2025年中考数学复习讲义 专题17 四边形

九年级数学寒假培优作业 78 阳 光 假 期 快 乐 学 习 阳光假期 寒假培优衔接 60 九 年 级 数 学 专题17 四边形 【考点梳理】 一、平行四边形的性质 1.(1)边：两组对边分别平行且相等. (2)角：对角相等，邻角互补. (3)对角线：互相平分. (4)对称性：中心对称但不是轴对称. 注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法： (1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半. (2)平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题. (3)过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长. 二、平行四边形的判定 (1)方法一(定义)：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (3)方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形. (5)方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 三、特殊平行四边形的性质与判定 1.矩形的性质与判定 (1)矩形的性质： ①四个角都是直角； ②对角线相等且互相平分； ③面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB. (2)矩形的判定： ①定义法：有一个角是直角的平行四边形； ②有三个角是直角； ③对角线相等的平行四边形. 2.菱形的性质与判定 (1)菱形的性质： ①四边相等； ②对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角； ③面积=底×高=对角线乘积的一半. (2)菱形的判定： ①定义法：有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等的四边形. 3.正方形的性质与判定 (1)正方形的性质： ①四条边都相等，四个角都是直角； ②对角线相等且互相垂直平分； ③面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB. (2)正方形的判定： ①定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形； ②一组邻边相等的矩形； ③一个角是直角的菱形； ④对角线相等且互相垂直、平分. 4.联系 ①两组对边分别平行；②相邻两边相等； ③有一个角是直角；④有一个角是直角； ⑤相邻两边相等；⑥有一个角是直角，相邻两边相等； ⑦四边相等； ⑧有三个角都是直角. 5.中点四边形 (1)任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形. (2)对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. (3)对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. (4)对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 【考点扫描】 考点一 平行四边形的性质与判定 例1 (2023益阳)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是(　　) A.OA=OB B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC 例2 (2024辽宁)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， DE∥AC，CE∥BD，若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为( ) A.4 B.6 C.8 D.16 例1题图 例2题图 跟踪练习： 1.(2024乐山)下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A.AB∥CD，AD∥BC B.AB=CD，AD=BC C.OA=OC，OB=OD D.AB∥CD，AD=BC 跟踪练习1题图 跟踪练习2题图 2.(2024浙江)尺规作图问题： 如图1，点E是▱ABCD边AD上一点(不包含A，D)，连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点. 小明：如图2.以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE. 小丽：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE. 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明AF∥CE； (2)指出小丽作法中存在的问题. 考点二 矩形的性质与判定 1.矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 2.利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3.矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形. 例3 (2024成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 例3图 例4图 例4 (2024南充)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点， ∠ABE=30O，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为 . 跟踪练习： 3.(2024甘肃)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60o，AB=2，则AC的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 第3题图 第4题图 4.(2024苏州)如图，矩形ABCD中，AB=，BC=1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为( ) A. B. C.2 D.1 考点三 菱形的性质与判定 例5 (2024通辽)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是( ) A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OD2=AD2 D. AD2+OA2=OD2 例5图 例6图 例6 (2024包头)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60O，AB=6， AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE.若CE=AF，则DE的长为 . 跟踪练习： 6.(2024上海)在菱形ABCD中，∠ABC=60O，则∠BAC= . 7.(2024绥化)如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( ) A. B.6 C. D.12 第7题图 第8题图 8.(2024广东)如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 . 考点四 正方形的性质与判定 例7 (2024东营)如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为( ) A. B. C. D. 例7图 例8图 例8 (2024重庆)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E 是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF.交CD于点M.若BE=DF=1，则DM的长度为( ) A.2 B. C. D. 跟踪练习： 8.(2024大兴安岭)已知菱形ABCD中对角线AC，BD相交于点 O，添加条件 可使菱形ABCD成为正方形. 第8题图 第9题图 9.(2024天津)如图，正方形ABCD的边长为3，对角线 AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE=5，连接DE. (1)线段AE的长为 ； (2)若F为DE的中点，则线段AF的长为 . 考点五 中点四边形 例9 (2024青海)综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用. 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究. 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点. 求证：中点四边形EFGH是平行四边形. 证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF、GH分别是△ABC和△ACD的中位线， ∴EF=AC，GH=AC(____①____) ∴EF=GH. 同理可得：EH=FG. ∴中点四边形EFGH是平行四边形. 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形. (1)请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 AC=BD 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形. (2)下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程. 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 AC⊥BD ②________ (3)从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________. (4)下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结 论的基础上，写出后续的证明过程. 【归纳总结】 (5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形. 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________. 【直击中考】 (一)平行四边形 1.(2024贵州)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( ) A.AB=BC B.AD=BC C.OA=OB D.AC⊥BD 第1题图 第2题图 2.(2024巴中)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC=4.若▱ABCD 的周长为12，则△COE的周长为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 3.(2024眉山)如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO=ED；③∠A=∠C；④S四边形ABCE=S四边形EDCF，其中正确结论的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第3题图 第4题图 4.(2024河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3. ∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2， ∴①______. 又∵∠4=∠5，MA=MC， ∴△MAD≌△MCB(②______). ∴MD=MB.∴四边形ABCD是平行四边形. 若以上解答过程正确，①，②应分别为( ) A.∠1=∠3，AAS B. ∠1=∠3，ASA C. ∠2=∠3，AAS D. ∠2=∠3，ASA 5.(2024山东)如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC=5，CE=1，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接BF，则BF为( ) A. B.3 C. D.4 第5题图 第6题图 6.(2024自贡)如图，在▱ABCD中，∠B=60O，AB=6cm，BC=12cm. A点P从点A出发、以1cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动.在此运动过程中，线段PQ=CD出现的次数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.(2024济宁)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形. 第7题图 第8题图 8.(2024广州)如图，▱ABCD中，BC=2，点E在DA的延长线上，BE=3，若BA平分∠EBC，则DE= . 9.(2024凉山)如图，四边形ABCD各边中点分别是E，F，G，H，若对角线AC=24，BD=18，则四边形EFGH的周长是 . 第9题图 第10题图 10.(2024武汉)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由) 11.(2024湖南)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边 AB上， .请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题： (1)求证：四边形BCDE为平行四边形； (2)若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长. 12.(2024青岛)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE=DF. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若AB=BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值. 13.(2024潍坊)如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上.将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接GE，FH. 求证：(1)△AEH≌△CFG；(2)四边形EGFH为平行四边形. (二)特殊平行四边形 1.(2024广东)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是() A.2 B.5 C.10 D.20 2.(2024上海)四边形ABCD为矩形，过A，C作对角线BD的垂线，过B，D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为( ) A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 3.(2024眉山)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为( ) A. B. C. D. 第3题图 第4题图 第5题图 4.(2024济宁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 5.(2024武汉)小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD.若∠A=44O，则∠CBD的大小是( ) A.64O B. 66O C. 68O D. 70O 6.(2024呼伦贝尔)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是( ) A.2 B.2+ C.4-2 D. 第6题图 第7题图 第8题图 7.(2024济南)如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G(点G在正方形ABCD内部)，连接DG并延长交BC于点K.若BK=2，则正方形ABCD的边长为( ) A.+1 B. C. D.+1 8.(2024威海)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G.下列结论错误的是( ) A.若，则EF∥BD B.若AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，则EF∥BD C.若EF∥BD，CE=CF，则EAC=∠FAC D.若AB=AD，AE=AF，则EF∥BD 9.(2024重庆)如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90O，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G.则的值为( ) A. B. C. D. 第9题图 第10题图 10.(2024泸州)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+FG 的最小值是( ) A.4 B.5 C.8 D.10 11.(2024泰安)如图，菱形ABCD中，∠B=60o，点E是AB边上的点，AE=4，BE=，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30O角的直角三角形，连结AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是( ) A.2 B.4-2 C.2 D.4 第11题图 第14题图 12.(2024四川)在菱形ABCD中，AB=2，则菱形的周长是 . 13.(2023临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 . 14.(2024青岛)如图，菱形ABCD中，BC=10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO= . 15.(2024福建)如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 . 第15题图 第16题图 16.(2024宜宾)如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC，CD上的动点.若∠MAN=45O ，则MN的最小值为 . 17.(2024济南)如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F.求证：AF=CE. 18.(2024长春)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90O，O是边AB的中点，∠AOD=∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形. 19.(2024呼伦贝尔)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边 AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF (1)求证：四边形ABEF是菱形： (2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE=1，∠BAD=120O，求 AE的长. 20.(2024云南)如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10， 求AB的长. 21.(2024兰州)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC. (1)求证：四边形ADCE是矩形； (2)若BC=4，CE=3，求EF的长. 22.(2024威海)如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60O， E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF=60O ，EF交射线BC于点F，连接BE，DF.点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒. (1)求证：BE=EF； (2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)求x为何值时，线段DF的长度最短. 23.(2024山东)一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中 ∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=DE.作BMLAC于点M，ENLDF于点N，如图1. (1)求证:BM=EN: (2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转a后，延长BM交直线DF于点P. ①当a=30*时，如图3，求证:四边形CNPM为正方形: ②当30°＜α＜60°时，写出线段 MP，DP，CD 的数 量关系，并证明；当 60°＜α＜120°时，直接写出线段 MP，DP，CD 的数量关系． 【考点扫描】 例1【答案】C 【分析】由平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， 故选：C． 例2【答案】C 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DO=DB=2.5，OC=AC=1.5， ∵ED∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∴DE=OC=1.5,CE=OD=2.5， ∴周长为：2(1.5+2.5)=8， 故选：C． 跟踪练习： 1.【答案】D 【详解】解：A、∵AB∥CD,AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； B、∵AB=CD,AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； C、∵OA=OC,OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵AB∥CD,AD=BC，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 2.【答案】(1)见详解 (2)以点A为圆心，CE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，故存在问题 【详解】（1）∵□ABCD， ∴AD∥BC， 又根据作图可知：AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥EC； （2）原因：以点A为圆心，CE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 例3【答案】C 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AC=BD，AD∥BC，则∠ACB=∠DAC， ∴选项A中AB=AD不一定正确，故不符合题意； 选项B中AC⊥BD不一定正确，故不符合题意； 选项C中AC=BD一定正确，故符合题意； 选项D中∠ACB=∠ACD不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 例4【答案】 【详解】如图，过F作FM⊥BC于点M，FN⊥CD于点N ∴∠CMF=∠CNF=90O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCM=∠ABC=90O，AB=CD=2， ∴四边形CMFN是矩形， ∵CF平分∠BCD， ∴FM=FN，∠DCF=∠BCF=45O， ∴四边形CMFN是正方形， 由折叠性质可知：AB=BF=2，∠ABE=∠FBE=30O， ∴MF=1， ∴CN=NF=MF=CM=1，DN=CD-CN=1， 在Rt△DNF中，由勾股定理得 DF=， 故答案为：． 跟踪练习： 3.【答案】C 【详解】根据矩形ABCD的性质，得OA=OB=OC=OD=AC， ∵∠ABD=60O， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB=2， ∴OA=OB=AB=AC=2， 解得AC=4． 故选C． 4.【答案】D 【详解】解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90O，OA=OC，AB∥CD， ∴在Rt△ABC中， AC=， ∴OA=OC=AC=1， ∵AB∥CD， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AOE与△COF中， ∴△AOE≌△COF(SAS)， ∴∠AOE=∠COF， ∴E，O，F共线， ∵AG⊥EF，H是OB中点， ∴在Rt△AGO中，GH=AO=， ∴G的轨迹为以H为圆心，为半径即AO为直径的圆弧． ∴AG的最大值为AO的长，即AGMAX=AO=1． 故选：D． 例5【答案】D 【详解】解：A、∵∠BAC=∠BCA， ∴AB=BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴□ABCD是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵∠ABD=∠ADB， ∴∠ABD=∠CBD ∴AB=AD， ∴□ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、∵OA2+OD2=AD2， ∴∠AOD=90O，即AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴□ABCD是菱形，故本选项不符合题意； D、∵AD2+OA2=OD2， ∴∠OAD=90O，无法得到□ABCD是菱形，故本选项符合题意； 故选：D 例6【答案】2 【详解】解∶过D作DH⊥AC于H， ∵菱形ABCD中，∠ABC=60O，AB=6， ∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60O， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∴∠EAF=60O，AC=AB=6，AH=CH=AC=3， ∵EF⊥AB， ∴∠AEF=30O， ∴AE=2AF， 又CE=AF， ∴AE=2CE， ∴CE=2， ∴HE=CH-CE=1， 在Rt△CDH中，DH2=CD2-CH2=27， ∴DE=， 故答案为：2． 跟踪练习： 6.【答案】57O 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=(180O-∠ABC)=(180O-66O)=57O， 故答案为：57O． 7.【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8， ∴DO=BD=4，AC⊥BD，BC=CD=5， 在Rt△CDO中，CO==3， ∴AC=2OC=6， ∵菱形ABCD的面积为， ∴AE=， 故选：A． 8.【答案】10 【详解】解：连接AF,BD， ∵菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，△BEF的面积为4， ∴S△ADE=S△ABD=S菱形ABCD=6，S△ABF=2S△BEF=8， 设菱形ABCD中BC边上的高为h， 则，即， ∴，∴=2， ∴， ∴S△CDF=4， ∴S阴影=s菱形abcd-S△ADE-S△BEF-S△CDF=10， 故答案为：10． 例7【答案】 例8【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90,AB=AD=BC=CD=4， 又∵BE=FD=1， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴AE=AF， ∵AM平分∠EAF， ∴∠EAM=∠FAM， 又∵AM=AM， ∴△AEM≌△AFM(SAS)， ∴EM=FM， 设DM=X，则EM=FM=DF+DM=x+1,CM=CD-DM=4-x， 在Rt△CEM中，由勾股定理得EM2=CE2+CM2， ∴(x+1)2=32+(4-x)2， 解得x=， ∴DM=， 故选：D． 跟踪练习： 8.【答案】AC=BD或AB⊥BC 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC； 故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC 9.【答案】2 【详解】（1）四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC=OD=OB，∠DOC=90O 在Rt△DOC中，OD2+OC2=DC2， ∵DC=3， ∴OD=OC=OA=OB=3， OE=5 AE=OE-OA=5-3=2； （2）延长DA到点G，使AG=AD，连接EG 由E点向AG作垂线，垂足为H ∵F为DE的中点，A为GD的中点， ∴AF为△DGE的中位线， 在Rt△EAH中，∠EAH=∠DAC=45O， ∴AH=EH AH2+EH2=AE2， ∴AH=EH= ∴GH=AG-AH=3-=2 在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2=2+8=10， ∴EG= AF为△DGE的中位线， ∴AF=EG=； 故答案为：2；. 例9【答案】（1）①中位线定理 （2）证明见解析 （3）②矩形 （4）证明见解析 （5）补图见解析；③AC⊥BD且AC=BD；④正方形 【详解】（1）①证明依据是：中位线定理； （2）证明：∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ∴EF,GH分别是△ABC和△ACD的中位线， ∴EF=AC，GH=AC ∴EF=GH． 同理可得：EH=FG． ∵AC=BD ∴EF=GH=EH=FG ∴中点四边形EFGH是菱形． （3）②矩形； 故答案为：矩形 （4）证明∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ∴EF,GH分别是△ABC和△ACD的中位线， ∴EF∥AC，GH∥AC， ∴EF∥GH． 同理可得：EH∥FG． ∵AC⊥BD ∴∠AOD=∠AIH=90O，∠FEH=∠AIH ∴∠AOD=∠EFG=∠FEH=∠EHG=90O ∴中点四边形EFGH是矩形． （5）证明：如图4，∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ∴EF,GH分别是△ABC和△ACD的中位线， ∴EF=AC，GH=AC ∴EF=GH． 同理可得：EH=FG． ∵AC=BD ∴EF=GH=EH=FG ∴中点四边形EFGH是菱形． ∵AC⊥BD 由（4）可知∠AOD=∠EFG=∠FEH=∠EHG=90O ∴菱形EFGH是正方形． 故答案为：③AC⊥BD且AC=BD；④正方形 【直击中考】 (一)平行四边形 1.【答案】B 【详解】解：∵ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC,AO=OC,BO=OD 故选B． 2.【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC中点， 又∵E是BC中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE=AB，CE=BC， ∵□ABCD长为12，AC=4， ∴AB+BC==6， ∴△COE的周长为OE+CE+OC=(AB+BC+AC)=(6+4)=5． 故选：B. 3.【答案】C 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，∠A=∠C，故①③正确， ∴S△ABD=S△CDB=S□ABCD，∠ODE=∠OBF， 点O是BD的中点， ∴OD=OB， 又∠DOE=∠BOF，OD=OB，∠ODE=∠OBF， ∴△ODE≌△OBF(ASA)， ∴S△ODE=S△OBF，EO=FO≠ED，故②不正确， ∵S△ABD=S△CDB，S△ODE=S△OBF， ∴S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF， 即S四边形ABOE=S四边形cdof，故④正确， 综上所述，正确结论的个数为3个， 故选：C． 4.【答案】D 【详解】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3． ∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2， ∴①∠2=∠3． 又∵∠4=∠5，AM=MC， ∴△MAD≌△MCB（②ASA）． ∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形． 故选：D． 5.解法一： 解：延长DF和AB，交于G点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB即DC∥AG， ∴△DEC∽△GAE ∴ ∵AC＝5，CE＝1， ∴AE＝AC﹣CE＝5﹣1＝4， ∴ ∵EF=DE, ∴ ∴ ∴ ∴AE∥BF，∴△BGF∽△AGE， ∴ ∵AE＝4，∴BF＝3． 解法二： 连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB， ∵EF＝DE， ∴OE是△BFD的中位线， ∴ ∴ ∴ ∴BF＝3， 故选：B． 6.【答案】B 【详解】解：在□ABCD中，AB=6CM，BC=12CM， ∴CD=AB=6CM,AD=BC=12CM，AD∥BC， ∵点P从点A出发、以的速度沿A→D运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：121=12(s)， ∵点Q从点C出发，以的速度沿C→B→C→…往复运动， ∴点Q从点C出发到B点的时间为：123=4， ∵AD∥BC， ∴DP∥CQ， 当DP=CQ时，四边形CDPQ为平行四边形， ∴PQ=CD， 当PQ=AB时，四边形CDPQ为等腰梯形， ∴PQ=AB=CD， 设P,Q同时运动的时间为t(s)， 当0≤t≤4时，12-t=3t， ∴t=3， 此时DP=CQ，四边形CDPQ为平行四边形，PQ=CD， 如图：过点A,P分别作BC的垂线，分别交BC于点M,N， ∴四边形AMNP是矩形， ∴MN=AP=t，AM=PN， ∵四边形ABQP是等腰梯形， ∴PQ=AB，∠PQN=∠B， ∵∠BAM=90O-∠B，∠QPN=90O-∠PQN， ∴∠BAM=∠QPN， ∵， ∴△ABM≌△PQN(SAS)， ∴BM=QN， 在Rt△ABM中，∠B=60O，AB=6cm， ∴∠BAM=90O-∠B=30O， ∴BM=AB=3cm， ∴BM=QN=3cm， ∴t=12-3t-3-3， ∴t=， 此时ABQP是等腰梯形，PQ=AB=CD， 当4<t≤8时，12-t=123(t-4)， ∴t=6， 此时DP=CQ，四边形CDPQ为平行四边形，PQ=CD， 当8<t≤12时，12-t=3(t-8)， ∴t=9， 此时dp=cq，四边形cdpq为平行四边形，pq=cd， 综上，当t=或t=3或t=6或t=9时，pq=cd，共4次， 故选：B． 7.解：①当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形； ②当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下：∵AD∥BC， ∴∠OAC＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC， 在△OAD和△OCB中， ∴△OAD≌△OCB（AAS）， ∴OD＝OB， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形； ③AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下：∵AD∥BC， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， 在△OAB和△OCD中， ∴△OAB≌△OCD（AAS）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 综上所述：补充条件是OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 故答案为：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD． 8.【答案】5 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 9.【答案】42 【详解】解：四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H， ∴EF,FG,GH,HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线， ∴EF=AC=24=12，GH=AC=24=12，FG=BD=18=9，HE=BD=18=9， ∴四边形EFGH的周长为：12+9+12+9=42， 故答案为：42． 10.【答案】(1)见解析 (2)添加AF=BE（答案不唯一） 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D， ∵AF=CE， ∴AD-AF=BC-CE即DF=BE， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF(SAS)； （2）添加AF=BE（答案不唯一） 如图所示，连接EF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥BE， 当AF=BE时，四边形是平行四边形． 11.【答案】(1)①或②，证明见解析； (2)6 【详解】（1）解：选择①， 证明：∵∠B=∠AED， ∴DE∥CB， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； 选择②， 证明：∵AE=BE，AE=CD， ∴CD=BE， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； （2）解：由（1）得DE=BC=10， ∵AD⊥AB，AD=8， ∴AE==6． 12.(1)证明:∵∠ABD=∠CDB， ∴AB//CD， ∴∠BAE=∠DCF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∵BE=DF, ∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴AB=CD, ∵AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形; (2)当∠ABE等于30度时，四边形ABCD是矩形，理由如下: ∵AB=BO,BE⊥AO， ∴∠ABO=2∠ABE=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO=BO,∠BAO=60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC=2AO，BD=2OB， ∴AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴tan∠BAC=tan60o= 13.【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠B=∠D=90O，AB∥CD， ∴∠EAH=∠FCG， 由折叠可得，AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90O，∠AGF=∠D=90O， ∴CH=AG，∠AHE=∠CGF=90O， ∴AH=CG， 在△AEH和△CFG中， ， ∴△AEH≌△CFG(ASA)； （2）证明：由（）知∠AHE=∠CGF=90O，△AEH≌△CFG， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四边形EGFH为平行四边形． (二)特殊平行四边形 1.【答案】B 【解析】设正方形的边长为a，根据题意得: 4a²=100， 所以a²=25， 解得:a=5或a=-5(舍去)， 故选:B. 2.【答案】A 【详解】解：如图所示： 四边形ABCD为矩形， ∴S△OBC=S△OAD，OC=OB=OA=OD， 过A,C作对角线BD的垂线，过B,D作对角线AC的垂线， ∴S△OBC=S△OAD= CH=BF=AE=DG， 如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形， 故选：A． 3.【答案】A 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=8，DC=AB=6， 把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处， ∴AF=AD=8，EF=DE， ∴BF=， ∴CF=BC-BF=8-2， 在Rt△EFC中， CE=DC-DE=5-EF， 由勾股定理，得EF2=CE2+CF2， ∴EF2=(6-EF)2+(8-2)2， ∴EF=， ∴CE=6-=， ∴cos∠CEF==， 故选：A． 4.【答案】A 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∵E是AB的中点， ∴OE= ∵OE＝3，∴AB＝6， 即菱形的边长为6． 故选：A． 5.【答案】C 【详解】解：作图可得AB=AD=BC=DC ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD⊥BC,∠ABD=∠CBD ∵∠A=44O， ∴∠MBC=∠A=44O， ∴∠CBD=(180O-∠MBC)=(180O-44O)=68O， 故选：C． 6.【答案】A 【详解】解：正方形ABCD的边长为2， ∴BC=DC=2,∠BCD=90O,DO=BD，∠CBD=45O ∴BD=， ∵△DEF与△DEC关于直线DE对称， ∴DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90， ∴BF=BD-DF=2-2，∠BFE=90， ∴∠FBE=∠FEB=45， ∴EF=BF=2-2， ∴BE=BF=(2-2)=4-2， ∴△BEF的周长是 BE+EF+BF=4-2=2， 故选：A． 7.【答案】D 【详解】解：如图，连接AG，过点G作GH⊥AD于点H，在DC上取一点J，使得JD＝JK，连接JK． 由作图可知EF垂直平分线段AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，AB∥CD， ∴EF垂直平分线段CD，∴DJ＝CJ， ∵AG＝AD＝CD， ∴AG＝2DJ， ∵四边形DJGH是矩形，∴HG＝DJ， ∴AG＝2GH， ∴∠DAG＝30°， ∵AD＝AG， ∴∠ADG＝∠AGD=（180°﹣30°）＝75°， ∵∠ADC＝90°，∴∠CDK＝15°，∵JD＝JK， ∴∠JDK＝∠JKD＝15°， ∴∠CJK＝∠JDK+∠JKD＝30°， 设CK＝x，则JK＝2x，CJ=x， ∴CD＝2x+x，BC＝x+2，∵CD＝BC， ∴2x+x＝x+2， ∴x=−1， ∴正方形的边长BC=−1+2=+1． 故选：D． 8.【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， A.若,即 又∵∠ECF＝∠BCD，∴△CEF∽△CBD， ∴∠CEF＝∠CBD， ∴EF∥BD， 故A选项正确； B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，∴CA是∠BCD的角平分线，∴∠ACB＝∠ACD， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴AD＝DC， ∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， 在Rt△ACE和Rt△AFC中， ∴Rt△ACE≌Rt△AFC（HL），∴CE＝CF， 又∵AE＝AF， ∴AC⊥EF， ∴EF∥BD， 故B选项正确； C．∵CE＝CF， ∴∠CFE＝∠CEF， ∵EF∥BD，∴∠CBD＝∠CEF，∠CDB＝∠CFE，∴∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 又∵EF∥BD， ∴AC⊥EF，∵CE＝CF， ∴AC垂直平分EF， ∴AE＝AF， ∴∠EAC＝∠FAC， 故C选项正确； D．若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形， 当AE＝AF，且BE＝DF时，可得AC垂直平分EF， ∵AC⊥BD， ∴EF∥BD， 故D选项不正确， 故选：D． 9.【答案】A 【解析】过点F作FHLDC交DC的延长线于点H， 则∠H=90°. ∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=90°,AD=DC. ∵AE绕点E逆时针旋转90°,得到FE， ∴AE=FE,∠AEF=90°. ∵∠DAE+∠AED=90°,∠HEF+∠AED=90°， ∴∠DAE=∠HEF. 在△ADE和△EHF中，， ∴△ADE≌△EHF(AAS),AD=EH,DE=HF， ∴EH=DC,∴DE=CH=HF, ∴∠HCF=45°,∴∠G=45°. 设CH=HF=DE=x,正方形ABCD的边长为y， 则CE=y-x,CF=x,CG=y, ∴.FG=CG-CF=y-x，∴=.故选A. 10.【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=90O， 又∵AE=BF， ∴△ADE≌△BAF(SAS)， ∴∠ADE=∠BAF， ∴∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90O， ∵点M是DF的中点， ∴OM=DF； 如图所示，在AB延长线上截取BH=BG，连接FH， ∵∠FBG=∠FBH=90,FB=FB,BG=BH， ∴△FBG≌△FBH(SAS)， ∴FH=FG， ∴OM+FG=DF+HF=(DF+HF)， ∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+FG有最小值，最小值即为DH的长的一半， ∵AG=2GB，AB=6， ∴BH=BG=2， ∴AH=8， 在Rt△ADH中，由勾股定理得DH==10， ∴OM+FG的最小值为5， 故选：B． 11.解：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AP⊥GM于点P， ∵∠EMF+∠EGF＝180°， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴∠EMG＝∠EFG＝30°， ∵∠B＝60°， ∴∠BEM＝30°＝∠EMG， ∴MG∥AB， ∴四边形MHAP是矩形， ∴MH＝AP， ∵BE＝8， ∴EM＝BE•cos30°＝4√3， ∴MH=EM＝2=AP， ∴AG≥AP＝2， ∴AG最小值是2． 故选：C． 12.【答案】8cm 【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8cm， 故答案为：8cm． 13.【答案】24． 【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，由△DAC的面积=AC•OD，△BAC的面积=AC•OB，得到菱形ABCD的面积=AC•(OD+OB)=AC•BD，即可求出菱形的面积． 【解答】解：如图：菱形ABCD中AC=8，BD=6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△DAC的面积=AC•OD，△BAC的面积=AC•OB， ∴菱形ABCD的面积=△DAC的面积+△BAC的面积=AC•(OD+OB)=AC•BD=×8×6=24． 故答案为：24． 14.【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC,OB=OD. ∵S菱形ACBD=AC·BD=60, ∴AC·BD=120,∴BO=OC=30. ∵BO²+OC²=BC²=100, ∴(BO+OC)²-2BO·OC=100, ∴BO+OC=4(舍负), ∴BO=4-OC， ∴(4-OC)²+OC²=100, ∴OC=或OC=3(舍去). ∵AE⊥BC,AO=OC, ∴EO=0C= 15.【答案】2 【详解】解：正方形ABCD的面积为4， ∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=90O， 点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点， ∴HD=DG=1， ∴S△DGH=， 同理可得S△AHE=S△WFB=S△CGF=， 四边形EFGH的面积为4-=2． 故答案为：2． 16.【答案】-2+2 【详解】解：∵正方形ABCD的边长为1， ∴AD=AB=BC=CD=1，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90， 将△ADN顺时针旋转90O得到△ABP，则△ADN≌△ABP， ∴∠DAN=∠BAP，∠D=∠ABP=90O，AN=AP，DN=BP， ∴点P、B、M、C共线， ∵∠MAN=45O， ∴∠MAP=∠MAB+∠BAP=∠MAB+∠DAN =90-∠MAN=45O=∠MAN， ∵AP=AN，∠MAP=∠MAN，AM=AM， ∴△MAP≌△MAN(SAS)， ∴MP=MN， ∴MN=MP=BM+BP=BM+DN， 设CN=a，CM=b，则DN=1-a，BM=1-b， ∴MN=BM+DN=2-a-b， ∵∠C=90， ∴CN2+CM2=MN2，即a2+b2=(2-a-b)2， 整理得：(2-a)(2-b)=2， ∴MN=2-a-b=-2+(2-a)(2-b)=+ =-2+-2++2 =-2++2-2+2=-2+2 当且仅当=，即2-a=2-b=，也即a=b=2-时，MN取最小值-2+2， 故答案为：-2+2 17.证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∵AE⊥CDCF⊥AD，∴∠AED＝∠CFD＝90°，在△AED与△CFD中， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∴AD﹣DF＝CD﹣DE， ∴AF＝CE． 18.证明：∵O是边AB的中点， ∴OA=OB， 在△AOD和△BOC中， ∠A=∠B=90 OA=OB ∠AOD=∠BOC ∴△AOD≌△BOC， ∴AD=BC， ∴∠A=∠B=90,AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A=∠B=90 ∴四边形ABCD是矩形． 19.【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,即AF∥BE, ∴∠AFB=∠ESF,∠FAE=∠BEA ∵O为BF的中点， ∴BO=FO ∴△AOF≌△EOB， ∴BE=FA, ∵AF∥BE ∴四边形ABEF是平行四边形， 又AB=AF, ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵AD=BC,AF=BE, ∴DF=CE=1, ∵平行四边形ABCD的周长为22， ∴菱形ABEF的周长为：22-2=20 ∴AB=20 ∵四边形ABEF是菱形， ∴∠BAE=∠BAD= 又AB=AE ∴△ABE是等边三角形， ∵AE=AB=5． 20.【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：连接BD，AC， AB∥CD，AD∥BC， 四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点， ∴GF∥BD，HG∥AC， 四边形EFGH是矩形， ∴HG⊥GF， BD⊥AC， 四边形ABCD是菱形； （2）解：四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，∴GF=EH=BD,HG=EF=AC 矩形EFGH的周长为22， BD+AC=22， 四边形ABCD是菱形， 即BD+AC=OB+OA=11 四边形ABCD的面积为10， BDAC=10，即2， ∵=+2OA=121 +=121-10=111 AB== 21.【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90， ∵CE∥AD， ∴∠ECD=180， 又∵AE⊥AD， ∴∠EAD=90， ∴四边形ADCE是矩形． （2）由（1）可知四边形ADCE是矩形． ∴AE=DC，CE=AD=3，∠AEC=90， ∵D是BC的中点，BC=4 ∴DC=AE=BC=2, 在△ADC中，∠ADC=90， ∴AC===， ∵EF⊥AC， ∴EFAE 即EF=, ∴EF=． 22.（1）证明：设CD与EF相交于点M， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC﹣＝DC，∠BCE＝∠DCE，AB∥CD， ∵∠ABC＝60°， ∴∠DCF＝60°， 在△BCE和△DCE中， BC=DC ∠BCE=∠DCE, CE=CF ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠CDE，BE＝DE， ∵∠DMF＝∠DEF+∠CDE＝∠DCF+∠CFE， 又∵∠DEF＝∠DCF＝60°，∴∠CDE＝∠CFE， ∴∠CBE＝∠CFE， ∴BE＝EF； （2）解：过点E作EN⊥BC于N， 则∠ENC＝90°， ∵BE＝EF， ∴BF＝2BN， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴BC＝AB＝10cm，∠ACB＝∠BCD＝60°，即∠ECN＝60°， ∵CE＝2xcm， ∴EN＝CE•sin60°＝2x=x（cm）， CN＝CE•cos60°＝2x•=x（cm）， ∴BN＝BC﹣CN＝10﹣x（cm）， ∴BF＝2（10﹣x）cm, ∴EN=CEsin60º=2x·=3x(cm),CN=CE=2x·=x ∴BN=BC·CN=10-x(cm) ∴y=BF·EN=2(10-x)x=-10 ∵0＜2x≤10， ∴0＜x≤5， ∴y=−√3x2+10√3x（0＜x≤5）； （3）解：∵BE＝DE，BE＝EF，∴DE＝EF， ∵∠DEF＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴DE＝DF﹣EF， ∴BE＝DF， ∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，当BE⊥AC时，BE取最短，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AE＝AB＝AC＝10cm， ∵BE⊥AC， ∴AE=AB=AC=10cm, ∵BE⊥AC, ∴CE=AC=5cm, ∴x==, ∴当x=时，线段DF的长度最短。 23.（1）证明：设AC＝DE＝a， ∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠A＝∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∵BM⊥AC， ∴BM=AM=CMAC=a, ∵∠EDF=30º,EN⊥DF, ∴EN=DE=a ∴BM＝EN； （2）①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF， ∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°， ∵α＝∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝90°， ∵BM⊥AC， ∴∠PMC＝∠BMC＝90°， ∴四边形PMCN为矩形， ∵BM＝EN，即BM＝CN， 而BM＝CM， ∴CM＝CN， ②解：当30º时，线段MP，DP,CD的数量关系为=.理由如下： 如图1，当30º连接CP ∴四边形PMCN是正方形； 由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°， ∵CP＝CP， ∴Rt△PMC≌△RtPNC（HL）， ∴PM＝PN， ∴MP+DP＝PN+DP＝DN， ∴====, ∴=; 如图2，当时，连接CP ∵∠D＝30°， 由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°， ∵CP＝CP， ∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL）， ∴PM＝PN， ∴DN＝PN﹣DP＝MP﹣DP， ∵∠CDF＝30°， ∴==,∴=, 综上，当30º时，线段MP,DP,CD的数量关系为=.当时，线段MP,DP,CD的数量关系为=。 学科网（北京）股份有限公司 $$