2025年中考数学复习讲义 专题14 图形基础知识 相交线与平行线

专题14 图形基础知识 相交线与平行线 【考点梳理】 一、直线、射线、线段 1.直线的性质 (1)两条直线相交，只有一个交点； (2)经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线. 2.线段的性质:两点之间，线段最短. 3.线段的中点性质 若C是线段AB中点，则AC=BCAB；AB=2AC=2BC. 4.两条直线的位置关系 同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交. 5.垂线的性质 (1)经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； (2)垂线段最短. 6.点到直线的距离 从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离. 二、角 1.角平分线的性质 若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC ∠AOB， ∠AOB=2∠AOC =2∠BOC. 2.余角和补角 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 3.度、分、秒的运算方法 1°=60′，1′=60″，1°=3600″. 4.方向角和方位角 在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北(南)多少度或西偏北(南)多少度.当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向. 三、相交线 1.邻补角与对顶角 (1)邻补角和对顶角都是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角或对顶角. (2)性质：对顶角相等，邻补角互补. 2.垂直：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短. 3.点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这到这条直线的距离. 4.三线八角 (1)直线a，b被直线l所截，构成八个角(如图). ∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角. 4(1)图 4(2)图 (2)除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图. 四、平行线 1.平行线的判定 (1)定义：平面内，不相交的两条直线. (2)同位角相等，两直线平行. (3)内错角相等，两直线平行. (4)同旁内角互补，两直线平行. (5)平行于同一直线的两直线互相平行. (6)垂直于同一直线的两直线互相平行. 2.平行线的性质 (1)两直线平行，同位角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)两直线平行，同旁内角互补. 3.平行线间的距离 (1)定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离. (2)性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等. 【考点扫描】 考点一 余角与补角、对顶角与邻补角、方位角 例1 (2020自贡)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是( ) A.50° B.70° C.130° D.160° 【点睛】在角的计算中，要注意角的和、差、倍、分关系，找出要求的角和已知角的关系式，从而求出角.当题中给出比值关系时，常设置未知量，利用方程思想解决几何问题. 例2 (2022烟台)如图，某海域中有。A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是( ) A.北偏东70o B.北偏东75° C.南偏西70° D.南偏西20o 跟踪练习： 1.(2024甘肃)若∠A=55°，则∠A的补角为( ) A.35° B.45° C.115° D.125° 2.(2023河南)如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1=80o， ∠2=30o ，则∠AOE的度数为( ) A.30o B.50o C.60o D.80o 跟踪练习2题图 第3题图 3.(2024宁夏)小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的( ) A.南偏东60°方向 B.北偏西60°方向 C.南偏东50°方向 D.北偏西50°方向 考点二 角的计算 例3(2024雅安)如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1=35°，则∠2的度数是( ) A.55° B.45° C.35° D.30° 跟踪练习： 4.(2024北京)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC=58°，则∠EOB的大小为( ) A.29° B.32° C.45° D.58° 例3题图 跟踪第4题图 第5题图 5.(2024深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1=50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 考点四 平行线的判定和性质 解决平行线性质求角度的问题，首先应在脑海中回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和、三角形内外角关系等来求解. 例5 (2023东营)如图，AB∥CD，点E在线段BC上(不与点B，C重合)，连接DE，若∠D=40o，∠BED=60o，则∠B=( ) A.10° B.20° C.40° D.60° 例5题图 例6题图 例6 (2020广元)如图，a∥b，M.N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=( ) A.180° B.360° C.270° D.540° 跟踪练习： 6.(2024呼和浩特)如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，则∠4的度数为( ) A.75° B.105° C.115° D.130° 7.(2024赤峰)将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为( ) A.100° B.105° C.115° D.120° 第6题图 第7题图 8.(2024武汉) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠D，点E在BA的延长线上，连接CE. (1)求证：∠E=∠ECD； (2)若∠E=60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状. 【直击中考】 1.(2023临沂)如图中用量角器测得∠ABC的度数是(　　) A.50° B.80° C.130° D.150° 第1题图 第2题图 2.(2024日照)如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1=40°， ∠2=120°，则∠COM的度数为( ) A.70° B.80° C.90° D.100° 3.(2024兰州)如图，小明在地图上量得∠1=∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是( ) A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等 第3题图 第5题图 4.(2024德州)已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线.下列作图痕迹不正确的是( ) A.B. C. D. 5.(2024淄博)如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC.若∠A=110°，则∠D的度数是( ) A.40° B.36° C.35° D.30° 6.(2024东营)已知，直线a∥b，把一块含有30°角的直角三角板如图放置，∠1=30°，三角板的斜边所在直线交b于点A，则∠2=( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 第6题图 第7题图 7.(2024陕西)如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B=145°，则∠D的度数为( ) A.25° B.35° C.45° D.55° 8.(2024凉山州)一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为( ) A.10° B.15° C.30° D.45° 第8题图 第9题图 9.(2024福建)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 10.(2024海南)如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角 三角板ABC按如图所示的方式放置，点B在直线n上，∠A=90°，若∠1=25°，则∠2等于( ) A.70° B.65° C.25° D.20° 第10题图 第11题图 11.(2023鄂州)如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E.若∠BGE=60o，则∠EFD的度数是( ) A.60o B.30o C.40o D.70o 12.(2023青岛)如图，直线a∥b，∠1=63°，∠B=45°，则∠2的度数为(　　) A.105° B.108° C.117° D.135° 13.(2024潍坊)一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α=15°.顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°，则EF与FG所成锐角的度数为( ) A.60° B.55° C.50° D.45° 第12题图 第13题图 第14题图 14.(2024吉林)如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 . 15.(2024广西)已知∠1与∠2为对顶角，∠1=35°，则∠2 = °. 16.(2024绵阳)如图，直线a∥b，点O在b上，以O为圆心画弧，交a于不同两点A，B.若θ=44°，则∠AOB= °. 第16题图 第17题图 17.(2024东营)如图，将△DEF沿FE方向平移3cm得到△ABC，若△DEF的周长为24cm，则四边形ABFD的周长为 cm. 18.(2024连云港)如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1=120°，则∠2= °. 第18题图 第19题图 19.(2023威海)某些灯具的设计原理与抛物线有关.如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出.若∠AOB=150°，∠OBD=90°，则∠OAC=_____°. 20.(2024凉山州)如图，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 . 第20题图 第21题图 21.(2024宿迁)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF= °. 22.(2024自贡)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF=∠C. (1)求证：∠BDF=∠A； (2)若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状. 【考点扫描】 例1设这个角为x，则它的补角为(180o-x)， 根据题意得：x=2(180o-x)+30o 解得x=130o， 故选C 例2【答案】90o 跟踪练习： 1.【答案】D 2.【答案】B 【分析】由对顶角的性质得到∠AOD=∠1=80°，即可求出∠AOE的度数． 【解答】解：∵∠AOD=∠1=80°， ∴∠AOE=∠AOD-∠2=80°-30°=50°． 故选：B． 3.【答案】A 【分析】作CD∥AB，根据平行线的性质得∠DCE＝60°，再根据CD∥EF，可得∠CEF＝∠DCE＝60°，根据方向角的定义即可得出答案． 【解答】解：如图，作CD∥AB， 则∠ACD＝∠BAC＝50°， ∴∠DCE＝100°﹣50°＝60°， ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴CD∥EF， ∴∠CEF＝∠DCE＝60°， ∴科技馆位于小亮家的南偏东60°方向． 故选：A． 例3【答案】A 【分析】已知OE⊥AB，∠1＝35°，可得∠AOC的度数，因为对顶角∠2＝∠AOC，即得∠2的度数． 【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°， ∴∠AOC＝55°， ∴∠2＝∠AOC＝55°， 故选：A． 跟踪练习： 4.【答案】B 【分析】根据垂直的定义得出∠COE＝∠DOE＝90°，再由对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC＝58°，由∠EOB＝90°﹣∠BOD进行计算即可． 【解答】解：∵OE⊥OC， ∴∠COE＝∠DOE＝90°， ∵∠BOD＝∠AOC＝58°， ∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°． 故选：B． 5.【答案】B 【分析】由平行线的性质推出∠1＝∠3，由反射定律得到∠3＝∠4，因此∠4＝∠1＝50°． 【解答】解：∵入射光线是平行光线， ∴∠1＝∠3， 由反射定律得：∠3＝∠4， ∴∠4＝∠1＝50°． 故选：B． 例5【答案】B 例6【答案】B 跟踪练习： 6.【答案】B 【解析】∵∠1=∠2=130°， ∴ll∥l2， ∴∠5=∠3=75°, ∵∠5+∠4=180°, ∴∠4=180°-∠5=180°-75°=105°， 故选:B. 7.【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角尺的度数即可得到∠1的度数． 【解答】解：由题意得：BC∥DF，∠ACB＝45°，∠EDF＝30°， ∴∠BCD＝∠EDF＝30°， ∵∠BCD+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴30°+45°+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝105°， ∴∠1＝105°， 故选：B． 8.(1)证明:∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠B， ∵∠B=∠D, ∴∠EAD=∠D, ∴BE∥CD, ∴∠E=∠ECD. (2)△BCE是等边三角形，理由如下: ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE=∠ECD, ∵EB∥CD， ∴∠ECD=∠E=60°， ∴∠B=180°-∠E-∠BCE=60°， ∴∠B=∠BCE=∠E, ∴△BCE是等边三角形. 【直击中考】 1.【答案】C 【分析】本题根据∠ABC的位置和量角器的使用方法可得出答案． 【解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC=130°． 故选：C． 2.【答案】B 【解析】∵∠2=∠BOC=120°，∠1+∠COM=∠BOC, ∠1=40°, ∴∠COM=120°-40°=80°. 故选:B. 3.【答案】B 【分析】根据∠1和∠2在图中的位置判断这两个角是什么角，即可从选项中找出小明判断的依据． 【解答】解：∵∠1和∠2是内错角，∠1＝∠2， ∴判断幸福大街与平安大街互相平行的依据是：内错角相等，两直线平行． 故选：B． 4.【答案】B [解析]A.如图(1),由作图知,OC是∠AOB的平分线，且PO=PC, ∴∠l=∠2,∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∴PC∥OB.故本选项不符合题意; B.如图(2),由作图知,PD是∠APC的平分线，且PO=0C, ∴∠3=∠4,∠1=∠2.不能说明∠2与∠4相等， ∴无法证明PD与OB平行.故本选项符合题意; C.如图(3),由作图知,PO=0D=CD=CP, ∴四边形PODC是菱形， ∴PC∥OB.故本选项不符合题意; D.如图(4),由作图知,∠1=∠O， ∴PC//OB.故本选项不符合题意. 故选B. 5.【答案】C 【解析】∵AD∥BC, ∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°， ∠D=∠DBC; ∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC=∠ABC=70°=35°. ∴∠D=35°. 故选:C. 6.【答案】B 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可． 【解答】解：∵∠1＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵直线a∥b， ∴∠2＝∠ABC＝60°， 故选：B． 7.【答案】B 【分析】由平行线的性质推出∠B+∠C＝180°，∠C＝∠D，得到∠B+∠D＝180°，即可求出∠D＝35°． 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠B+∠C＝180°， ∵BC∥DE， ∴∠C＝∠D， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝145°， ∴∠D＝35°． 故选：B． 8.【答案】B 【分析】根据一副直角三角板的性质得出∠ABC＝45°，∠EDF＝30°，再根据两直线平行，内错角相等得出∠FDB＝∠ABC＝45°，即可求出∠EDB的度数． 【解答】解：由题意得，∠ABC＝45°，∠EDF＝30°， ∵DF∥AB， ∴∠FDB＝∠ABC＝45°， ∴∠EDB＝∠FDB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°， 故选：B． 9.【答案】A 【分析】由平行线的性质推出∠CDB＝∠ABF＝60°，由垂直的定义得到∠CDE＝90°，由平角定义求出∠1＝180°﹣60°﹣90°＝30°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABF＝60°， ∵CD⊥DE， ∴∠CDE＝90°， ∴∠1＝180°﹣60°﹣90°＝30°． 故选：A． 10.【答案】D 【解析】如图， ∵∠1=25°， ∴∠3=∠1=25°, ∵∠A=90°, ∴∠4=90°-∠3=90°-25°=65°， ∵m∥n， ∴∠4=∠ABC+∠2=65°， 由题意得∠ABC=45°, ∴∠2=65°-45°=20°， 故选:D. 11.【答案】B 【分析】过点E作AB的平行线，利用平行线的性质即可求解． 【解答】解：过点E作直线HI∥AB． ∵AB∥CD，AB∥HI， ∴CD∥HI． ∴∠BGE=∠GEH=60°， ∴∠HEF=∠GEF-∠GEH=90°-60°=30°． ∴∠EFD=∠HEF=30°． 故选：B． 12.【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质得∠DCB=∠1=63°，再由三角形的外角定理可得∠2的度数． 【解答】解：∵a∥b，∠1=63°， ∴∠DCB=∠1=63°， 又∵∠B=45°， ∴∠2=∠DCB+∠B=63°+45°=108°． 故选：B． 13.【答案】A 【分析】过点E作EH∥AB，可得AB∥EH∥FG，即得∠BEH＝∠α＝15°，∠FEH+∠EFG＝180°，根据∠β＝45°求出∠FEH即可求解． 【解答】解：过点E作EH∥AB， ∵AB∥FG， ∴AB∥EH∥FG， ∴∠BEH＝α＝15°，∠FEH+∠EFG＝180°， ∵β＝45°， ∴∠FEH＝180°﹣45°﹣15°＝120°， ∴∠EFG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣120°＝60°， ∴EF与FG所成锐角的度数为60°， 故选：A． 14.【答案】两点之间，线段最短． 【分析】根据两点之间线段最短得出即可． 【解答】解：其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 15.【答案】35． 【分析】根据对顶角的定义即可作答． 【解答】解：∵∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°， ∴∠2＝∠1＝35°． 故答案为：35． 16.【答案】92 【解析】∵点A和点B都在以点O为圆心的圆上， ∴OA=0B, ∴∠OAB=∠OBA. ∵a∥b,且=44°, ∴∠OBA==44°, ∴∠OAB=∠OBA=44°, ∴∠AOB=180°-44°-44°=92°. 故答案为:92. 17.【答案】30． 【解析】由平移的性质可知:AD=BE=3cm，AB=DE， ∵△DEF的周长为24cm， ∴DE+EF+DF=24cm， ∴四边形ABFD的周长 =AB+BE+EF+DF+AD=24+3+3=30(cm) 故答案为:30. 18.【答案】30． 【分析】由平行线的性质推出l⊥b，由三角形外角的性质得到∠2＝∠1﹣∠3＝30°． 【解答】解：∵直线a∥b，直线l⊥a， ∴l⊥b， ∴∠3＝90°， ∵∠1＝120°， ∴∠2＝∠1﹣∠3＝30°． 故答案为：30． 19.【答案】60 【解答】∵BD∥PQ， ∴∠POB=∠OBD=90°， ∵∠AOB=150°. ∴∠AOP=∠AOB-∠POB=150°-90°=60°， ∵AC∥PQ, ∴∠OAC=∠AOP=60°. 故答案为:60. 20.【答案】100°． 【分析】由CD是边AB上的高，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，可求得∠CAB、∠CBA的度数，因为AE是∠CAB的平分线，可得∠EAB的度数，根据三角形内角和定理，可得∠AEB的度数． 【解答】解：∵CD是边AB上的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝50°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝60°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ACD＝40°， ∵AE是∠CAB的平分线， ∴∠EAB＝∠CAB＝20°， ∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝100°， 故答案为：100°． 21.【答案】10． 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°， 由作图知，AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠BAC＝50°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝50°， ∴∠BAD＝40°， ∴∠DAF＝∠BAF﹣∠BAD＝10°， 故答案为：10． 22.(1)证明:∵DE∥BC， ∴∠C=∠AED. ∵∠EDF=∠C, ∴∠AED=∠EDF. ∴DF∥AC. ∴∠BDF=∠A. (2)解:△ABC是等腰直角三角形.理由是： ∵∠A=45°，∴∠BDF=45°. ∵DF平分∠BDE， ∴∠BDE=2∠BDF=90°. ∵DE∥BC,∴∠B=9O°. ∴△ABC是等腰直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$