x,则AN-DN AF折叠,点B,D恰好都落在点G处,若 8一x,在Rt△DBN中,由勾股定理列出关于1 t BE一1,则EF的长为 的方程求解即可 第3题图 第4题图 4.如图,在长方形ABCD中,AB-5,BC-6,P 是射线BC上一动点,/为长方形ABCD的一 法想 条对称轴,将△ABP沿AP折叠,当点B的对 应点B落在/上时,BP的长为 解决折叠问题的关键是抓住对称性,勾 5.如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点 股定理的数学表达式是一个含有平方关系 将八ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延 的等式,求线段的长时,可利用勾股定理直 长BG交CD于点F 4接计算,也可设未知数,由勾股定理列出方 (1)求证:DF-FG. 1程,运用方程思想解决问题, (2)若AB-6,BC^{}-96,求DF的长. 针对训练 r 1.如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD 1 9.cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合; C 折痕为EF,则△ABE的面积为 ) A. 3 cm②} B. 4 em{} C. 6 cm{}D. 12 cm^②} 第1题图 第2题图 2. 如图,有一块直角三角形纸片,C一90* AC-4.BC-3.将斜边AB翻折,使点B落在 28 名校课·数·八年下·B 小专题5 利用勾股定理解决最短路径问题 类型1 平面中的最短路径问题 BP士PO的最小值为 【例1】如图,在△ABC中,ACB=90{, 类型2 几何体中的最短路径问题 AC=3,BC-4.P为直线AB上一动点,连接 【例3】 1(教材习题变式)如图, PC,则线段PC的最小值是_. 有一个圆柱,它的高等于12cm,底面 #### 半径等于3cm.在圆柱的底面点A处 有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点 A相对的点B的食物,需要爬行的最短路程是 多少(r取3)? 【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路程, 例1题图 例2题图 需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的 【例2】如图,A(0.1),B(3,2),点P为x轴 平面展开图),把圆柱沿着过点A的直线AA剪 上任意一点,则PA十PB的最小值为 开,因为“两点之间,线段最短”,所以蚂蚁应沿 行法想写 ...... 着平面展开图中线段AB这条路线走. 模型 图例 基本策略 确定动点P所在的 直线; 。 利用对称性,将同侧 的A,B两点转化为 异侧两点A',B,则 模型 最短路径即为线段 A'B; 运指写 常构造直角三角形 几何体中最短路径基本模型如下: (Rt△CBA),利用 图 勾股定理求解 展开 利用“垂线段最短” 确定最短路径; 模型二 构造直角三角形,利 用勾股定理求解 ....... 针对训练 ##### 1. 如图,在Rt\ABC中,C=90*,BC=8. 本书料 /ABC的平分线BD交AC于点D,且BD 10.E是边AB上一动点,则DE的最小值为 甲 乙 丙 A 阶梯 问题 ) 第1题图 第2题图 基本 将立体图形展开成平面图形→利用“两点 愚路 之间,线段最短”确定最短路线→构造直角 2.如图,△ABC为等腰直角三角形,AB=BC 三角形→利用勾股定理求解 2.Q为BC的中点,P为边AC上一动点,则 ★.-....... 名 29 是n。整. D针对训练 _# 3.如图,圆柱形容器的底面周长是24cm,高为 17cm,在外侧底面S处有一蜘蛛,与蝴蛛相 对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的 点F处有一苍蝇,急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛 第7题图 第8题图 所走的最短路线长是 ( ) 8.(2023·广安)如图,圆柱形玻璃杯的杯高为 A.20cm B.8③cm 9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底 D. 24cm C. v433 cm 4cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正 好在杯外壁上,它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相 对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所 24cm 走的最短路程为cm.(杯壁厚度不计) 9.如图,长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽 为1cm. 第3题图 第4题图 (1)点A.到点C.之间的距离是多少? 4.如图,一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分 (2)若一只蚂蚁从长方体的表面点A:爬到点 别为3.5cm,3.5cm,24cm.-只蚂蚁想从盒 C.,则爬行的最短路程是多少? 底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B,则它 爬行的最短路程是 cm. 5.如图,有一个边长为6的正方体木箱,点Q在 上底面的校上,AQ一2,一只蚂蚁从点P出发 沿不箱表面爬行到点Q,则蚂效爬行的最短路 程是 6cm A3cm 第5题图 第6题图 6.(本专题T4变式)如图,长方体的底面边长分 别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细 线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈达到点 B,那么所用细线最短需要 cm. 7.如图,一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高 分别为20,3,2,A和B是这个台阶两个相对 的端点,点A有一只蚂蚁,想到点B去吃可口 的食物,则蚂鼓沿着台阶面爬到点B的最短 路程是__. 30 名校课文·数·八年度下·(2n)2=n一2m2+1十4n=n十2n2+1=《n2十1)3=2，，以a,b,e 小专题5利用勾股定理解决最短路径问题 为边的三角形是直角三角形. 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 【例】号 1不套直2.正北3号m4.c5906.6后7.5 【例2】3v2 8.解：该尾翼符合设计要求，理由如下：：∠DBC=90°，BC=16cm. 【例3】解：平面展开图略，由题意，得A4'=12m,A'B=之×2元× CD=20cm,.BD=VCD-BC=√20-16=12(cm》.在 △ABD中，AB=13cm.AD=5cm,∴.ADy+BD=5十12=13= 3=9m,在Rt△A4B中，根据勾股定理，得AB=√AA十AB AB.·△ABD是直角三角形，且∠ADB-90.·∠ADB 12十9=15(cm).∴.苦要爬行的最短路程是15cm. ∠DBC.AD∥BC,该尾翼符合设计要求 针对调练 ,.牛510.令1.①00 L.62.53.A4.255.106.107.258.10 9,解：(1)长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为1cm,,AC2= 12.解：(1)H是从工厂C到问边最近的一条路.理由：，CH+BH √+F=17(m).∴.AC=√5+(7)=√42(m).(2)图 =2十(1,5)2=6.25，B=6.25,.CHP+BF=B.△CHB 是直角三角形，且∠CHB=90.,CH与AB直，即CH是从丁 1路，A,C=√1+4)+5=52(cm).图2略，A:C 厂C到河边最近的一条路.(2)设AC=xkm,则AB=rkm,AH (4+5)+1-√82(cm).图3略，A:C-(1+5)+4 -(r一1.5)km,在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC一A十 2√13(m).:5√2<2√3<√82，∴爬行的最短路程是5√巨m, CP,即r=(x一l.5y+2,解得x-器AC的长为登km 章末复习（二）勾股定理 13.解：(1)证明：，AC=300km,BC'=400km.AB-500km,.AC+ 1.A2.1003.x2+2=(r十0,5)4.√5+15.50km6.D BC一AB..△ABC是直角三角形，且∠ACB-90°.(2)海港C 7.D 8.解：(1)，|a-√/481+(6-12)=0，，a-48=0,b-12=0, 会受台风影响.理由：过点C作CD⊥AB于点D,:Sar=乞AC .a=4√3，b=2√3.(2)分两种情况讨论：①当，b为直角三角形的 BC-AB CD.:.CD-ACBC-300400-240(km). 4 500 两条直角边时，c=√a+=√《4)+(23)=2√15：②当 250≥240，.海港C会受台风影响.(3)在直线AB上取点E,F,且 为直角三角形的斜边时，.c=√一=√/(4③)-(2)= EC=250km,FC一250km.在R1△CED中，由勾股定理，得ED 6.综上所述，c的值为2√15或6。 √/E-CD-√250-2t0-70(km).同理，FD-70km.∴.EF 9.B10.C11.2412.45 =140km.,台风的速度为40km/h..140÷40=3.5(h)..台风 13.解：(1)证明：CD=1,BC=5,BD=2,.CD+BD)=1+2 影响该海港持续的时间为3.5h. 5=BC,.△BCD是直角三角形.(2)设腰长AB=AC=r.在 小专题2利用勾股定理探索两点间距离公式 R△ADB中，由勾股定理，得AB子=AD+BD,即广=《r一1)2 一教材P26练习T2的变式与拓展 2,解得r=号，Sm=2AC·BD=子×号×2=号 1.A2.C3.B4.25 5.解：△AC是等根三角形，理由如下：”AB= 4.解：D(+b-aX4产-(a+b)-bX4+ V/(-1+3)+(4-1)=/13,BC'=√(-3-1)+(1-1)=4， =(2)这个零件不符合要求.理由知下：”BC+DC=152十 AC=√(-1-1)+(1-1)下=√13，，AB=AC,AB+A≠ 20=225十00=625=BD,.△BCD是直角三角形，且∠C B(,.△ABC为等腰三角形. 90.AB+AD-23+72-529+49-578,BD=25-625, 6.解：设r,0).A(3,0),B(0,4),∴.AB=√3+下=5，AC=3-x AB+AD≠BD,∴，△ABD不是直角三角形，∠A不是直角. ·这个零件不符合要求。 BC=√r+16,①当AB=AC时，△ABC为等腹三角形.∴|3一x =5,解得x=一2或x=8..点C的坐标为（一2,0）或(8,0)r②当 新课标·新情境·新题型·引领训练 1.48 AB=BC时，△ABC为等很三角形.∴.√/+16=5，解得x=3或 .8:合会资意点的标为 2.解：1证明：Smwa-5sg十56ar+56e-b+ab中 v十16，解得x=一合∴点C的坐标为（一石0）.综上所述，点 =b+,Sm=AB+(CD》·C-子+ba+b创 C的坐标为(-2,0)或(8,0)或(-3,0)或(-古，0) =a+2ah+)=+#+ab,ab+2= 小专题3方程思想在勾股定理中的运用 之+uh2一。+从，(2)：△ABE是直角三角形，a-7cm,b- 【例】10-了00-)+6=子装 24cmc=v瓜+7=V+2T=25(m.六5ae=含 【例2】14-x15-x-13-(14-x)9 针对训练 6题em 1.5 3.解：(1)5(r+1)(2》在R△ABC中，由勾股定理，得BC十AB 2.解：过点A作AD⊥BC于点D.设CD-,A一CD-AB =AC,即5十=(x+1),解得x=12,答：旗杆的高度为12米 BD,.13-x-15-(4+x),解得x-5..AD-AC-CD 第十八章平行四边形 =V3-了=12.六Sau=2B,AD=之×4X12=24 18.1平行四边形 3.解：设AD一x.在R△ACD中，AC-AD+CD-P+4,在 18.1.1平行四边形的性质 R1△BCD中，BC-CD+BD-4+2.在R:△ABC中，AC+ 第1课时平行四边形边、角的性质 BC=AB,即x2十4十4十2=(x十2).解得x=8..AD=8. 1.平行四边形2.D3.(1)1811(2)5512555(3)70110 小专题4利用勾股定理解决折叠问题 (4)108724.40°5.26.(4.2) 【例】解：D为C的中点，.BD=CD=3.设BN=x,则AN 7,正明：，四边形ABCD是平行四边形，，AB=CD,AB∥CD, DV=8一x.在R:△BDN中，由勾股定理，得(8一x)=x十3，解得 AB=CD. 一甍故BN的长为需 55 ∠BAE=∠DCF.在△BAE和△DCF中，∠BAE=∠DCF. AE=CF. 针对训练 △BAE△DCF(SAS,,BE=DF 1.C2.C3号4.号或1 8.D9.7或1710.C11,D12.21 13.解：(1)图路.(2)四边形ABCD是平行四边形.CD=AB=3, 5.解：(1)证明：由折叠的性质可知，∠A=∠EGB=90,AE=EG.”E AD=BC=5,:EF是AC的垂直平分线..AE=CE.△DCE 是AD的中点，.AE=EG=DE,在R:△EGF和R△EDF中， 的周长为CE+DE+CD-AE+DE+CD-AD+CD-5+3-8. EF-EF. EGED. ,Rt△EGF≌R1△EDF(HL》,.DF=GF,(2)设DF 14.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，，AB∥D,AB=CD. ∠E=∠M, x,则GF=r,BF=6+x,CF=6-x,在Rt△BFC中，BF=CF ·∠E-∠DCM.在△AEM和△DCM中， ∠AME-∠DMC. +BC,即(6十x)一(6一x)十96，解得x一4..DF的长为4. AM-=DM. R」八下·参考答案 多胶课堂35