2025年中考数学复习讲义 专题16 等腰三角形与直角三角形

专题16 等腰三角形与直角三角形 【考点梳理】 一、等腰三角形 1.等腰三角形的性质 (1)等边对等角. (2)三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合. (3)等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°. 2.等腰(等边)三角形的判定 定理：等角对等边. 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 二、直角三角形与勾股定理 1.直角三角形 性质:(1)直角三角形两锐角互余； (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 判定:(1)两个内角互余的三角形是直角三角形； (2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股定理及逆定理 (1)勾股定理：在直角三角形中，三边关系是a2+b2=c2. (2)逆定理：如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 三、角平分线与线段垂直平分线 1.角平分线上的点到______________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在______________. 2.与角平分线相关的模型 (1)角平分线+平行线—等腰三角形(见图1) 图1 图2 (2)过角平分线上的点作角两边的垂线(见图2) 图3 图4 (3)角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形(见图3) (4)过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形(见图4) 3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 .与一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上. 4.三角形的三条角平分线相交于一点(叫内心)，并且这一点到___________________相等.三角形三边的垂直平分线相交于一点(叫外心)，并且这一点到______________________相等. 【考点扫描】 考点一 等腰三角形 1.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角). 2.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C. 3.等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° 4.等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a. 例1 (2024内江)如图，在△ABC中，∠DCE=40o，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的度数为 ； 例2 (2024广州)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为( ) A.18 B.9 C.9 D.6 例1图 例2图 跟踪练习： 1.(2024镇江)等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为_______. 2.(2024兰州)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=( ) A.100° B.115° C.130° D.145° 第2题图 第3题图 3.(2024临夏)如图，在ΔABC中，AB=AC=5，sinB=，则BC的长是( ) A.3 B.6 C.8 D.9 4.(2024陕西)如图，在ΔABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF⊥AC，且BF=AE，连接CF.若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为________. 第4题图 例3图 考点二 直角三角形与勾股定理 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，常用于计算三角形的边长，也是证明一边等于另一边的一半的重要依据.当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题. 例3 (2024河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2，0)，点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为 . 解∶设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G， 则四边形AOGD是矩形， ∴OG=AD=a，DG=AO，∠EGF=90o， ∵折叠， ∴BF=BC=a，CE=EF， ∵点A的坐标为(-2，0)，点F的坐标为(0，6)， ∴AO=2，FO=6， ∴BO=AB-AO=a-2， 在Rt△BOF中，BO2+FO2=BF2， ∴(a-2)2+62=a2，解得a=10， ∴FG=OG-OF=4，GE=CD-DG-CE=8-CE， 在Rt△EGF中，GE2+FG2=EF2， ∴(8-CE)2+42=CE2，解得CE=5， ∴GE=3，∴点E的坐标为(3，10)， 故答案为：(3，10). 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键. 跟踪练习： 5.(2024青海)如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是( ) A.3 B.6 C. D.3 第5题图 第6题图 6.(2024兰州)如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=______ 7.(2024安徽)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是( ) A. B. C.2-2 D. 第7题图 第8题图 8.(2024威海)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方 式对折，使点C落在AB上的点C处，折痕为MN，点D落在点D’处，CD交AD于点E.若BM=3，BC=4，AC’=3，则DN= . 考点三 角平分线 例4 (2024南充)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为( ) A. B. C.2 D.3 跟踪练习： 例4图 第9题图 9.(2024青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 考点四 线段垂直平分线 例5 (2024眉山)如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为( ) A.7 B.8 C.10 D.12 解：∵DE是BC的垂直平分线. ∴BD=AD， ∴△ABD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=4+6=10， 故选C. 【点睛】将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用. 跟踪练习： 例5图 第10题图 10.(2024凉山)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90o，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC=( ) A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm 【直击中考】 1.(2024安徽)在凸五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，F是CD 的中点.下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是( ) A.∠ABC=∠AED B.∠BAF=∠EAF C.∠BCF=∠EDF D.∠ABD=∠AEC 2.(2024泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是( ) A.45° B.39° C.29° D.21° 3.(2024常州)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( ) A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.l1与l2一定相等 D.l1与l2一定不相等 第2题图 第3题图 4.(2024云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( ) A. B.2 C.3 D. 5.(2024成都)如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图:①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N;②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O;③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F.若CD=3，DE=2，下列结论错误的是( ) A.∠ABE=∠CBE B.BC=5 C.DE=DF D.= 第5题图 第6题图 6.(2024泰安)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90o，分别以顶点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论： ①∠C=30o；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④.其中，正确结论的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(2024自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°.则新钢架减少用钢( ) A.(24-12)m B.(24-8)m C.(24-6)m D.(24-4)m 第7题图 第8题图 8.(2024浙江)如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE △BCF △CDG △DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4，BE=3，则DE=( ) A.5 B.2 C. D.4 9.(2024巴中)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=( ) A.8 B.10 C.12 D.13 第9题图 第10题图 10.(2024巴中)如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE=CD.下列说法错误的是( ) A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B.∠BDC=3∠ABD C.当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D.当E为AB中点时，= 11.(2024湖南)一个等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是_____度. 12.(2024镇江)如图，ΔABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=8，CD=5，则BD-_____. 第12题图 第13题图 13.(2024绥化)如图，AB∥CD，∠C=33°，OC=OE.则∠A= °. 14.(2024重庆)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2，则AD的长度为 . 第14题图 第15题图 15.(2024广安)如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30O，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 . 16.(2024湖南)如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2，AD=4MD，则AM= . 第16题图 第17题图 17.(2024绥化)如图，已知∠AOB=50o，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN= . 18.(2024新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD=30°，则AD的长为 . 第18题图 第19题图 19.(2024山东)如图，已知∠MAN，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AM，AN交于点B、C:分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP.分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q.若AB = 4，∠PQE=67.5°，则F到AN的距离为____. 20.(2024吉林)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB=AB′，AB⊥B′C于点C，BC=0.5尺，B′C=2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为 . 21.(2024济宁)如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是ΔABC的角平分线， (1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F. (2)以点.A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G. (3) 以点G为圆心，EF长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点H. (4)画射线AH. (5)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M. (6)连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P. 根据以上信息，下面五个结论中正确的是______. ①BD=CD; ②∠ABM =15°;③∠APN=∠ANP; ④: ⑤MC2=MNMB. 22.(2024济南)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=，AD=2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D’，连接BD’.若BD’=2，则DF= . 第22题图 第23题图 23.(2024烟台)如图，在▱ABCD中，∠C=120o，AB=8，BC=10.E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D’EF，连接AD’，BD’，则△ABD’面积的最小值为 . 24.(2024南充)如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. (1)求证：△BDE≌△CDA. (2)若AD⊥BC，求证：BA=BE 25.(2024常州)如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF. (1)求证：△GEC是等腰三角形； (2)连接AD，则AD与l的位置关系是 . 26.(2024江西)追本溯源:题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2). (1)如图1，在AABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由. 方法应用: (2)如图2，在口ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点4作AF1BE交DC的延长线于点F，交BC于点G. ①图中一定是等腰三角形的有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知AB=3，BC=5，求CF的长. 27.(2024威海)感悟 如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE，BC=DE.求证：∠BAC=∠EAD. 应用 (1)如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E(点D在点E的左侧)，使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC(不写作法，保留作图痕迹)； (2)如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB(不写作法，保留作图痕迹). 28.(2024滨州)【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，则有∠B=∠C； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB=AC，即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD，还能推出∠B=∠C吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C，并分别提供了不同的证明方法. 小军 小民 证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. 专题16 等腰三角形与直角三角形 【考点梳理】 一、等腰三角形 1.等腰三角形的性质 (1)等边对等角. (2)三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合. (3)等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°. 2.等腰(等边)三角形的判定 定理：等角对等边. 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 二、直角三角形与勾股定理 1.直角三角形 性质:(1)直角三角形两锐角互余； (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 判定:(1)两个内角互余的三角形是直角三角形； (2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股定理及逆定理 (1)勾股定理：在直角三角形中，三边关系是a2+b2=c2. (2)逆定理：如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 三、角平分线与线段垂直平分线 1.角平分线上的点到______________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在______________. 2.与角平分线相关的模型 (1)角平分线+平行线—等腰三角形(见图1) 图1 图2 (2)过角平分线上的点作角两边的垂线(见图2) 图3 图4 (3)角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形(见图3) (4)过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形(见图4) 3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 .与一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上. 4.三角形的三条角平分线相交于一点(叫内心)，并且这一点到___________________相等.三角形三边的垂直平分线相交于一点(叫外心)，并且这一点到______________________相等. 【考点扫描】 考点一 等腰三角形 1.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角(或直角). 2.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C. 3.等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° 4.等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a. 例1 (2024内江)如图，在△ABC中，∠DCE=40o，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的度数为 ； 例2 (2024广州)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为( ) A.18 B.9 C.9 D.6 例1图 例2图 跟踪练习： 1.(2024镇江)等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为_______. 2.(2024兰州)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=( ) A.100° B.115° C.130° D.145° 第2题图 第3题图 3.(2024临夏)如图，在ΔABC中，AB=AC=5，sinB=，则BC的长是( ) A.3 B.6 C.8 D.9 4.(2024陕西)如图，在ΔABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF⊥AC，且BF=AE，连接CF.若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为________. 第4题图 例3图 考点二 直角三角形与勾股定理 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，常用于计算三角形的边长，也是证明一边等于另一边的一半的重要依据.当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题. 例3 (2024河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2，0)，点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为 . 解∶设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G， 则四边形AOGD是矩形， ∴OG=AD=a，DG=AO，∠EGF=90o， ∵折叠， ∴BF=BC=a，CE=EF， ∵点A的坐标为(-2，0)，点F的坐标为(0，6)， ∴AO=2，FO=6， ∴BO=AB-AO=a-2， 在Rt△BOF中，BO2+FO2=BF2， ∴(a-2)2+62=a2，解得a=10， ∴FG=OG-OF=4，GE=CD-DG-CE=8-CE， 在Rt△EGF中，GE2+FG2=EF2， ∴(8-CE)2+42=CE2，解得CE=5， ∴GE=3，∴点E的坐标为(3，10)， 故答案为：(3，10). 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键. 跟踪练习： 5.(2024青海)如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是( ) A.3 B.6 C. D.3 第5题图 第6题图 6.(2024兰州)如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=______ 7.(2024安徽)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是( ) A. B. C.2-2 D. 第7题图 第8题图 8.(2024威海)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方 式对折，使点C落在AB上的点C处，折痕为MN，点D落在点D’处，CD交AD于点E.若BM=3，BC=4，AC’=3，则DN= . 考点三 角平分线 例4 (2024南充)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为( ) A. B. C.2 D.3 跟踪练习： 例4图 第9题图 9.(2024青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 考点四 线段垂直平分线 例5 (2024眉山)如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，分别以点A，点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为( ) A.7 B.8 C.10 D.12 解：∵DE是BC的垂直平分线. ∴BD=AD， ∴△ABD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=4+6=10， 故选C. 【点睛】将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用. 跟踪练习： 例5图 第10题图 10.(2024凉山)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90o，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC=( ) A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm 【直击中考】 1.(2024安徽)在凸五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，F是CD 的中点.下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是( ) A.∠ABC=∠AED B.∠BAF=∠EAF C.∠BCF=∠EDF D.∠ABD=∠AEC 2.(2024泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是( ) A.45° B.39° C.29° D.21° 3.(2024常州)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( ) A.d1与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.l1与l2一定相等 D.l1与l2一定不相等 第2题图 第3题图 4.(2024云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( ) A. B.2 C.3 D. 5.(2024成都)如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图:①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N;②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O;③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F.若CD=3，DE=2，下列结论错误的是( ) A.∠ABE=∠CBE B.BC=5 C.DE=DF D.= 第5题图 第6题图 6.(2024泰安)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90o，分别以顶点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论： ①∠C=30o；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④.其中，正确结论的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(2024自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°.则新钢架减少用钢( ) A.(24-12)m B.(24-8)m C.(24-6)m D.(24-4)m 第7题图 第8题图 8.(2024浙江)如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE △BCF △CDG △DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4，BE=3，则DE=( ) A.5 B.2 C. D.4 9.(2024巴中)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=( ) A.8 B.10 C.12 D.13 第9题图 第10题图 10.(2024巴中)如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE=CD.下列说法错误的是( ) A.BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B.∠BDC=3∠ABD C.当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D.当E为AB中点时，= 11.(2024湖南)一个等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是_____度. 12.(2024镇江)如图，ΔABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=8，CD=5，则BD-_____. 第12题图 第13题图 13.(2024绥化)如图，AB∥CD，∠C=33°，OC=OE.则∠A= °. 14.(2024重庆)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2，则AD的长度为 . 第14题图 第15题图 15.(2024广安)如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30O，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 . 16.(2024湖南)如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2，AD=4MD，则AM= . 第16题图 第17题图 17.(2024绥化)如图，已知∠AOB=50o，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN= . 18.(2024新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD=30°，则AD的长为 . 第18题图 第19题图 19.(2024山东)如图，已知∠MAN，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AM，AN交于点B、C:分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP.分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q.若AB = 4，∠PQE=67.5°，则F到AN的距离为____. 20.(2024吉林)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB=AB′，AB⊥B′C于点C，BC=0.5尺，B′C=2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为 . 21.(2024济宁)如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是ΔABC的角平分线， (1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F. (2)以点.A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G. (3) 以点G为圆心，EF长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点H. (4)画射线AH. (5)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M. (6)连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P. 根据以上信息，下面五个结论中正确的是______. ①BD=CD; ②∠ABM =15°;③∠APN=∠ANP; ④: ⑤MC2=MNMB. 22.(2024济南)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=，AD=2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D’，连接BD’.若BD’=2，则DF= . 第22题图 第23题图 23.(2024烟台)如图，在▱ABCD中，∠C=120o，AB=8，BC=10.E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D’EF，连接AD’，BD’，则△ABD’面积的最小值为 . 24.(2024南充)如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. (1)求证：△BDE≌△CDA. (2)若AD⊥BC，求证：BA=BE 25.(2024常州)如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF. (1)求证：△GEC是等腰三角形； (2)连接AD，则AD与l的位置关系是 . 26.(2024江西)追本溯源:题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2). (1)如图1，在AABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由. 方法应用: (2)如图2，在口ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点4作AF1BE交DC的延长线于点F，交BC于点G. ①图中一定是等腰三角形的有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知AB=3，BC=5，求CF的长. 27.(2024威海)感悟 如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB=AE，BC=DE.求证：∠BAC=∠EAD. 应用 (1)如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E(点D在点E的左侧)，使得∠EAD=∠BAC，且DE=BC(不写作法，保留作图痕迹)； (2)如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE=∠BAC，且DE=AB(不写作法，保留作图痕迹). 28.(2024滨州)【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，则有∠B=∠C； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB=AC，即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD，还能推出∠B=∠C吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C，并分别提供了不同的证明方法. 小军 小民 证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. 学科网（北京）股份有限公司 $$