精品解析：江苏省南京市秦淮外国语学校2024-2025学年下学期开学考试九年级数学试题

初三数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列数中比大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 截至2022年05月14日，全球人口总数约为78.98亿人．将78.98亿用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 下列哪个是三棱锥的视图（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长是，为上一动点，以为斜边作直角，且，当点从运动到时，点的运动路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 函数中，自变量的取值范围是_____． 8. 已知，，则______． 9. 已知点在第四象限，则的取值范围是________． 10. 若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为_____． 11. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是___________． 12 如图，，，，则________°． 13. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____． 14. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是________． 15. 如图，在直角坐标系中，过函数上一点分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点、．则的面积为________． 16. 在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别、．以为斜边在右上方作．设点坐标为，则的最大值为_______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算题：． 18. 解决下列问题： （1）解分式方程：； （2）解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中满足a满足． 20. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》 、《孙子算经》 、《海岛算经》（依次用、、表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本． （1）小明抽取的书是《孙子算经》的概率是多少？ （2）请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取两本书中有《九章算术》的概率． 21. 中国跳水队员全红婵和陈芋汐于年参加东京奥运会女子米跳台决赛，她们以绝对的优势包揽了冠亚军，她们通过艰苦的磨练，最终为国争光．她们的决赛各轮成绩如下表： 　 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 平均数 中位数 众数 方差 全红婵 a c 陈芋汐 b 　 根据以上信息回答下列问题： （1）表中 ， ， ． （2）分别求出两位运动员成绩极差． （3）请你运用我们初中所学的有关数据统计方面的知识说说谁的成绩更稳定？（要说出理由） 22. 如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． （1）求证：； （2）若时，求的长． 23. 如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，． （1）求的长； （2）计算图中阴影部分的面积． 24. 限速防超是最基本交通规则，也是交通警察抓得非常严的交通规则，路边高频高清摄像是限速防超的一个重要手段．如图所示，有一条东西走向的高速公路，距离公路的正上方高度为高频高清摄像头，此时摄像头探测到公路点的俯角是，探测角到公路点的俯角是．（参考数据：，，） （1）求图中的长度； （2）若交通规则要求测速区域的范围为，请判断该摄像头的安装距离是否符合要求． 25. 某商家购进一批产品，成本为10元/件，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为600件；线下的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）满足一次函数关系，部分数据如表： x（元/件） 12 13 14 15 16 y（件） 1200 1100 1000 900 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）求当售价多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等； （3）若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大． 26. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：无论m取何值，函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是______． 27. 平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在中，点D在边上，，在边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在和中，D，分别边BC，上一点，，，，求证． 【应用拓展】 （3）如图③，已知，直线． ①在图③中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列数中比大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是掌握正实数大于负实数，两个负实数的绝对值越大，自身反而越小成为解题的关键． 根据个负实数的绝对值越大，自身反而越小逐项判断即可． 【详解】解：由，则，即选项A不符合题意； 由，则，选项B不符合题意； 由，则，选项C符合题意； 由，则，选项D不符合题意； 故选：C． 2. 截至2022年05月14日，全球人口总数约为78.98亿人．将78.98亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将78.98亿用科学记数法表示为：． 故选：D． 3. 下列哪个是三棱锥的视图（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键． 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】三棱锥的主视图和左视图是一个三角形，三角形内部有一条纵向的实线或虚线，俯视图是一个三角形，三角形内部有一点与三个顶点连接， 故选∶C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，负整数指数幂．熟练掌握二次根式的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，负整数指数幂是解题的关键． 根据二次根式的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，负整数指数幂对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、，故不符合要求； B、，故不符合要求； C、，故不符合要求； D、，故符合要求； 故选：D． 5. 如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可． 【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠FAB=，AB=6， ∴扇形ABF的面积=， 故选择D． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键． 6. 如图，正方形的边长是，为上一动点，以为斜边作直角，且，当点从运动到时，点的运动路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，含的直角三角形，勾股定理，动点轨迹的几何推导，以及几何关系转化与运算能力．根先利用直角三角形性质得到再通过角度关系证明四点共圆，得出，从而确定点的轨迹是一段以为弦、圆心角为的弧，结合主动点在线段上的运动范围，可知点的轨迹为经过相似变换(旋转且长度缩放)后的对应线段，最终计算出轨迹长度为． 【详解】解：如图，连接与交于点，连接， ∵正方形的边长是， ∴由勾股定理得对角线， ∴ ∵以为斜边作直角三角形，且， ∴， ∵， ∴四点共圆（(以为直径的圆)）， ∴， ∵为上的动点， ∴点的运动轨迹为直线的一段，当点在处时，点为，当点在处时，点为， ∴ ∵正方形对角线的倾斜角() ∴点的运动路程为． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 函数中，自变量取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 8. 已知，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键． 9. 已知点在第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征．由第四象限的点的特点，可得，解之可得的取值范围． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得：， 故答案为：． 10. 若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式．由题意得出一元二次方程只有一个实数解，据此即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是___________． 【答案】##12厘米 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质及三角形三边关系，解题的关键是根据三角形三边关系及分类讨论腰即可得到答案． 【详解】解：当是腰长时，，无法组成三角形，不符合题意； 当是腰长时，，符合题意，此时周长为：； 综上所述，这个等腰三角形的周长是． 故答案为：． 12. 如图，，，，则________°． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、同位角相等成为解题的关键． 先根据平角的定义可得,然后根据两直线平行、同位角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：55． 13. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用．根据多边形内角和定理，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 根据正多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：12． 14. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并且注意分式方程增根的问题． 根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】， 去分母得：， 解得：， 方程的解为正数，且方程的增根为， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 15. 如图，在直角坐标系中，过函数上一点分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点、．则的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．延长交轴于点，延长交轴于点，连接，利用面积关系推出点是中点，点是的中点，利用代入数据计算即可． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，连接， 点在函数图象上，点在函数， ，， 点是中点， 同理点是的中点， ， ． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别、．以为斜边在右上方作．设点坐标为，则的最大值为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，解直角三角形，直线与圆的位置关系，求的最大值，就是求的最大值是解答本题的关键． 根据题意先求出长，为直径的圆的变径长，分析发现点的轨迹是以为直径，上方的圆弧上运动，设直线，，整理得：，直线与轴的交点坐标为，当直线与圆相切时，取到最大值，画出相切时的示意图，利用得到，解出值即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把、代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 、， ， 线段的中点坐标为， 以为斜边在右上方作，点， 点的轨迹是以为直径，上方的圆弧上运动， ∵以为斜边在右上方作． ∴点C在第一象限， ，， 设直线，， 整理得：， 求的最大值，就是求的最大值， 直线与轴的交点坐标为， 当直线与圆相切时，取到最大值，此时t取得最大值，如图所示，过点B作， ∵直线的解析式为， ∴ ∵直线与圆相切 ∴ ∵ ∴， ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ， ∵， ∴，， ∴ ，， ， 解得， 的最大值是9． 故答案为：9． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算题：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，先计算二次根式、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，再化简绝对值，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 解决下列问题： （1）解分式方程：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程与一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法与公式法解一元二次方程是解答本题的关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程整理后，求出的值，再代入公式进行计算，即可求出方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得：， 经检验：是原方程的解； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 则原方程的解为，． 19. 先化简，再求值：，其中满足a满足． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则即可化简．再解方程，得出a的值，最后由分式有意义的条件确定a的值，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ． 解方程：， ， ， ， 解得：． ∵，， ∴，， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件．掌握分式的混合运算法则和解一元二次方程的方法是解题关键． 20. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》 、《孙子算经》 、《海岛算经》（依次用、、表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本． （1）小明抽取的书是《孙子算经》的概率是多少？ （2）请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取两本书中有《九章算术》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：“利用列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率”． （1）用概率公式即可求解； （2）画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：从中随机抽取一本书可能是、、，共有种等可能结果，抽取的是《九章算术》的有种， ； 【小问2详解】 画树状图为： 由图可知，共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为种，分别为、、、， ． 21. 中国跳水队员全红婵和陈芋汐于年参加东京奥运会女子米跳台决赛，她们以绝对的优势包揽了冠亚军，她们通过艰苦的磨练，最终为国争光．她们的决赛各轮成绩如下表： 　 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 平均数 中位数 众数 方差 全红婵 a c 陈芋汐 b 　 根据以上信息回答下列问题： （1）表中 ， ， ． （2）分别求出两位运动员成绩的极差． （3）请你运用我们初中所学的有关数据统计方面的知识说说谁的成绩更稳定？（要说出理由） 【答案】（1），， （2）全红婵成绩的极差为，陈芋汐成绩的极差为 （3）陈芋汐，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，中位数，众数，极差，利用方差判断稳定性等知识．熟练掌握算术平均数，中位数，众数，极差，利用方差判断稳定性是解题的关键． （1）由题意知，，然后根据众数，中位数的定义求解作答即可； （2）根据极差的定义求解作答即可； （3）根据方差越小越稳定进行作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 陈芋汐的成绩从低到高依次排序为：，，，，， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴全红婵成绩的极差为，陈芋汐成绩的极差为； 【小问3详解】 解：陈芋汐，理由如下； ∵， ∴陈芋汐的成绩更稳定． 22. 如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． （1）求证：； （2）若时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可根据证明； （2）勾股定理求得根据已知条件证明是等腰三角形可得，进而根据即可求解． 【小问1详解】 证明：是等腰直角三角形， ， ， ， 在与中 ； ， 【小问2详解】 在中，，， , , , , , ∴∠ADC=∠ACD， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，． （1）求的长； （2）计算图中阴影部分的面积． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）作于点E，连接，解直角三角形，即可求得的长，再根据勾股定理和垂径定理，即可解答； （2）根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可解答． 【小问1详解】 解：作于点E，连接， ， ， ，， ， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了垂径定理，扇形的面积计算，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 24. 限速防超是最基本的交通规则，也是交通警察抓得非常严的交通规则，路边高频高清摄像是限速防超的一个重要手段．如图所示，有一条东西走向的高速公路，距离公路的正上方高度为高频高清摄像头，此时摄像头探测到公路点的俯角是，探测角到公路点的俯角是．（参考数据：，，） （1）求图中的长度； （2）若交通规则要求测速区域的范围为，请判断该摄像头的安装距离是否符合要求． 【答案】（1） （2）符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，垂足为，然后在中，利用含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）作于，由题意得：，则，求出，设，分别在中，在中，求出、、的长，列出关于的方程，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， ， 在中，，， ， 图中的长度为； 【小问2详解】 解：符合要求， 理由如下：作于， ， 由题意得：， ， ， ， 设， 在中，， 在中，， ，， ， ， 解得：， ， 交通规则要求测速区域的范围为， 该摄像头的安装距离符合要求． 25. 某商家购进一批产品，成本为10元/件，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为600件；线下的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）满足一次函数关系，部分数据如表： x（元/件） 12 13 14 15 16 y（件） 1200 1100 1000 900 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等； （3）若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大． 【答案】（1）； （2）18元 ； （3）当时选择线上销售利润大； 当时选择线下销售利润大； 当时，两种销售方法利润一样． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用（销售问题），能结合题意列出正确的函数关系式是解题的关键． （1）根据表格可知y与x满足一次函数的关系，再利用待定系数法求得一次函数即可； （2）利用销售利润销售数量（销售单价销售成本），结合题意列代数式，即可解答； （3）设线上销售的利润为，线下销售的利润为，根据题意列出和的函数解析式，画出函数图像，即可解答． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 将代入得： ， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， 解得：（舍去），， 答：当售价为18元时，线上销售利润与线下销售利润相等． 【小问3详解】 解：设线上销售利润为，线下销售的利润为． ， ， 画出函数图像如图所示： ， 由图可知，当时，，当时，，当时，， ∴当时选择线上销售利润大； 当时选择线下销售利润大； 当时，两种销售方法利润一样． 26. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：无论m取何值，函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是______． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，不等式的解法，掌握一元二次方程的根与抛物线与x轴交点的关系是解题的关键． （1）证明便可； （2）把，两点代入，然后整理、化简，最后解不等式求解即可． 【小问1详解】 证明：当时，， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 不论m为何值，函数图象与x轴总有两个不同的公共点； 【小问2详解】 解：把，两点代入得： ， ， ， ， ∴， ∴或 解得：或 故答案为：或． 27. 平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在中，点D在边上，，在边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在和中，D，分别边BC，上一点，，，，求证． 【应用拓展】 （3）如图③，已知，直线． ①在图③中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的最小值是______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析，② 【解析】 【分析】（1）作，与交于点E，点E即所求； （2）过点D作交于点E，过点作交于点，证明，，列出对应的比例式，得到，根据角的等量代换得到，即可得证； （3）①作直线l分别交，，于点M，N，P；过点A作一条射线，在上截取，；连接，过点E作交于点Q，连接；在任取一点，作交于点；作交于点，则即为求． ②延长交于点Q，则，根据题意得到，进而，则求出即可求得，当为等边三角形时，取得最小值，过点作于点H，即可解答． 本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，作图，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作，与交于点E，点E即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 则点E即为所求． （2）证明：如图，过点D作交于点E，过点作交于点 ∵，， ，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ， ∵，， ，， ∴， 即， ∵，， ∴ ，， ， 即， ， 又，， ∴， 即， 解：①如图，即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交，，于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线，在上截取，； 第3步：连接，过点E作交于点Q，连接； 第4步：在任取一点，作交于点； 第5步：作交于点，则即为求． ②如①右图，延长交于点Q，则， ， ， ∴， ∴， 求出即可求得， 当为等边三角形时，取得最小值， 过点作于点H， ，之间距离为4， ， ∴， ∴， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $