精品解析：广西玉林市2024-2025学年高一上学期末教学质量监测数学试题

2024年秋季期高一期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，即可根据求解. 【详解】因为，所以， 故选：C 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案. 【详解】命题“”为全称量词命题，则其否定为， 故选：D． 3. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】代入即可求解. 【详解】由函数，可知． 故选：C． 4. 在中，“”是“”的　　 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果. 【详解】当时，成立．若当时，满足． 即由“”能推出“”；反之不一定成立. 所以，“”是“”的充分不必要条件． 故选A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 5. 对于函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算各区间端点处函数值，根据零点存在定理即可判断出答案. 【详解】函数，结合选项，只考虑上的情况即可，设， 则 ， 因为，故， 即， 故在上单调递增， 由于，， ， 结合选项知函数的零点所在的区间为， 故选：B． 6. 若函数的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数型函数求出定点坐标，再利用三角函数的定义即可求得结果. 【详解】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点， 因为点在角的终边上所以． 故选：A． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】由二倍角的余弦公式可得． 故选：A． 8. 已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数、幂函数的单调性判断的单调性，结合对数的运算性质和对数函数、正切函数的单调性即可比较大小. 【详解】由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增，， 所以， 所以. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断AD；由不等式性质判断B.利用作差法判断C； 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，根据若，可得，得B正确； 对于C，， 因为， ，故C正确； 对于D，若，则，故D错误； 故选：BC． 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 满足 C. D. 存在x，y是无理数，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数解析式得值域、定义域，可判断AB；代入运算可判断C；举特例可判断D. 【详解】对于A，的函数值只可能是0或1，所以的值域为，故A错误； 对于B，若，则，可得； 若，则，可得． 综上所述，对于任意，总有成立，故B正确； 对于C，若，则，可得， 若，则，可得， 综上所述，，故C正确； 对于D，取，则，故D正确． 故选：BCD． 11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是（ ） A. R＝6，ω＝，φ＝－ B. 当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C. 当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减 D. 当t＝20时，|PA|＝6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意及函数过点求出解析式判断A，由函数值域可判断B，根据正弦型函数的单调性可判断C，t＝20时求出P点，根据两点间距离公式判断D. 【详解】由题意可知T＝60，所以＝60，解得ω＝， 又从点A(，)出发， 所以R＝6，6sin φ＝－3，又|φ|<，所以φ＝，故A正确； ，当t∈[35，55]时，， 则，，点到x轴的距离为， 所以点到x轴的距离的最大值为6，故B正确； 当t∈[10，25]时，，所以函数在[10，25]上不单调，故C不正确； 当t＝20时，，则，且，所以P(0，6)， 则，故D正确． 综上，正确的是ABD. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的圆心角为，半径长为6，扇形的面积______. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为，半径长为6， 所以扇形的面积是， 故答案为： 13. 函数的定义域为，则的定义域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义以及分式的性质即可求解. 【详解】由题意得，解得且．故定义域为， 故答案为： 14. 若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，即可求得答案. 【详解】解：因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，若，求实数k的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合B中，求出集合B,再利用集合的交并补即可求得结果. （2）由，可得，，再利用集合的包含关系即可求得结果. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以， 当时，， 所以 ，或 【小问2详解】 由，可得，． 由（1）知， 当时， 由可得，，解得． 16. 已知. （1）求的值； （2）若α是第三象限角，求的值. 【答案】（1） ；. （2） 【解析】 【分析】（1）先由条件判断得所在象限，再利用三角函数的基本关系式即可得解； （2）法一：利用（1）中结论，利用三角函数的诱导公式与正余弦的齐次式法即可得解；法二：利用（1）中结论，利用三角函数的诱导公式，直接代入的值即可得解. 【小问1详解】 是第二或第三象限角， 由，得， 当是第二象限角时，， 则； 当是第三象限角时，， 则. 【小问2详解】 法一：因为是第三象限角，由（1）知， 则； 法二：因为是第三象限角，由（1）知， 则. 17. 为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （i）函数的部分图象如图所示； （ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分． 现有以下三个函数模型供选择：． （1）选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）若学校要求每天的得分不少于75分，则每天至少阅读多少分钟？ 【答案】（1）选对数型模型，； （2）70分钟 【解析】 【分析】（1）根据函数图像的特点选择函数模型，再代点进去即可求得结果. （2）利用函数的单调性求解即可得到结果. 【小问1详解】 根据图象是曲线且单调递增， 故选对数型模型，； 由题意可知在上， 所以，解得， 所以， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 令，可得， 即解得，所以每天得分不少于75分，至少需要阅读70分钟． 18. 已知函数的最大值为2． （1）求常数a的值及函数的单调递减区间； （2）将函数图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【答案】（1）a的值为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式结合辅助角公式化简原函数，再利用三角函数的性质建立方程，求解参数，最后再利用整体代入法求解单调区间即可. （2）利用函数平移的性质得到，再利用正弦函数的性质结合二倍角公式求解的值即可. 【小问1详解】 由题意得 ，因为的最大值为2， 所以当时，，则， 故实数a的值为，则， 令， 解得， 即函数的单调递减区间为． 【小问2详解】 若将函数图象向右平移个单位长度， 得到函数， 再将图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 令，则， 由，可得，所以， 由正弦函数的对称性可知，所以， 且，因为， 所以，因为， 可得， . 19. 对于函数，如果存在实数，使得，那么称为的线性生成函数，其中称为生成系数对． （1）已知，试判断是否为的线性生成函数．若是，求出生成系数对，若不是，说明理由； （2）已知的线性生成函数为，生成系数对为，讨论的奇偶性； （3）已知的线作生成函数为，生成系数对为，若对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）不是的线性生成函数，理由： 若为的线性生成函数，则， 即， 则，此方程无解，故不存在实数，使得， 即不是的线性生成函数. （2） 当时，为偶函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. （3） 【解析】 【分析】（1）依据给定定义得到，再利用多项式的性质判断是否有解即可. （2）依据定义表示出，再结合奇偶性的定义分类讨论求解即可. （3）利用给定定义求出，再利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为的线性生成函数为，生成系数对为， 所以， 当时，， 对任意，都有， 故当时，为偶函数； 当时，， 对任意， 易得到， 当时，既不是奇函数也不是偶函数， 综上：当时，为偶函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. 【小问3详解】 若的线作生成函数为， 生成系数对为，则， 而对恒成立， 化简得，令， 则， 当时，， 当时，， 当且仅当时，此时，取得等号， 综上，的最大值为，故. 【点睛】关键点点睛：解题关键是求出，然后利用分离参数法得到，再利用代数变形结合基本不等式得到所要求的取值范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期高一期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 0 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 在中，“”是“”的　　 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 对于函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 满足 C. D. 存在x，y是无理数，使得 11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是（ ） A. R＝6，ω＝，φ＝－ B. 当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6 C. 当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减 D. 当t＝20时，|PA|＝6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的圆心角为，半径长为6，扇形的面积______. 13. 函数的定义域为，则的定义域为____________． 14. 若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，若，求实数k的取值范围． 16. 已知. （1）求的值； （2）若α是第三象限角，求的值. 17. 为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （i）函数的部分图象如图所示； （ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分． 现有以下三个函数模型供选择：． （1）选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）若学校要求每天的得分不少于75分，则每天至少阅读多少分钟？ 18. 已知函数的最大值为2． （1）求常数a的值及函数的单调递减区间； （2）将函数图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 19. 对于函数，如果存在实数，使得，那么称为的线性生成函数，其中称为生成系数对． （1）已知，试判断是否为的线性生成函数．若是，求出生成系数对，若不是，说明理由； （2）已知的线性生成函数为，生成系数对为，讨论的奇偶性； （3）已知的线作生成函数为，生成系数对为，若对恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $