精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市 化德县第三中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

九年级数学测试试卷 一、单选题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知圆周角∠ACB=130°,则圆心角∠AOB=（ ） A. 130° B. 115° C. 100° D. 50° 4. 如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是( ) A. 2π B. π C. D. 6π 5. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A. abc＜0，b2﹣4ac＞0 B. abc＞0，b2﹣4ac＞0 C. abc＜0，b2﹣4ac＜0 D. abc＞0，b2﹣4ac＜0 6. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 8. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别是边，上的点，连结，，且．若，的面积为3，则的面积为（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 10. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是一元二次方程的两个实数根，则________． 12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … 若两点都在该函数的图象上，当m满足范围_____时，． 13. 反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是_______． 14. 若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 15. 如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为______． 16. 如图，二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，给出四个结论： ①；②；③；④若点为函数图象上的两点，则． 其中正确结论是_____________ ．（写上你认为正确的所有序号） 三、解答题（本大题7个小题，共52分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级（1）班的2名男生、1名女生（男生用A，B表示，女生用a表示）和九年级（2）班的1名男生、1名女生（男生用C表示，女生用b表示）共5人中随机选出2名主持人，用树状图或列表法求出2名主持人来自不同班级的概率． 19. 某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求点D到直线的距离； （2）求古塔的高度． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线． 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求： （1）一次函数的解析式； （2）的面积； （3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，D是劣弧中点，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°． (1)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学测试试卷 一、单选题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记定义是解题关键． 根据轴对称图形的定义“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”、中心对称图形的定义“平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符题意； 故选：A 2. 已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：抛物线的对称轴为直线，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴，解得：．故选D． 考点：二次函数的性质． 3. 如图，已知圆周角∠ACB=130°,则圆心角∠AOB=（ ） A. 130° B. 115° C. 100° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，由圆内接四边形的性质求出∠ADB=50°，根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，如图所示： ∵∠ACB=130°， ∴∠ADB=180°-∠ACB=50°， ∴∠AOB=2∠ADB=100°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半． 4. 如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是( ) A. 2π B. π C. D. 6π 【答案】A 【解析】 【详解】∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴阴影部分的面积==2π． 故选A． 5. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A. abc＜0，b2﹣4ac＞0 B. abc＞0，b2﹣4ac＞0 C. abc＜0，b2﹣4ac＜0 D. abc＞0，b2﹣4ac＜0 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据二次函数的图象知： 抛物线开口向上，则a＞0， 抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，所以b＜0， 抛物线交y轴于负半轴，则c＜0， ∴abc＞0， ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴△=b2﹣4ac＞0， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟知抛物线的开口方向确定a的符号，结合对称轴可确定b的符号，根据与y轴交点确定c的符号，与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号是解题的关键． 6. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为， 画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能， ∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是， 故选：D． 7. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据，得到，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 8. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．反比例函数中k的符号与图象：若，反比例函数图象在第一、三象限，若，反比例函数图象在第二、四象限，． 【详解】解：若，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 若，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 只有C选项符合． 9. 如图，在中，，分别是边，上的点，连结，，且．若，的面积为3，则的面积为（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由可得，由可得，于是可得，进而可得，由和是共底同高的三角形，且可得，进而可得，再根据即可求出的面积． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 和是共底同高的三角形，且， ， ， ， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图所示，过点B作轴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴，B，D三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将其代入得：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两个实数根，满足，． 12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 5 2 1 2 5 … 若两点都在该函数的图象上，当m满足范围_____时，． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据开口向下可得离对称轴越近函数值越大，建立关于的不等式，求解即可． 【详解】由表中数据可知，抛物线过点（0，5）和（4，5），且当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上， ∵， ∴点A比点B离对称轴更近， 又∵， ∴点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧， ∴， ∴． 即当时，．， 故答案为：． 13. 反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限，可列出不等式，解之即可得出答案． 【详解】∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限， ∴3k−1<0， 解得：. 故答案为. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质.根据反比例函数的图象所在象限列出不等式是解题的关键. 14. 若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 15. 如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 16. 如图，二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，给出四个结论： ①；②；③；④若点为函数图象上的两点，则． 其中正确结论是_____________ ．（写上你认为正确的所有序号） 【答案】①和③ 【解析】 【分析】或看对称轴与1或的大小；就是看当时的函数值； 看函数与x轴的交点个数；比较函数值的大小，看与对称轴的远近以及开口方向． 【详解】解：二次函数与x轴有两个交点，则，即，故①正确； 根据函数的对称轴可知：，则，即，故②错误； 根据函数的对称性可得：当时，，即，故③正确； 对于开口向下的函数，离对称轴越远，则函数值越小，则，故④错误． 本题中正确的有①和③． 故答案为：①和③． 【点睛】本题主要考查的就是二次函数图像与各系数之间的关系，属于中等难度题型． 三、解答题（本大题7个小题，共52分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）无实数根；（2）1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程及特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握运用根的判别式判断一元二次方程有无实数根. (1)利用根的判别式来判断方程无实数根即可； (2)根据特殊角的三角函数值代入即可求得结果. 【详解】解：（1）, ， ， 此方程无实数根； （2）原式 18. 某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级（1）班的2名男生、1名女生（男生用A，B表示，女生用a表示）和九年级（2）班的1名男生、1名女生（男生用C表示，女生用b表示）共5人中随机选出2名主持人，用树状图或列表法求出2名主持人来自不同班级的概率． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意列表，由表格求得所有等可能的结果，由选出的是2名主持人来自不同班级的情况，然后由概率公式即可求得． 【详解】解：列表可得： 共有20种等可能的结果．∵2名主持人来自不同班级的情况有12种，∴2名主持人来自不同班级的概率为：=． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求点D到直线的距离； （2）求古塔的高度． 【答案】（1）点D到直线的距离为 （2）古塔的高度是 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点D作于点M，解直角三角形求出即可； （2）证明，在中，解直角三角形求出，再在中求出即可． 【小问1详解】 解：过点D作于点M， ∵斜坡的斜面坡度， ∴， ∴， ∴． 即点D到直线的距离为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：古塔的高度是． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线． 【答案】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等角得到，，则有，根据垂直的定义得到，得到，最后利用切线的判定定理证明即可． 【详解】略 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求： （1）一次函数的解析式； （2）的面积； （3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）由点、的横纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点、的坐标，再由点、的坐标利用待定系数法即可得出直线的解析式； （2）设直线与轴交于，找出点的坐标，利用三角形的面积公式结合、点的横坐标即可得出结论； （3）观察函数图象，根据图象的上下关系即可找出不等式的解集． 【小问1详解】 解：令反比例函数中，则， 点的坐标为； 反比例函数中，则，解得：， 点的坐标为． 一次函数过、两点， ，解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与轴交于，如图所示． 令为中，则， 点的坐标为， ． 【小问3详解】 解：观察函数图象发现： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的取值范围为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点、的坐标；（2）找出点的坐标；（3）根据函数图象的上下关系解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，D是劣弧中点，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵D是劣弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质及判定等知识．找出的条件是解题的关键． （1）由D是劣弧的中点，可得，即可证明，根据相似三角形的对应边成比例即可得出答案； （2）由D是劣弧AC中点，可得，根据是直径，可得是直角三角形，由勾股定理求出的长，代入（1）中的即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵D是劣弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴是直角三角形， ∴； ∵， ∴， 解得． 23. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°． (1)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； (2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）（－1，）；（3） M1（－1，－），M2（－3，），M3（1，）． 【解析】 【分析】（1）先确定出点B坐标，再用待定系数法即可； （2）先判断出使△BOC的周长最小的点C的位置，再求解即可； （3）分OA为对角线、为边这两种情况进行讨论计算即可得出答案． 【详解】(1)如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D, ∵点A的坐标为（-2，0），OB=OA， ∴OB=OA=2， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOD=60°， 在Rt△OBD中,∠ODB=90°， ∴∠OBD=30°， ∴OD=1,DB=， ∴点B的坐标是(1, )， 设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 由已知可得： ， 解得： ∴所求抛物线解析式为； (2)存在. 如图所示， ∵△BOC的周长=OB+BC+CO， 又∵OB=2， ∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小， ∵点O和点A关于对称轴对称， ∴连接AB与对称轴的交点即为点C， 由对称可知，OC=OA， 此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC； 点C为直线AB与抛物线对称轴的交点， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 将点A(−2,0),B(1,)分别代入，得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y=x+， 当x=−1时,y=， ∴所求点C的坐标为(−1,)； (3)如图所示， ①当以OA为对角线时， ∵OA与MN互相垂直且平分， ∴点M1(−1,−)， ②当以OA为边时， ∵OA=MN且OA∥MN， 即MN=2,MN∥x轴， 设N(−1,t)， 则M(−3,t)或(1,t) 将M点坐标代入， 解得，t=， ∴M2(−3,)，M3 (1,) 综上：点M的坐标为：（－1，－），或（－3，）或（1，）． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、最短路径、平行四边形等知识.综合运用所学知识，并进行分类讨论是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $