精品解析：浙江省杭州市拱墅区启正中学2024-2025学年七年级下学期开学考试题数学试卷

启正中学2024学年第二学期 期初课堂练习 七年级数学学科 试题卷 一、选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1. 2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 最新数据显示， 截至2024年8月底，全国脱贫人口务工就业总规模达到了约32950000人，这个数字代表了人们的生计改善．请将这个数字用科学记数法表示是（ ） A B. C. D. 3. 下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于，下列说法不正确的是（ ） A. 它是一个无理数 B. 它可以用数轴上的一个点来表示 C. 它可以表示体积为6的正方体的棱长 D. 若，则 6. 若互为余角，且，则的补角是（ ） A. B. C. D. 7. m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（ ） A. 1 B. C. 5 D. 14 8. 现有m辆客车、n个人．若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车：若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车据此列出下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是( ) A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 9. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点M在线段AN延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11. 化简：_____． 12. 若与的和是单项式，则的算术平方根是_________． 13. 已知是关于，的方程组的解，则关于的方程的解是_____． 14. 一个角的余角的 3 倍比它的补角的 2 倍少 110°，则这个角的度数为_____. 15. 甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为_____． 16. 如图，大长方形是由一个长方形①，两个完全相同的长方形②及三个正方形，，无缝拼接组成，若长方形①，②的周长之比为，则正方形，的面积之比为____________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程（组）： （1）（结果用度分秒表示） （2）． 18. 计算 （1） （2） 19. 已知2的平方等于，是27的立方根，士表示3的平方根，求的值. 20. 已知：． （1）当时，求的值； （2）用含的代数式表示； （3）若的值与无关，求的值． 21. 某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ▄ 第三次 5 4 160 （1）表格中被污渍盖住的数是______． （2）请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ （3）请你通过计算说明所有可行的运输方案． 22. 阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}；{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合称为条件集合．例如；{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素所以{3，﹣2}是条件集合：例如；（﹣2，9，8，}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8，}是条件集合． （1）集合{﹣4，12}是否是条件集合？ （2）集合{，﹣，}是否是条件集合？ （3）若集合{8，n}和{m}都是条件集合．求m、n的值． 23. 阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： （1）运用换元法解求关于，的方程组：的解； （2）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． （3）已知、、，满足，试求值． 24. 定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， （1）如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数； （2）如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系； （3）已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 启正中学2024学年第二学期 期初课堂练习 七年级数学学科 试题卷 一、选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1. 2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟知知识点是解决本题的关键．根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，根据定义即可求解． 【详解】解：根据倒数的定义得2025的倒数为， 故选：D． 2. 最新数据显示， 截至2024年8月底，全国脱贫人口务工就业总规模达到了约32950000人，这个数字代表了人们生计改善．请将这个数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据代数式的书写规则判断各项． 【详解】解：A．不符合代数式书写规则，应改为，故此选项不符合题意； B．不符合代数式书写规则，应该为，故此选项不符合题意； C．符合代数式书写规则，故此选项符合题意； D．不符合代数式书写规则，应该为，故此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】此题考查代数式的书写，解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算、合并同类项．根据相关运算法则逐项求解判断即可． 详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 5. 关于，下列说法不正确的是（ ） A. 它是一个无理数 B. 它可以用数轴上的一个点来表示 C. 它可以表示体积为6的正方体的棱长 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数和立方根的概念估算立方根的大小及正方体体积与棱长之间的关系对四个选项逐一进行判断． 【详解】解：因为不能完全开立方，所以是无理数，故A选项正确； 因为是一个实数，实数与数轴上的点一一对应，故B选项正确； 因为正方体的体积等于棱长的立方，，故C选项正确； 因为，即，故D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查立方根的概念及相关的计算、无理数的概念、数轴，注意：实数与数轴上的点是一一对应的． 6. 若互为余角，且，则的补角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为 互为余角，且 ， 要求 的补角，可先将 用 来表示，然后将的补角 中的 用 代替， 即可解出此题； 【详解】设 的补角为 依题意得： 则 即 又 ∵ 故选 C 【点睛】此题考查的是角的性质, 两角互余和为 ，互补和为 ，运用换元的思想来解题 7. m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（ ） A. 1 B. C. 5 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到，得到，求得，再得到，进一步计算即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 8. 现有m辆客车、n个人．若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车：若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车据此列出下列四个等式：①；②；③；④．其中正确的是( ) A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识， 首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案，解题的关键是能够根据不同的等量关系列方程． 【详解】解：根据总人数列方程，应是， 则④正确，①错误， 根据客车数列方程，应该为， 则③正确，②错误， 则正确的是③，④， 故选：D． 9. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．本题考查了实数与数轴，数的运算，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a＜b＜0＜c＜d是解题关键． 【详解】解：∵，且根据点在数轴上的位置可知，， A、∵， ∴， 故选项错误，不符合题意； B、由点在数轴上的位置可知，，， ∴， 故选项正确符合题意； C、∵，， ∴， 故选项错误，不符合题意； D、∵， ∴， 故选项错误，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值. 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 根据规律得到， ∴，故选A. 【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难. 二、填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项．把同类项得系数相加，字母和字母的指数不变，据此进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 若与的和是单项式，则的算术平方根是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据同类项的定义解得的值，即可求得的值，然后求其算术平方根即可． 【详解】解：若与的和是单项式，即与为同类项， 则有， ∴， ∵， ∴的算术平方根是4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 13. 已知是关于，的方程组的解，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解一元一次方程，把代入关于，的方程组，求出、的值，再将、的值代入一元一次方程，解方程求出的值，即可． 【详解】解：∵是关于，的方程组的解， 故将代入方程组，得出， 解得：， 将，代入方程，得， 解得：． 故答案为：． 14. 一个角的余角的 3 倍比它的补角的 2 倍少 110°，则这个角的度数为_____. 【答案】20° 【解析】 【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．结合已知条件列方程求解． 【详解】解：设这个角是x°，根据题意，得 3（90-x）=2（180-x）-110， 解得x=20． 即这个角的度数为20°． 故答案为20°． 【点睛】此题考查了余角和补角的知识，以及解一元一次方程属于基础题，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°． 15. 甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，如果甲比乙先走，那么他们在乙出发后相遇；如果乙比甲先走，那么他们在甲出发后相遇，则甲、乙两人的速度比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据A，B两地路程不变列方程求解即可． 【详解】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： ， 解得：，即， 故答案为：． 16. 如图，大长方形是由一个长方形①，两个完全相同的长方形②及三个正方形，，无缝拼接组成，若长方形①，②的周长之比为，则正方形，的面积之比为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比的应用，整式的加减法，列代数式，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据图形分别得出长方形①、②的长和宽，再根据长方形①、②的周长之比，得到，即可求出正方形、的面积之比． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 长方形②的宽为，长为 ，正方形的边长为； 长方形①的长为，宽为 ， 长方形①、②的周长之比为， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17 解下列方程（组）： （1）（结果用度分秒表示） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算，含乘方的有理数混合运算，求算术平方根，求立方根等．熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行度分秒的换算，再计算即可； （2）先计算有理数的乘方、平方根、立方根，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 计算 （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和解二元一次方程组． （1）按照去分母，去括号，移项，合并的步骤求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得； 【小问2详解】 解：， 把得， 解得， 把代入到②得：， 解得， ∴方程组的解为． 19. 已知2的平方等于，是27的立方根，士表示3的平方根，求的值. 【答案】11. 【解析】 【分析】由题意分别算出a、b、c的值,再代入代数式求解即可. 【详解】解：由题意知， ，， ，， 所以. 【点睛】本题考查代数式求解,关键在于读题获取信息,熟练掌握基础运算. 20. 已知：． （1）当时，求的值； （2）用含的代数式表示； （3）若的值与无关，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）， 【解析】 【分析】（1）直接把，代入，求值即可； （2）先把、表示的代数式代入，然后去括号，合并同类项； （3）根据代数式的值与无关，得到关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 当时， ， ， ， ， 【小问2详解】 ， ， ， ， 【小问3详解】 ∵的值与无关， ∴， 则． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则、理解值与无关的含义是解决本题的关键． 21. 某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ▄ 第三次 5 4 160 （1）表格中被污渍盖住的数是______． （2）请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ （3）请你通过计算说明所有可行的运输方案． 【答案】（1）540 （2）A货车每辆每次可以运货20吨， B货车每辆每次可以运货15吨 （3）①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆 【解析】 【分析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据（1）知，运送防疫物资A种货车每辆每次20吨，B种货车每辆每次15吨； （3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到20m+15n=190，当m=2时，n=10；当m=5时，n=6；当m=8时，n=2．共三种运输方案． 【小问1详解】 设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨， 则根据题意，得， 解得， （吨）； 故答案为：540； 【小问2详解】 由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨； 【小问3详解】 设A、B两种货车各需要m辆、n辆， 则20m+15n=190, ∴， ①当m=2时，n=10； ②当m=5时，n=6； ③当m=8时，n=2． ∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练掌握每种车运输总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答． 22. 阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}；{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合称为条件集合．例如；{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素所以{3，﹣2}是条件集合：例如；（﹣2，9，8，}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8，}是条件集合． （1）集合{﹣4，12}否是条件集合？ （2）集合{，﹣，}是否是条件集合？ （3）若集合{8，n}和{m}都是条件集合．求m、n的值． 【答案】（1）集合{﹣4，12}是条件集合；（2）是条件集合；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）依据一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得-2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，即可得到结论； （2）依据一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得-2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，即可得到结论； （3）分情况讨论：当-2×8+4=n，解得：n=-12；当-2n+4=8，解得：n=-2；当-2n+4=n，解得：n=；当-2m+4=m，解得：m=． 【详解】（1）∵﹣2×（﹣4）+4＝12， ∴集合{﹣4，12}是条件集合； （2）∵， ∴{}是条件集合； （3）∵集合{8，n}和{m}都是条件集合， ∴当﹣2×8+4＝n，解得：n＝﹣12； 当﹣2n+4＝8，解得：n＝﹣2； 当﹣2n+4＝n，解得：n＝； 当﹣2m+4＝m，解得：m＝． 【点睛】考查了有理数的运算，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得-2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合． 23. 阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： （1）运用换元法解求关于，的方程组：的解； （2）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． （3）已知、、，满足，试求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； （3）仿照题意将方程①变形为，然后把将方程②代入③得到关于z的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：设，则方程化为：， 即， 解得； 【小问3详解】 解：将方程①，变形为， 将方程②代入③得：，解得． 【点睛】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． 24. 定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， （1）如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数； （2）如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系； （3）已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）∠BOE＝30° （2）∠BOC＋∠BOE＝90° （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE＝∠BOC，根据题意得到∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°，于是得到结论； （2）根据角和差即可得到结论； （3）如图3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE，如图4，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，于是得到结论． 【小问1详解】 解：∵OE是∠BOC的角平分线， ∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC， ∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠BOE＝30°； 【小问2详解】 ∵∠BOC是∠AOE的差余角， ∴∠AOE−∠BOC＝∠AOC＋∠COE−∠COE−∠BOE＝∠AOC−∠BOE＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＋∠BOE＝90°； 【小问3详解】 是定值2， 理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）； 如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE， ∵∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−（90°＋∠COE）＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）， 综上所述，为定值． 【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$