第17章 小专题2 利用勾股定理探索两点间距离公式&小专题3 方程思想在勾股定理中的应用-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（人教版 2012）

(2n)2=n一2n2十1十4n=n+2n2十1=《n2十1)3=2，，以a,h,e 小专题5利用勾股定理解决最短路径问题 为边的三角形是直角三角形， 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 【例】号 1.不垂直2.正北3.72cm4.C5.906.6√57.45 5 【例2】3v2 8.解：该尾翼符合设计要求，理由如下：：∠DBC=90°，BC=16cm, 【例3】解：平面展开图略，由题意，得AM=12m,A'B=号×2元× CD=20cm,,.BD=VCD-BC=√20一16=12(cm》.在 △ABD中，AB=13cm.AD=5cm,.ADy+BD=5+12=13 3=9m,在Rt△AAB中，根据勾股定理，得AB=AA+AB AB.·△ABD是直角三角形，且∠ADB-90.·.∠ADB 12+9=15(cm).∴.苦要爬行的最短路程是15cm. ∠DBC.AD∥BC,该尾翼符合设计要求 针对训练 ,.2±510.专1.①g0 L.62.53.A4.255.106.107.258.10 9,解：(1)长方体的高为5cm,底面长为4m,宽为1cm,,AC2= 12.解：(1)H是从工广C到问边最近的一条路.理由：，CH十BH √+下=17(em).∴.AC=5+(7)=√42(em).(2)图 =2十(1,5)2=6.25，B=6.25,.CHF+BF=B,,△CHB 是直角三角形，且∠CHB=9O°.∴.CH与AB乘直，即CH是从T 1略，AC=√1+4)+5=52(cm).图2略，AC= 厂C到河边最近的一条路.(2)设AC=xkm,期AB=rkm,AH W(4+5)+1-√82(cm).图3略，A:C-√(1+5)+4 -《r一1.5)km.在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC一A十 2√13(cm).:5√2<2√3<√82，∴爬行的最短路程是5巨m, CP,即r=(x一1.5y+2,解得x=器AC的长为登km 章末复习（二）勾股定理 13.解：(1)证明：，AC=300km,BC'=400km,AB-500km,∴.A+ 1.A2.1003.x2+2=(r十0,5)4.V5+15.50km6.D BC一AB..△ABC是直角三角形，且∠ACB一90°.(2)海港C 7.D 8.解：(1)"，la-√/481+(6-/12)=0.，a-48=0,b-12=0, 会受台风影响.理由：过点C作CD⊥AB于点D.“Sar=乞AC .a=4√3，b=2√3.(2》分两种情况讨论：①当，b为直角三角形的 BC-AB.CD.:CD-AC BC-300x400-240(km). AB 500 两条直角边时，∴c=√a+=√(4)+(23)=2√15：@当 250>240,.海港C会受台风影响.(3)在直线AB上取点E,F,且 为直角三角形的斜边时，∴.r=√一=/(4③)-(2)= EC=250km,FC-250km.在R1△CED中，由勾股定理，得ED 6,综上所述，c的值为2√15或6 √EC-CD-√250-2t0-70(km).同理，FD-70km.∴.EF 9.B10.C11.2412.45 =140km.:台风的速度为40km/h,.140÷40=3.5(h)..台风 13.解：(1)证明：CD=1,BC=5,BD=2,.CD+BD)=1P+2 影啊该海港持续的时间为3.5h. 5=BC,,△BCD是直角三角形，(2)设腰长AB=AC=r.在 小专题2利用勾股定理探索两点间距离公式 R△ADB中，由勾股定理，得AB=AD十BD,即=《r-1)2 一教材P26练习T2的变式与拓展 2,解得r=号Sm=2AC·BD=子×号×2=号 1.A2.C3.B4.25 5.解：△ABC是等根三角形，理由如下：”AB= 14.解：(u+b2-abX4-(a+6-bX42+ V/(-1+3)+(4-1)=/13,BC'=√(-3-1)+(1-1)=4， ■(2)这个零件不符合要求.理由如下：”BC+DC=152十 AC=√(-1-1)+(1-1下=√13，，AB=AC,AB+AC≠ 20=225十00=625=BD,.△BCD是直角三角形，且∠C B,.△ABC为等腰三角形. 90°.，AB+AD-23+72-529+49-578,BD-25-625, 6.解：设Cr,0).A(3,0),B(0,4),∴.AB=√3+下-5，AC=13-x AB+AD≠BD,△ABD不是直角三角形，∠A不是直角. 这个零件不符合要求。 BC=√+16，①当AB=AC时，△ABC为等腹三角形.∴|3一x =5,解得x=一2或x=8..点C的坐标为（一2,0）或(8,0)：②当 新课标·新情境·新题型·引领训练 1.48 ABBC时，△ABC为等根三角形..√r+16=5,解得x=3或 x=一3.当x=3时，点A,C重合，不合题意，舍去，点C的坐标为 (一3,0)；③当AC一BC时，△ABC为等腰三角形.3一r一 2解：1)证明：Sma-5a十56a十56e-ab十ah中 √十16，解得x=一合∴点C的坐标为（一石0》.综上所述，点 C的坐标为(-2,0)或(8,0)或(-3,0)或(-古，0) =a+2ah+)=d+号+ab,6+2=d 小专题3方程思想在勾股定理中的运用 之+uhC-。+,(2):△ABE是直角三角形，a-7cm,b 【例1】10-子(10-)+6=了3到 24cm六g=√0+6=V7+2T=25(m入.六5aoe=z 【例2】14-x15-x-13-(14-x)9 针对训练 62题m 1.5 3.解：(1)5(x十1)(2)在R1△ABC中，由勾股定理，得BC十AB 2.解：过点A作AD⊥BC于点D.设CD-E.AC一CD一AB =AC,即5十=(x+1),解得x=12,答：旗杆的高度为12米 BD,.13-x-15-(4+x),解得x-5..AD-AC-CD 第十八章平行四边形 =Vg-可=12.58r=号C·AD=之XX12=24 18.1平行四边形 3.解：设AD一.在R△ACD中.AC-AD+CD-P+.在 18.1.1平行四边形的性质 R1△BCD中，BC-CD+BD-4+2.在R1△ABC中，AC+ 第1课时平行四边形边、角的性质 BC=AB,即x十4十4十2=(x十2)，解得r=8..AD=8. 1.平行四边形2.D3.(1)1811(2)5512555(3)70110 小专题4利用勾股定理解决折叠问题 (4)108724.40°5.26.(4,2) 【例】解：，D为BC的中点，.BD=CD=3.设BV=x,则AN 7,正明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥(D, DV=8一x.在R:△BDN中，由勾殿定理，得(8一x)=x十3，解得 AB=CD. 上一语故BN的长为需 55 ∠BAE=∠DCF.在△BAE和△DCF中，∠BAE=∠DCF, AE=CF. 针对训练 △BAE△DCF(SAS,,BE=DF 1.C2.C3号4号或1 8.D9.7或1710.C11,D12.21 13.解：(1)图路.(2)四边形ABCD是平行四边形.(CD=AB=3, 5.解：(1)证明：由折叠的性质可知，∠A=∠EGB=90,AE=EG.”E AD=BC-5.:EF是AC的垂直平分线..AE=CE.△DCE 是AD的中点，，AE=EG=DE,在R:△BGF和R△EDF中， 的周长为CE+DE+CD-AE+DE+CD-AD+CD-5+3-8. EF-EF. 14.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，，AB∥CD,AB=CD. EGED. .R1△EGF≌R1△EDF(HL),·DF=GF,(2)设DF ∠E=∠NM, x,则GF=r,BF=6+x.CF=6-x.在Rt△BFC中，BF=CF ·∠E-∠DCM.在△AEM和△DCM中， ∠AME-∠DMC. +BC,即(6十x)一(6一x)十96，解得x一4..DF的长为4. AM-=DM. R」八下·参考答案 多胶课堂35小专题2利用勾股定理探索两点间距离公式 教材P26练习T2的变式与拓展 ·学习探究 3.在平面直角坐标系中，点A(2,一1)，B(5,3), 探究平面直角坐标系中两点间的距离，设 则AB的长为 ( P(x1y1）,P2(x2yg）. A.13B.5 C.4 D.3 (1)如图1，当P1,P2纵坐标相同时，P1P2= 4.(教材习题变式)如图，在平面直角坐标系中， |x1一x2|;当P,P横坐标相同时，P,P= △ABC各顶点的坐标分别为A(1,2),C(5,2), y1-y2 B(5,4),则AB的长为 5.已知一个三角形各顶点坐标为A(一1,4)， B(一3,1)，C(1,1),请判定此三角形的形状， 并说明理由. 图1 (2)如图2，PC=x2一x|,P2C=|2一”，由勾 股定理，得PP2=√（一）十（一）严. 6.如图，已知A(3,0),B(0,4),在x轴上找一点 C,使△ABC为等腰三角形，求所有点C的 A(0 坐标. 图2 ·实战演练 1.如图，平面直角坐标系中，A(一4,0)，C(1,0), 以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正 半轴于点B,则点B的坐标为 () A.(0,3) B.(3,0) C.(2,0) D.(0,2) 12345 第1题图 第4题图 2.在平面直角坐标系中，点P(3,4),则点P到 原点的距离为 A.3 B.-5 C.5 D.4 26 名检误家·数华·八年暖下，心 小专题3方程思想在勾股定理中的运用 类型1单勾股列方程求解 根据勾股定理，得AD=AB一BD=AC 【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°， CD,可列方程为 AC=10,BC=6,EF为AB的垂直平分线，求 解得x AE的长. 针对训练4 解题思路：连接BE,设AE=x,则BE=x, 2.如图，在△ABC中，BC=4,AC=13,AB= CE= 15,求△ABC的面积. 根据勾股定理，得CE+BC=BE, 可列方程为 解得x= D 可活技巧2 共边，利用勾股定理构建方程 例1题图 第1题图 ·针对训练可 1.(2023·随州)如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=8,BC=6,D为AC上一点.若BD 是∠ABC的平分线，则AD= 条件：∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. 类型2双勾股列方程求解 结论：(1)AC,BC,AB,AD,DB,CD中，知 可活夜巧0 二可求四： 作高，利用勾股定理构建方程 (2)CD*=AC2-AD2=BC2-BD2; 条件：已知△ABC的三边长. (3)AC=AB2-BC=AD2+CD2: (4)BC2=AB:-AC=BD+CD. 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于 点D,BD=2,CD=4,求AD的长. 方法：作AD⊥BC,垂足为D. 结论：AD=AB2-BD=AC-CD 【例2】如图，在 D △ABC中，AB=15,BC= 14,AC=13,AD⊥BC,求 BD的长 解题思路：设BD=x, D 则CD= 名置27 口8当4数曰a5。