精品解析：四川省广安市岳池县2024-2025学年九年级上学期1月诊断考试（一）数学试题

2024年秋季九年级诊断考试（一）数学 注意事项： 1．本评估样卷分为样卷（1-6页）和答题卡两部分．120分钟完卷，满分120分． 2．学生答题前，请先将学校、班级、姓名、评估号等信息用黑色墨水笔或黑色签字笔填写在答题卡上的指定位置，待教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、评估号是否正确． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上相应的位置，非选择题答案用黑色墨水笔或黑色签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、样卷上答题均无效． 4．答卷结束，教师必须将答题卡收回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上） 1. 下列选项中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明袋子中装有8个红球、个白球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能为（　　） A. 10 B. 5 C. 3 D. 2 5. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦，连结OB、OC．若∠BAC=60°，则∠BOC的度数（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 6. 下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将以点为中心，逆时针旋转，得到，点，点的对应点分别是点，点，当点恰好第一次落在边上时，则旋转角的度数等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积，来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数是常数，的图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是．给出下列说法：①；②；③；④为常数；⑤当时，．其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 正确佩戴安全头盔能够有效保障人身安全．为了确保安全头盔的质量，质检部门对某工厂生产的安全头盔进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的安全头盔数 50 100 150 200 500 1000 3000 合格的安全头盔数 42 88 141 180 455 920 2790 安全头盔合格的频率 0.84 0.88 0.94 0.90 0.91 0.92 0.93 由上表，估计随机抽取一个安全头盔，其质量合格的概率为___________．（结果保留小数点后一位） 12. 抛物线y＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____． 13. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为___________． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为___________． 15. 如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长________． 16. 如图所示，在中，，，，将绕顶点B逆时针旋转后得到，点C经过的路径为，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分） 17. 解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）作出绕点顺时针旋转后的图形； （2）若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为___________． 19. 如图，四边形内接于，，，垂足为．若，求的度数． 20. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，求证：． ． 四、实践应用题（本大题共4小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分） 21. 某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？ 22. 圆形拱门是中国古代建筑喜欢采用的样式，既美观又实用，彰显出了中国元素的韵味．如图是某园林的一个圆形拱门的示意图，已知拱门高的中点到的距离），，，，，求拱门所在的圆弧的半径． 23. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．某校为了传承中华优秀传统文化，举行“薪火传承育新人”系列活动，组建了四个活动小组：A（经典诵读），B（诗词大赛），C（传统故事），D（汉字听写）．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组．若该校小敏和小文两名同学各自从四个小组中随机选择一个小组，每一个小组被选中的可能性相同． （1）小敏选择经典诵读小组的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求小敏和小文选择不同小组的概率． 24. 亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． （1）请求出和的值； （2）“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； （3）若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 五、推理论证题 25. 如图，是的内接三角形，是的直径．过点作射线，使得，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 六、拓展探究题 26. 如图，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）若为该抛物线上一动点（与点不重合），当点在直线的下方运动． ①求面积的最大值； ②连接，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，要使，求满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季九年级诊断考试（一）数学 注意事项： 1．本评估样卷分为样卷（1-6页）和答题卡两部分．120分钟完卷，满分120分． 2．学生答题前，请先将学校、班级、姓名、评估号等信息用黑色墨水笔或黑色签字笔填写在答题卡上的指定位置，待教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、评估号是否正确． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上相应的位置，非选择题答案用黑色墨水笔或黑色签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、样卷上答题均无效． 4．答卷结束，教师必须将答题卡收回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡上） 1. 下列选项中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、方程中未知数的次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故本选项符合题意． C、方程有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的便利．下列数学符号中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕一个点旋转后，能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形，解决本题的关键是根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：把这个图形旋转后不能与自身重合，所以这个图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：把这个图形旋转后不能与自身重合，所以这个图形不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把这个图形旋转后能与自身重合，所以这个图形是中心对称图形，故C选项符合题意； D选项：把这个图形旋转后不能与自身重合，所以这个图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选： C． 3. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键． 4. 一个不透明袋子中装有8个红球、个白球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能为（　　） A. 10 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了可能性的大小的知识，根据摸到哪种球的可能性最大，哪种球的数量最大确定答案即可． 【详解】解：∵摸到红球的可能性最大， ∴三种颜色的球红球数量最大， ∴， ∴各个选项中，的值不可能为， 故选：A． 5. 如图，AB、AC是⊙O的两条弦，连结OB、OC．若∠BAC=60°，则∠BOC的度数（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：∵∠BAC=60°， ∴∠BOC=2∠BAC=120°． 故选D． 考点：圆周角定理． 6. 下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键． 把各方程整理乘右边等于0的形式，即可求解． 【详解】解：A、整理得，，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； B、，不适合运用因式分解法求解，故本选项符合题意； C、整理得，，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； D、整理得，，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，，将以点为中心，逆时针旋转，得到，点，点的对应点分别是点，点，当点恰好第一次落在边上时，则旋转角的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等知识．根据旋转的性质得，则，再利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由题意知，， ， ， 旋转角的度数等于， 故选：C． 8. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：D． 9. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积，来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：B． 10. 如图是二次函数是常数，的图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是．给出下列说法：①；②；③；④为常数；⑤当时，．其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 根据二次函数的开口方向，与轴交点位置可得的正负，由二次函数对称轴可得，从而可得结论①②；根据二次函数的对称性和处的函数值可判断结论③；将代入，再根据平方的非负性可得结论④；根据二次函数与轴的交点位置即可判断结论⑤； 【详解】解：二次函数开口向下，则， 二次函数与轴交点在轴上方，则， ∵二次函数的对称轴为， ， ， ， ∴，即①正确； ， ∴，即②正确； 由二次函数的对称性可得函数与轴的另一交点在点和之间， 时，， 把代入二次函数可得，故③错误； 由图可知：时，有最大值， ∴， ∴，即④正确； 由二次函数图象与轴的交点可得当时，有部分函数值在轴下方， ∴此时，故⑤错误； 综上所述①②④正确， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 正确佩戴安全头盔能够有效保障人身安全．为了确保安全头盔的质量，质检部门对某工厂生产的安全头盔进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的安全头盔数 50 100 150 200 500 1000 3000 合格的安全头盔数 42 88 141 180 455 920 2790 安全头盔合格的频率 0.84 0.88 0.94 0.90 0.91 0.92 0.93 由上表，估计随机抽取一个安全头盔，其质量合格的概率为___________．（结果保留小数点后一位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此可解． 【详解】解：由图表数据可知，随着抽查的数据越大，合格头盔的概率接近为， 故答案为：． 12. 抛物线y＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____． 【答案】（﹣2，5） 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）． 故答案为：（﹣2，5）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h． 13. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数是解题关键．根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为___________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 15. 如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 16. 如图所示，在中，，，，将绕顶点B逆时针旋转后得到，点C经过的路径为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，旋转的性质，根据旋转的性质，得，，再根据图形面积之间的关系可得，据此求解即可． 【详解】解：如图，根据旋转的性质，得，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程求根公式是解题的关键．利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， 方程有两个不等的实数根，即， 即． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）作出绕点顺时针旋转后的图形； （2）若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为___________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是画旋转图形，中心对称的性质，坐标与图形，熟练的画图是解本题的关键； （1）分别确定绕点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接即可； （2）由，，结合与是中心对称图形，可得对称中心的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与是中心对称图形，，， ∴对称中心的坐标为，即． 19. 如图，四边形内接于，，，垂足为．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，垂径定理等知识．根据垂径定理得到垂直平分，，则，利用圆内接四边形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，延长并延长交于点． ， ． 与的一条直径共线， ， 垂直平分， ． ， ． 四边形是的内接四边形， ． 20. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，求证：． ． 【答案】 证明：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，． ∵B，C，E三点在同一直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，由旋转的性质得，；由B，C，E三点在同一直线上可得，从而可证明为等边三角形，得，再证明，根据“内错角相等，两直线平行”可得结论． 【详解】略 四、实践应用题（本大题共4小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分） 21. 某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】20棵 【解析】 【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种x棵树每棵桃树的产量就会减少2x个（即是平均产1000﹣2x个），桃树的总共有(100＋x)棵，所以总产量是（100＋x）（1000﹣2x）个，要使产量增加15．2%，达到100×1000×（1＋15．2%）个． 【详解】解：设应多种x棵桃树，则由题意可得： （100＋x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1＋15．2%） 整理，得：x2﹣400x＋7600＝0， 即（x﹣20）（x﹣380）＝0， 解得：x1＝20，x2＝380， 因为所种桃树要少于原有桃树， 所以x＝380不符合题意，应舍去，取x＝20， 答：应多种20棵桃树． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找出桃树的增加量与桃子总产量的关系． 22. 圆形拱门是中国古代建筑喜欢采用的样式，既美观又实用，彰显出了中国元素的韵味．如图是某园林的一个圆形拱门的示意图，已知拱门高的中点到的距离），，，，，求拱门所在的圆弧的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，如图，连接，证明四边形是矩形．过点作于点，交于点，交于点，连接，再进一步利用垂径定理与勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ∴， 又， 四边形是矩形． 过点作于点，交于点，交于点，连接， 则． 设， 则， 在中，， ， 即， 解得， 拱门所在的圆弧的半径为． 23. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．某校为了传承中华优秀传统文化，举行“薪火传承育新人”系列活动，组建了四个活动小组：A（经典诵读），B（诗词大赛），C（传统故事），D（汉字听写）．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组．若该校小敏和小文两名同学各自从四个小组中随机选择一个小组，每一个小组被选中的可能性相同． （1）小敏选择经典诵读小组的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求小敏和小文选择不同小组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小敏和小文选择不同小组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 ∵共四个活动小组， ∴小敏选择经典诵读小组的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小敏和小文选择不同小组的结果有：，共12种， ∴小敏和小文选择不同小组的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 24. 亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． （1）请求出和的值； （2）“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； （3）若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变量的取值函数最值的计算方法时解题的关键． （1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解； （2）联立方程解二元一次方程组即可求解； （3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当时，取到最大值；当时，取到最大值；由此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为， ∵小球达到的最高的坐标为， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意联立方程组得， ， 解得，（不符合题意，舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：已知二次函数的顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大； ∵时的最大值为， ∴当时取到最大值，且，即， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）； ∴； 当时，随的增大而减小， ∴当时取得最大值，且，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 五、推理论证题 25. 如图，是的内接三角形，是的直径．过点作射线，使得，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． ， ． ， ， ． ， ． 为的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，结合已知条件，等量代换得出，进而可得出，由平行线的性质结合已知条件可得出，即可证明：是的切线． （2）先证明为等边三角形，由等边三角形的性质可得出，，最后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ． 由（1）知， ． 又， 为等边三角形， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了证明直线是圆的切线，平行线的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，弧长公式，掌握这些定理以及性质和公式是解题的关键． 六、拓展探究题 26. 如图，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）若为该抛物线上一动点（与点不重合），当点在直线的下方运动． ①求面积的最大值； ②连接，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，要使，求满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）将两点分别代入列方程计算即可； （2）①过点作轴的平行线，交于点，连接，，先求出直线的函数解析式为，再设点，则点，根据求面积最大值即可； ②由，得到，设点，则，或，再根据点在抛物线对称轴右侧或左侧时，列方程求出，的值即可． 【小问1详解】 解：将两点分别代入，得 ， 解得， 该抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：①如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，． 设直线的函数解析式为． 将两点分别代入，得 ， 解得， 直线的函数解析式为． 设点，则点， ， ， ，且， 当时，的面积有最大值，最大值为． ②∵抛物线的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为 将代入，得 ， 解得， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 设点， ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点， ∴，或， 当点在抛物线对称轴右侧时，， ， ， ，，或． 当点在抛物线对称轴左侧时，， ， ， ，，或与点在直线的下方矛盾，应舍去． 所以，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $