精品解析：重庆市大足中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

2024—2025学年下期初2025届入学考试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 5．参考公式：抛物线顶点坐标为 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定不经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与 位似，点 为位似中心．已知，则 与面积比为（ ） A. B. C. D. 6. 用相同的小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个正方形，第②个图案中有个正方形，第③个图案中有个正方形，...按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应该在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( ) A. 4 B. 6.25 C. 7.5 D. 9 9. 如图，延长矩形的边 至点E，使，连接，若 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 按顺序排列的8个单项式a，b，c，d，， ，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为 的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当 时，可选互不相邻的b，，相乘，得，在剩下的单项式a，c，d， ，中可选c，d相乘，得，此时，……．下列说法中的错误个数是（ ） ①存在“积差操作”，使得为五次二项式； ②共有4种“积差操作”，使得； ③共有12种“积差操作”，使得． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 12. 正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为______． 13. 在桌面上放有四张背面朝上且完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字 ，，， ，现随机抽取一张，则所抽取卡片上的数字为偶数的概率是_______． 14. 在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为100分钟，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为64分钟．已知2022年下学期和2023年上学期平均每天作业时长的下降率相同，则下降率为________． 15. 如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线 的中点，则 的长度为______． 16. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之积为________． 17. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为点D，∠BAC＝30°，AB＝6，则AE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 18. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵ ，，∴2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则________；已知四位自然数是“会意数”，（，，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知四边形为正方形，点E在边上，连接． （1）尺规作图：过点B作 于点H，交 于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）求证： ．（请补全下面的证明过程） 证明：∵正方形 ∴ ， ① ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② 在 与中 ∴ ∴ ④ ． 通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且 ⑤ 的线段长相等． 21. 在大学校园里，共享单车以其便捷、环保的特点，成为了广大师生出行的新选择．某品牌共享单车为了解其在大学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个大学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个大学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：．A：，B：，C．，D．）．下面给出了部分信息： 甲大学10名学生满意度得分数据：99，96，92，93，88，88，88，78，74，69； 乙大学10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙大学抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲 88 a 乙 b 89 请根据以上信息解答： （1） ， ， ； （2）你认为该品牌共享单车在哪个大学更受学生欢迎？请说明理由：（写出一条即可） （3）若甲、乙两校共有7200人参加此次满意度调查，请你估计喜爱该品牌共享单车的学生有多少人？ 22. 某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材． （1）该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？ （2）由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的 倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？ 23. 如图1，在等腰中， 于点D，， ．动点E，F同时从点C出发，点E以每秒1个单位的速度沿线段 运动，点F以每秒个单位的速度沿折线运动．当点E到达点B时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积记为，的长度记为． （1）请直接写出关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）如图2，平面直角坐标系中已给出函数的图象，请在该坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，估计当时t的近似值．（近似值保留一位小数，误差不超过） 24. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西 方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：） （1）求的长度； （2）骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接 ，，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点M为线段（不含端点O，C）上一点，连接并延长交抛物线于点P，连接 ， ，当面积最大时，求点M的坐标及面积的最大值； （3）如图2，将该抛物线沿射线 方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接 ，，过点B作交新抛物线于点H，连接 ．在新抛物线上确定一点N，使得，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 26. 是等边三角形，点D为线段 上任意一点，连接 ，E为直线上一点， （1）如图1，当点D为 中点时，点E在边上，连接 ，若，，求 的长； （2）如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为 延长线一点，且，猜想线段 ，， 之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（1）的条件下，M为线段 上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，当的值最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下期初2025届入学考试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．考试结束后，将答题卷交回． 5．参考公式：抛物线顶点坐标为 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此进行判断即可． 【详解】解：有理数的相反数是． 故选：C． 2. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 反比例函数的图象一定不经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足解析式．据此判断逐项即可． 【详解】解：A、当时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意； B、当时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意； C、当 时，，则反比例函数的图象一定经过的点，故此选项不符合题意； D、当 时，，则反比例函数的图象一定不经过的点，故此选项符合题意， 故选：D． 4. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，根据两直线平行，同旁内角互补求出，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，与 位似，点为位似中心．已知，则 与面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似变换得到， ，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： 与 位似， ， ， ， ， ∴。 ， 与面积比为， 故选：D． 6. 用相同的小正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个正方形，第②个图案中有个正方形，第③个图案中有个正方形，...按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得到规律．根据已知图形中正方形的个数得出第 个图形正方形个数为个，即可求解． 【详解】解：解：图1中正方形的个数：， 图2中正方形的个数：， 图3中正方形的个数：， 第 个图形正方形个数为个， 第个图案中正方形的个数（个）， 故选：B． 7. 估计的值应该在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握“夹逼法”的运用．先根据二次根式的乘法法则计算，再利用夹逼法可得：，从而进一步可判断出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， 即的值在4和5之间． 故选：B． 8. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( ) A. 4 B. 6.25 C. 7.5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案. 【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°， ∵⊙O为△ABC内切圆， ∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF， ∴四边形AEOF为正方形， 设⊙O的半径为r， ∴OE=OF=r， ∴S四边形AEOF=r²， 连接AO，BO，CO， ∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC， ∴， ∴r=2， ∴S四边形AEOF=r²=4， 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键. 9. 如图，延长矩形的边 至点E，使，连接 ，若 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等；连接与交于，根据矩形的性质可证，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解；掌握性质，作出辅助线，构建等腰是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：B． 10. 按顺序排列的8个单项式a，b，c，d，， ，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为 的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当 时，可选互不相邻的b，，相乘，得，在剩下的单项式a，c，d， ，中可选c，d相乘，得，此时，……．下列说法中的错误个数是（ ） ①存在“积差操作”，使得为五次二项式； ②共有4种“积差操作”，使得； ③共有12种“积差操作”，使得． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义，举例解答即可． 本题考查了整式的加减，整式的乘法，熟练掌握整式的加减，乘法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，八个单项式a，b，c，d，， ，，中，根据不相邻要求，得，，是五次单项式，此时是五次二项式， 故①正确； 根据不相邻要求，得，，此时； ，，此时； ，，此时； ，，此时； ，，此时； …… 超过4种“积差操作”， 故②错误； 要使得． 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， …… ∴超过12种“积差操作”，使得说法正确， 故③错误． 故选：C． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 【答案】5 【解析】 【分析】先将零指数幂和负整数指数幂化简，再进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握任何非0数的0次幂都得1，以及（是正整数）． 12. 正n边形的每一个外角都是它相邻的内角的2倍，则n的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的外角和内角，设正n边形的每一个外角为，则它相邻的内角为x，列出关于x的方程式，求得x，,再根据多边形的外角和为即可求出答案． 【详解】解：设正n边形的每一个外角为，则它相邻的内角为x， ， 解得： ， ， 则． 故答案为：3． 13. 在桌面上放有四张背面朝上且完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字 ，，， ，现随机抽取一张，则所抽取卡片上的数字为偶数的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率，概率 所求情况数与总情况数之比．利用概率公式求解即可． 【详解】解：所抽取卡片上的数字为偶数的情况为：，，共两种情况， ， 故答案为：． 14. 在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为100分钟，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为64分钟．已知2022年下学期和2023年上学期平均每天作业时长的下降率相同，则下降率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据2022年上学期每天作业平均时长为分钟，经过两学期降低后到了平均每天作业时长为64分钟，即可得出关于一元二次方程，即可得出． 【详解】解∶ 依题意得：， 解得，（舍去） ∴下降率为为 故答案为： ． 15. 如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则 的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，连接，设交于F，则由矩形的性质可得 ，点O是对角线的中点，利用勾股定理得到，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接，设交于F， ∵四边形是矩形，点O是对角线的中点， ∴ ，点O是对角线的中点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出 的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出 的取值情况，然后求出满足条件的 的值，即可得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有解且最多有3个整数解， ， 解得：， 整数 为：1，2，3，4，5，6， 解分式方程，得， 分式方程有整数解， 是整数，且， 整数 为：1，5， 所有满足条件的整数 的值之积是． 故答案为：5． 17. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为点D，∠BAC＝30°，AB＝6，则AE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BE、OC，先证 ，利用圆周角定理得到 ，进而得到 ，放在Rt△ABE中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE的长度． 【详解】解：连接BE，如图所示， ∵直径所对的圆周角是直角， ， （同位角相等，两直线平行）， 连接OC交BE于点G， ∵DC是⊙O的切线， （圆的切线垂直于过切点的半径）， ，即， 又∵（圆周角定理）， ， 在Rt△ABE中，（30°所对的直角边等于斜边的一半）， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，切线的性质，圆周角定理等，掌握辅助线的做法是解决问题的关键． 18. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵ ，，∴2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则________；已知四位自然数是“会意数”，（，，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是________． 【答案】 ①. 30 ②. 4117 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是理解清楚“会意数”的定义．根据“会意数”的定义进行求解即可；由题意可得，从而可求得，再结合恰好能被8整除，即能被8整除，对当时，当时，分别对此进行分析即可求解． 【详解】解：∵， ∴“会意数”N前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数为7141， ∴， ∵是“会意数”， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵恰好能被8整除，，，，，且a，b，c，d为整数， ∴能被8整除， 即能被8整除， 当时，故当 ，时， ，，则自然数S为：4117； 当时，故当 ，时，，，则自然数S为：1462； 当， 时， ，，则自然数S为：2371； 当 ， 不符合题意，舍去； 当 ， 不符合题意，舍去； 综上所述：所有满足条件的自然数S的值为：4117或1462或2371，其中最大的数为4117， 故答案为：30，4117． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据分式的加减进行计算，同时将除法转化为乘法，根据分式的混合运算进行化简即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了整式的化简，分式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则以及分式的运算法则是解题的关键． 20. 已知四边形为正方形，点E在边上，连接． （1）尺规作图：过点B作 于点H，交 于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）求证： ．（请补全下面的证明过程） 证明：∵正方形 ∴ ， ① ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② 在 与中 ∴ ∴ ④ ． 通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且 ⑤ 的线段长相等． 【答案】（1） 如图， 即为所求作： （2），， ， ，垂直 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作垂线、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本作图和正方形的性质是解答的关键． （1）根据尺规作垂线的方法作出 即可； （2）先根据正方形的性质得到 ，根据等角的余角相等得到，然后利用全等三角形的判定和性质证明 得到 ，进而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在大学校园里，共享单车以其便捷、环保的特点，成为了广大师生出行的新选择．某品牌共享单车为了解其在大学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个大学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个大学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：．A：，B：，C．，D．）．下面给出了部分信息： 甲大学10名学生满意度得分数据：99，96，92，93，88，88，88，78，74，69； 乙大学10名学生B等级所有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙大学抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲 88 a 乙 b 89 请根据以上信息解答： （1） ， ， ； （2）你认为该品牌共享单车在哪个大学更受学生欢迎？请说明理由：（写出一条即可） （3）若甲、乙两校共有7200人参加此次满意度调查，请你估计喜爱该品牌共享单车的学生有多少人？ 【答案】（1）88； ；10 （2） 品牌共享单车在乙大学更受欢迎，理由如下： ∵乙大学的中位数和众数都比甲大学的高， ∴品牌共享单车在乙大学更受欢迎． （3）2520人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，求中位数，平均数，用样本估计总体等等： （1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b，先求出乙大学A等级的人数，进而求出C等级的人数即可求出m； （2）根据乙大学的众数和中位数都比甲大学的高即可得到答案； （3）用7200乘以样本中的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵甲大学10名学生满意度得分为88分的人数最多， ∴甲大学10名学生满意度得分的众数 ， 乙大学10名学生满意度得分在A等级的人数为 人，则C等级有 人， ∴ ， ∴ ； 把乙大学10名学生满意度得分从低到高排列，处在第5名和第6名的得分分别为88分，89分， ∴乙大学10名学生满意度得分的中位数 ， 故答案为：88； ；10； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 人， ∴估计喜爱该品牌共享单车的学生有2520人． 22. 某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材． （1）该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？ （2）由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的 倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？ 【答案】（1）学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶 （2）学校购买食醋40瓶 【解析】 【分析】（1）设学校购买了酱油x瓶，食醋y瓶，由题意得：，解方程组即可． （2）设学校购买食醋m瓶，则购买酱油瓶，由题意得：， 解方程即可． 本题考查了方程组应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设学校购买了酱油x瓶，食醋y瓶， 由题意得： 解得：， 答：学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶． 【小问2详解】 解：设学校购买食醋m瓶，则购买酱油瓶， 由题意得：， 解得： ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， 答：学校购买食醋40瓶． 23. 如图1，在等腰中， 于点D，， ．动点E，F同时从点C出发，点E以每秒1个单位的速度沿线段 运动，点F以每秒个单位的速度沿折线运动．当点E到达点B时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积记为，的长度记为． （1）请直接写出关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）如图2，平面直角坐标系中已给出函数的图象，请在该坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，估计当时t的近似值．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2）图见解析，函数的性质：函数有最大值，最大值为3 （3）和 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，函数的图象，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题． （1）分两种情况，即 在点 的左边或右边两种情况，根据题意可得相似三角形，再利用相似三角形性质求得的长，即可解答； （2）根据描点法画出图象即可，再根据图象写出的一条性质； （3）根据图象得到的解析式，根据题意列方程即可解答． 【小问1详解】 解： 是等腰三角形， , ， ， 在中，， 当 在点 的右边时，如下图，此时， ， ， ， ， ， ，即， ； 当 在点 的左边时，此时， ， ， ， ， ， ，即， ； 综上所述，； 【小问2详解】 解：的图象如图所示：     函数的性质：函数有最大值，最大值为 ； 【小问3详解】 由（1）得：当时，，当时，， 当时，，把代入可得，解得, ∴当时，， 当时，，把，代入可得，解得, ∴当时，， 可得方程和， 分别解得和， 当时t的近似值为和． 24. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西 方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：） （1）求 的长度； （2）骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 【答案】（1）米 （2）骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理： （1）如图所示，过点K作于H，由题意得，，则，先解得到米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先解得到米，米，进而分别计算出两条路线的时间即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点K作于H， 由题意得，， ∴ 在中，米， 米， 在中，由勾股定理得米， ∴米； 【小问2详解】 解：在中，米， 米， ∴米， ∴路线②的时间为分钟； ∵米， ∴路线①的时间为分钟， ∵， ∴骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点M为线段（不含端点O，C）上一点，连接并延长交抛物线于点P，连接， ，当面积最大时，求点M的坐标及面积的最大值； （3）如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接 ，，过点B作交新抛物线于点H，连接 ．在新抛物线上确定一点N，使得，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1） （2），的面积有最大值 （3）N点坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作 轴交于点，设，则，，当时，的面积有最大值，此时，求出直线 的解析式为，即可求； （3）求出平移后的函数解析式为，再分别求出直线的解析式为，直线的解析式为，，过点作轴的垂线与的延长线交于 点，与轴交于 点，过点作交于 点，过点 作轴的平行线 ，过点作交于 点，推导出，先求，再由，得到，根据，推导出，当点在 点上方时，，设，求出；当点在 点下方时，设与直线交于 点，过点作交于点，求出，则，利用等积法求，可得，设，求出点，则直线的解析式为，设点关于直线的对称点为，根据，求出，则直线的解析式为，直线与抛物线的交点为． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， ， ， ， 将 、 、 三点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 过点作 轴交于点，如图1， 设，则， ， ， 当时，的面积有最大值，此时， 设直线 的解析式为， ， 解得， 直线 的解析式为， ； 【小问3详解】 解：设抛物线沿轴正半轴方向平移个单位，则沿轴正方形平移 个单位， 平移后的函数解析式为， 经过点 ， ， 解得（舍或， 平移后的函数解析式为， 当 时，， 解得 或， ， 是顶点， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 当时，解得或 ， ， 过点作轴的垂线与的延长线交于 点，与轴交于 点，过点作交于 点，过点 作轴的平行线 ，过点作交于 点，如图2， 直线与轴的交点 ， ， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点在 点上方时， ， ， ， ， ， 设， ， 解得（舍或， ∴； 当点在 点下方时，设与直线交于 点，过点作交于点， ∴， ， ， ， ， ， 设， ， 解得， ∴， 直线的解析式为， 设点关于直线的对称点为， ， ， 解得或（舍， ∴， 直线的解析式为， 当时，解得或（舍； ∴； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象平移，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，准确地计算是解题的关键．本题词属二次函数综合题目，难度较大． 26. 是等边三角形，点D为线段 上任意一点，连接 ，E为直线上一点， （1）如图1，当点D为 中点时，点E在边上，连接 ，若，，求 的长； （2）如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为 延长线一点，且，猜想线段 ，， 之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（1）的条件下，M为线段 上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，当的值最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）， 理由为： 在 上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ，又 ， ∴， ∴ ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作 于F，根据等边三角形的性质得到 ，，利用锐角三角函数求得 、、 ，进而求得 ，然后利用勾股定理求解即可； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质分别证明和得到 即可得出结论； （3）在上截取，连接，则是等边三角形，证明得到，，进而 ，则点N在过点G且垂直于的直线l上运动，作点B关于直线l的对称点，连接 交直线l于N，交 于H，连接交直线l于O，此时的值最小，设直线l与 相交于K，连接 ，利用锐角三角函数求得，，，证明是等边三角形和 ，进而求得，，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：过点E作 于F，如图， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，点D为中点， ∴ ，， ∴，，， 在 中，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上截取，连接，交于 ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即 ， ∴点N在过点G且垂直于的直线l上运动， 作点B关于直线l的对称点，连接 交直线l于N，交 于H，连接交直线l于O，则，，，此时的值最小， 设直线l与 相交于K，连接 ， ∵，，， ∴，，， ∴，又， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、旋转性质、等腰三角形的性质、利用轴对称求最短路径问题等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识与联系，并添加辅助线构造等边三角形和全等三角形是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $