精品解析：浙江省杭州学军中学2024-2025学年高一下学期第一次测试数学试题

杭州学军中学2024级高一下第一次测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算可得. 【详解】因为，，所以， ， 故选：C 2. 下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A：利用幂函数的性质判断；B：利用一次函数的性质判断；C：利用二次函数的性质判断；D：利用奇偶性定义判断. 【详解】A：在定义域内内不单调，不符合题意； B：在定义域R上先减后增，不符合题意； C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意； D：因为，所以函数为偶函数，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3. 已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得，再根据和角公式求解即可. 【详解】解：因为角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称， 所以，点是角的终边上的点， 所以，， 所以 故选：C 4. 若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解. 【详解】因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用“分段法”比较出的大小关系. 【详解】因为，，，所以. 故选：D 【点睛】本题考查指数式和对数式比较大小，属于基础题. 6. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由和得，利用二倍角公式，诱导公式即可求解. 【详解】由， ， 故选：D. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件通过特值法逐步求出， ，，的值，从而找到的值. 【详解】令，则有，由于，则，故； 令，则有，将已知条件代入，得到，因此； 令，则有； 令，则有； 令，则有. 因此，. 故选：B 8. 已知函数，若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，，且，解之讨论，可得选项. 【详解】因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间， 所以， 所以， 又，且，解得， 又因， 所以，解得， 当时，符合题意， 当时，符合题意， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设可得为等腰直角三角形，故可得半周期，从而可得的值及各点坐标，通过的坐标可求，从而可得判断各项的正误. 【详解】由题知的纵坐标为，又，所以，， 所以，所以的周期，所以，，故B正确； 所以，故C正确；，故A错误， 将代入函数解析式可得：，()，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题 【详解】由， 由向量加法的三角形法则得 ， 又F为AE的中点，则，故A正确； ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选：ABD 11. 已知函数定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 是以4为周期的周期函数 C. D. 函数与函数的图象有8个不同的公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件先得到函数对称性及周期性，进而判断ABC，画出函数与函数的图象，根据图象观察交点个数即可判断D. 【详解】由得函数关于对称，A正确； 由得函数关于对称， 所以，， 所以，即， 所以，故函数的周期为，B正确； 由知，， 又时，，所以，解得， 所以时，， 所以， ， ，C错误； 画出函数和函数的图象，如图： ，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值为__________． 【答案】1. 【解析】 【分析】根据指数、对数的运算算出答案即可. 【详解】因为 所以， 所以 故答案为：1 13. 已知实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】81 【解析】 【分析】由直线与圆相切，即可求解； 【详解】由题意可知当直线与圆相切时， 取得最值，即：， 可得：， 解得：或， 所以的最大值是81， 故答案为：81 14. 函数，若关于x的方程恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数的图象，数形结合得到不同的时，两函数交点情况，得到答案. 【详解】令，由对勾函数的性质可知： 对于一个确定的值，关于的方程最多两个解， 画出的图象如下： 故值域为， 作出函数的图象，如下： 令，解得：， 令，解得：，， 令，解得：， 当时，存在唯一的，使得，此时方程有两解； 当时，存在使得，此时方程有三解， 其中时，有1个解，即，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有四解， 时，无解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有七解， 时，有1个解，即，时，有2个解，时，有2个解， 时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有八个解， 当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有六解， 当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有四解， 当时，有2个解，时，有2个解； 综上：实数t的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，p：，q：， （1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若，命题p，q中有且仅有一个是真命题，求实数x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到p：，利用充分条件得到不等式组，求出m的取值范围；（2）分两种情况，求出答案. 【小问1详解】 不等式的解为，即p：． 因为p是q的充分条件，所以是的子集， 故解得：，所以m的取值范围是． 【小问2详解】 当时，q：， 由于命题p，q其中一个是真命题，一个是假命题，分以下两种情况讨论： ①p真q假时，与或取交集，解得：； ②p假q真时，与或取交集，解得：或． 所以实数x的取值范围为． 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调递减区间； （2）当时函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）根据正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， ，， 减区间为． 【小问2详解】 ，， 当时，有最小值为， 由已知，． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，． （1）求和的解析式； （2）判断在区间上的单调性并证明； （3）若对，都有，求实数m的取值集合． 【答案】（1）；； （2）在区间上单调递减，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）由即可求得函数的解析式，再由函数是上的偶函数，即可得到其解析式. （2）由函数单调性的定义法即可证明的单调性； （3）根据题意，由偶函数的性质可得，再由函数的奇偶性以及单调性可得，由对数函数的单调性即可求解不等式. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，即， 所以，且满足，即； 设，则，即， 又是定义在上的偶函数，则， 所以； 【小问2详解】 在区间上单调递减. 证明：任取，且， 则 ， 由可得，，，， 所以，即， 所以在区间上单调递减. 【小问3详解】 因为是定义在上的偶函数， 且当时，，其对称轴为， 所以当时，单调递增， 对，都有，即， 由（1）可知，是定义在上的奇函数， 且时，单调递减， 所以， 所以，即或， 当时，即，解得； 当时，即，解得； 综上所述，实数m的取值集合为. 18. 某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟． （1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； （2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1） （2）14或 （3） 【解析】 【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析； （2）由（1）中的解析式得出，结合正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解； 【小问1详解】 设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，，则，， 所以 依题意，所以， 当时，所以， 故； 【小问2详解】 令，即， 所以， 又，所以， 所以或，解得或， 即或时1号座舱与地面的距离为17米； 【小问3详解】 依题意，， 所以 令，解， 所以当时取得最大值， 故，解得， 所以. 19. 已知， （1）若，求的最大值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3），对于给定实数，均有满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）若，解集为；若，解集为且；若，解集为. （3）当或时， ；当或时， ；当时，. 【解析】 【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数分析求解； （2）换元令，可得，分类讨论的符号，结合分式不等式求解； （3）令,，按照、、分类讨论，表示出，即可求解. 【小问1详解】 因为，可知的定义域为，此时， 若，则， 可得， 令，则， 当且仅当时，等号成立， 所以最大值为. 【小问2详解】 若，则， 对于，即， 令，则， 若，则，可得， 解得，可得； 若，则，可得， 解得，可得且； 若，则，可得， 解得或，可得或； 综上所述：若，解集为； 若，解集为且； 若，解集为. 【小问3详解】 令 则, ①当时, , 当 时, 即 或 时, ； 当时, 即或时, , 所以; 当 时, . ②当时，, , 当 时, , 所以; 当 时, , 所以; 当 时,. ③当 时, 成立. 综上所述, 当或时， ； 当或时， ； 当时，. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键点令,，通过分类讨论表示出，再按照的范围分类求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州学军中学2024级高一下第一次测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是 A. B. C. D. 3. 已知角的终边上一点的坐标为，角的终边与角的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，点是函数(，)图象的最高点，､是图象与轴的交点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 是以4为周期的周期函数 C D. 函数与函数的图象有8个不同的公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值为__________． 13. 已知实数，满足，则的最大值是__________． 14. 函数，若关于x的方程恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，p：，q：， （1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若，命题p，q中有且仅有一个是真命题，求实数x的取值范围． 16. 已知函数． （1）若，求函数单调递减区间； （2）当时函数的最小值为2，求实数的值． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，． （1）求和的解析式； （2）判断在区间上的单调性并证明； （3）若对，都有，求实数m的取值集合． 18. 某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟． （1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； （2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围． 19. 已知， （1）若，求的最大值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3），对于给定实数，均有满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$