江苏省2025年九年级中考数学一轮复习讲义——圆

一轮复习——圆 　1轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　2..垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 特别说明： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 与圆有关的角 　　1.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 　　2.圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 3.点圆最值 ①（点圆距离）圆外一点P，连接PO与圆交于A、B两点，则PA为P到圆上最长距离；PB为P到圆上最短距离. ②CH⊥AB时，C点到AB的距离CH为圆上点到AB的最大距离. 三角形的内心、外心 （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 与圆有关的性质 1. （2024·江苏徐州·一模）如图，是的内接三角形，若，，则的半径长为(    ) A．4 B． C．2 D．1 2. （2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点，，在圆上，，的半径的长为，则劣弧的长是（   ） A． B． C． D． 3. （2023·江苏·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ． 4. （2022·江苏南京·中考真题）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ． 5. （2023·江苏宿迁·二模）如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（   ）    A． B． C． D． 6. （2023•无锡中考真题）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB＝AD，若∠C＝20°，则∠OAB等于（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 7. （2023•扬州三模）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别剪出扇形ABC和⊙O，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点O在BD上，则BO的最大值是（　　） A． B． C． D． 8. （2023•鼓楼区校级三模）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（　　） A． B．π C．2π D．4 π 9. （2023•连云港中考真题）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20 10. （2023•苏州中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若，则tan∠ACO的值为（　　） A． B． C． D． 与圆有关的位置 1. （2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 2. （2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．    3. （2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径长．    4. （2023·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，求的长．    5. （2024·江苏盐城·一模）如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6. （2023·江苏宿迁·二模）如图，将沿弦折叠，交直径于点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 7. （2023·江苏·中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．    与圆有关的计算 1. （2024·江苏无锡·一模）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积． 如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（    ） A．1 B． C．3 D．4 2. （2023·江苏徐州·中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为 ．    3. （2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4. （2024·江苏苏州·一模）如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ． 5. （2024·江苏南京·模拟预测）如图，是的外接圆，为的直径，点为弧中点，连接，作的平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求弧、线段围成的阴影部分面积； 6. （2024·江苏淮安·模拟预测）如图，为半圆的直径，是的一条弦，为弧的中点，作，交的延长线于点，连接． (1)求证：为半圆的切线； (2)若，求阴影区域的面积．（结果保留根号和） 7. （2024·江苏南通·一模）如图，点在半径为8的上，过点作的切线，交的延长线于点．连接，且． (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． 8. （2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．    从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积． 9. （2023·江苏镇江·中考真题）如图，将矩形沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．(1)求证：．(2)当，时，求的长．    10. （2023·江苏泰州·中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．    知识回顾(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，． ①求的度数；②若的半径为5，，求的长； 逆向思考(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——圆 　1轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　2..垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 特别说明： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 与圆有关的角 　　1.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 　　2.圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 　　 　圆周角的性质： 　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 3.点圆最值 ①（点圆距离）圆外一点P，连接PO与圆交于A、B两点，则PA为P到圆上最长距离；PB为P到圆上最短距离. ②CH⊥AB时，C点到AB的距离CH为圆上点到AB的最大距离. 三角形的内心、外心 （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 与圆有关的性质 1. （2024·江苏徐州·一模）如图，是的内接三角形，若，，则的半径长为(    ) A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，连接，过点作于点，则 ，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵，∴， ∴，∴，故选：C． 2. （2024·江苏苏州·一模）如图，在中，点，，在圆上，，的半径的长为，则劣弧的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理和弧长公式，根据圆周角定理求出度数，再利用弧长公式计算即可，熟练掌握圆周角定理和弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，∴，∴劣弧的长是，故选：． 3. （2023·江苏·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】120 【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，∴，∵，∴，∴， ∵四边形是的内接四边形，∴，故答案为：120． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 4. （2022·江苏南京·中考真题）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ． 【答案】/72度 【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出，再根据平角的定义求解． 【详解】解：如图，延长到H， 四边形内接于，， ，，，的度数之比为， ，，，的度数之比为， ，， ．故答案为：． 【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度． 5. （2023·江苏宿迁·二模）如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和圆的内接四边形性质，根据题意列出关系式化简即可． 【详解】解：在中，，在中，， ∵四边形为圆的内接四边形，∴，， 则，故选：C． 6. （2023•无锡中考真题）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB＝AD，若∠C＝20°，则∠OAB等于（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 解：∵AB与⊙O相切于点B， ∴AB⊥OB， ∴∠OBA＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C＝20°， ∴∠ABD＝∠OBA﹣∠OBC＝90°﹣20°＝70°， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝70°， ∴∠OAB＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故选：C． 7. （2023•扬州三模）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别剪出扇形ABC和⊙O，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点O在BD上，则BO的最大值是（　　） A． B． C． D． 解：连接AC交BD于P点，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，PB＝PD，∠ABP＝∠ABC＝30°，AB∥DC， ∴PA＝AB＝3，∠CDB＝∠ABD＝30°， ∴BP＝AP＝3， ∴BD＝2BP＝6， 设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得2πr＝，解得r＝1， 当⊙O与DA、DC相切时，BO的值最大， 过O点作OH⊥DC于H，如图，则OH＝1， ∴OD＝2OH＝2， ∴BO＝BD﹣OD＝6﹣2， 即BO的最大值是6﹣2． 故选：B． 8. （2023•鼓楼区校级三模）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（　　） A． B．π C．2π D．4 π 解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接AC，如图， ∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O， ∴ED＝EO， ∴OE＝OB， ∵OD⊥BC， ∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝AC＝3． 故选：A． 9. （2023•连云港中考真题）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20 解：如图，连接BD，则BD过点O， 在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5， ∴BD2＝AB2+AD2＝41， S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆 ＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2 ＝+20﹣ ＝20， 故选：D． 10. （2023•苏州中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若，则tan∠ACO的值为（　　） A． B． C． D． 解：如图，过C作CH⊥AO于H， ∵， ∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO， ∵，即， ∴， ∵∠A＝∠BOE， ∴tan∠A＝tan∠BOE， ∴，即， 设AH＝2m，则BO＝3m＝AO＝CO， ∴OH＝3m﹣2m＝m， ∴CH＝， ∴tan∠A＝＝， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴tan∠ACO＝； 故选A． 与圆有关的位置 1. （2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，，， 当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键． 2. （2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．    【答案】66 【分析】连接，则有，然后可得，则，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵是的直径，且是的切线，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴；故答案为：66． 【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角、弧之间的关系，熟练掌握切线的性质、圆周角、弧之间的关系是解题的关键． 3. （2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径长．    【答案】(1)见解析(2)的半径长为． 【分析】（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；（2）设，则，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如下图所示，    ∵是的平分线，∴，又∵，∴，∴， ∴，∴，即，又∵过半径的外端点B，∴与相切； （2）解：设，则， ∵在中，，，，∴， ∵，∴，∴，即，解得．故的半径长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 4. （2023·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，求的长．    【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)6 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切；（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：连接，则：，    ∵，即：，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵为的半径，∴直线与相切； （2）解：∵，的半径为3，∴， ∴，∴，∵，∴， 设：，则：，∴，∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 5. （2024·江苏盐城·一模）如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质，得，根据圆周角定理求出，，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接，四边形内接于， ，， 是的直径，，， ∵，故选：D．    6. （2023·江苏宿迁·二模）如图，将沿弦折叠，交直径于点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质．由沿弦折叠知，弧与弧相等，得到，由外角公式知，得，可知是等腰三角形，再证得，可求出，进而能求． 【详解】如图，连接，过点作于． 沿弦折叠弧与弧相等 是直径即 即 ．故选：B． 7. （2023·江苏·中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．    【答案】 【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，       ∵正六边形对边互相平行，且内角为，∴ 过点作于，∴ 设正六边形的边长为1，则，，∴故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 与圆有关的计算 1. （2024·江苏无锡·一模）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积． 如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题关键．过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ，，， 这个圆的内接正十二边形的面积为，故选：C 2. （2023·江苏徐州·中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径r为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r． 【详解】解：由题意得：母线长l为，，，∴，故答案为：2． 3. （2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可． 【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D， ∵∠AOB=2×=60°，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1， ∴OD=，∴阴影部分的面积为，故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键． 4. （2024·江苏苏州·一模）如图，正方形的边长为1，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式和三角形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，则在等腰中，由勾股定理可得， 由正方形性质可知，，阴影部分的面积，故答案为：． 【点睛】本题考查求不规则图形面积，涉及扇形面积公式、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握扇形面积公式和正方形性质的应用，由等腰直角三角形求出是解题关键． 5. （2024·江苏南京·模拟预测）如图，是的外接圆，为的直径，点为弧中点，连接，作的平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求弧、线段围成的阴影部分面积； 【答案】(1)见详解 (2)1 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，然后证明得到； （2）连接、，如图，根据垂径定理得到，则利用和都为等腰直角三角形，所以，再根据切线的性质得到，接着证明为等腰直角三角形得到，然后根据扇形的面积公式，利用弧、线段、围成的阴影部分面积进行计算． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和扇形的面积公式． 【详解】（1）证明：为的直径， ， 点为弧中点， ， ， 平分， ， ，， ， ； （2）解：连接、，如图， 点为弧中点， ， ∴和都为等腰直角三角形， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 弧、线段、围成的阴影部分面积． 6. （2024·江苏淮安·模拟预测）如图，为半圆的直径，是的一条弦，为弧的中点，作，交的延长线于点，连接． (1)求证：为半圆的切线； (2)若，求阴影区域的面积．（结果保留根号和） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明，则，根据平行线的性质证明，然后利用切线的判定定理可证得结论； （2）先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，进而求得，，利用扇形面积公式和求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又是的半径， ∴为半圆的切线； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴，则， ∵， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形、扇形面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是解答的关键． 7. （2024·江苏南通·一模）如图，点在半径为8的上，过点作的切线，交的延长线于点．连接，且． (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，求不规则图形面积，解直角三角形等等： （1）由圆周角定理得到，进而可得，由切线的性质可得，据此可满足； （2）先解直角三角形求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接OD， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵是的切线， ∴， ∴． （2）解；在中，， ∴， ∴． 8. （2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．    从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）（2） 【分析】（1）一：已知条件为②，结论为①与相切；连接，先证出，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①与相切，结论为②；连接，先证出，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的性质即可得证；（2）连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定与性质可得的长，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：（1）一：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下：如图，连接， ，， 弦平分，，，， ，，又是的半径，与相切； 二：已知条件为①与相切，结论为②，证明如下： 如图，连接，  ，， 弦平分，，，， 与相切，，； （2）如图，连接，  ，， ，， ， 又，，是等边三角形， ，，由圆周角定理得：， 则阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． 9. （2023·江苏镇江·中考真题）如图，将矩形沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点．(1)求证：．(2)当，时，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，由矩形的性质得，再由直角三角形两锐角互余得，根据对顶角相等和同圆的半径相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角对等边得出结论；（2）由锐角三角函数得，，得，由翻折得，由得，再由矩形对边相等得，最后在中解直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接．    ∵与相切于点E，∴，∴． ∵四边形是矩形，∴，∴． ∵，∴．∵，∴，∴． （2）解：在中，，，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形，∴，在中，， ∴． 【点睛】本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形的性质、切线的性质、翻折的有关性质、锐角三角函数的定义，正确作出辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键． 10. （2023·江苏泰州·中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．    知识回顾(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，． ①求的度数；②若的半径为5，，求的长； 逆向思考(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【答案】(1)①；②；(2)见解析；(3)见解析 【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形； （2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可； （3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等． 【详解】（1）解：①，，，． ②连接，过作，垂足为，    ，，是等腰直角三角形，且， ，，是等腰直角三角形，， 在直角三角形中，，． （2）证明：延长交圆于点，则， ，，，，， ，，为该圆的圆心． （3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，   ，，是等腰直角三角形，， ，，，是直径，， ，，，， ，，必有一个点的位置始终不变，点即为所求． 【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$