精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高三下学期开学数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列举法表示集合，再求. 【详解】，，∴. 故选：D 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设（），代入已知等式，再根据复数模的计算公式求出的值. 【详解】设（），已知，则. 根据复数模的性质，对两边取模可得，即. 因为，所以，又，则. 由，且，可得，即 故选：B. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 5 C. 2 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得向量的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，可得答案. 【详解】，， . 故选：A. 4. 关于椭圆C：，有以下四个命题.甲：长轴长为10.乙：短轴长为8.丙：离心率为.丁：C上的点到其左焦点的距离的最大值为8.若只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出甲乙丙丁得到的结论，再结合只有一个“假命题”这个条件判定. 【详解】依题意，甲：，乙：，丙：=，丁：.可知甲、乙、丁为真命题，丙为假命题. 故选：C. 5. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球冠如图，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积. 【详解】由题意得圆柱的底面圆直径为，半径为，即球冠底面圆半径为. 已知该灯笼的高为，圆柱的高为，所以该灯笼去掉圆柱部分的高为， 所以，得，， 所以两个球冠的表面积之和为， 灯笼中间球面的表面积为． 因为上下两个圆柱的侧面积之和为， 所以围成该灯笼所需布料的面积为． 故选：B． 6. 泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布.若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台共有2个乘客候车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助所给泊松分布的概率分布列计算可得，再计算出及即可得 【详解】由题可知，即，解得， 则，，， 故两个站台共有2个乘客候车的概率为. 故选：D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意构造函数，利用导数研究其单调性，代入对应值，可得答案. 【详解】令，则，当时，，单调递减， 因为，所以，，即，故. 故选：C. 8. 在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作，垂足为G，连接，得出为平面与平面所成的锐二面角，知当最大时，最小即可求解． 【详解】如图， 平面平面，过点D作，垂足为G，连接， 则即为平面与平面所成的锐二面角，， 当最大时，最小，不妨设， 因为， 所以， ， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. AC与SB所成的角为 C. AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角 D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判定判断AB；利用线线角的定义推理判断CD. 【详解】对于A，由平面，平面，得， 由正方形，得，而平面， 则平面，又平面，因此，A正确； 对于B，由选项A知，，而平面， 则平面，又平面，因此，AC与SB所成的角为，B正确； 对于C，由A同理可得由，得AD与SB所成的角为， CD与SB所成的角为， 所以，则AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角，C正确； 对于D，，，则，DC与SA所成的角为， 而AB与SC所成的角为，则AB与SC所成的角不等于DC与SA所成的角，D错误. 故选：ABC 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指对互化规则，对数的运算法则以及换底公式来逐一分析选项. 【详解】对于A选项,已知，，根据对数与指数的关系，可得，. 则，所以A选项错误. 对于B选项，. 根据对数与指数的关系，，所以B选项正确. 对于C选项，，所以C选项正确. 对于D选项，，所以D选项正确. 故选：BCD. 11. 已知是R上的奇函数，，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过对给定等式分别令，不同值，求出特定点的函数值.接着构造新函数，依据已知条件推导其奇偶性、对称性与周期性，再利用这些性质计算在特定值处的函数值，进而得出在相应值处的函数值，以此判断各选项正误. 【详解】令，可得，所以，A项正确； 令，可得，因为，所以，B项正确； 设，则为R上的奇函数，又因为 所以， 则，所以的图象关于直线对称， 因为，所以一个周期8， 因为，所以，C项正确； 因为，则，D项错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，第四项的系数与第三项的二项式系数之和为__. 【答案】 【解析】 【分析】求出的展开式的通项即可求解. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以第四项的系数为，第三项的二项式系数为， 故在的展开式中，第四项的系数与第三项的二项式系数之和为. 故答案：. 13. 写出满足圆心在直线上，半径为，且被x轴截得的弦长为2的圆的标准方程：____，___. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先设出圆的标准方程，再根据圆心在直线上、半径为以及圆被轴截得的弦长为这些条件列出方程，进而求出圆心坐标，最后得到圆的标准方程. 【详解】设圆的标准方程为（其中为圆心坐标，为半径）. 已知半径，则圆的方程为. 因为圆心在直线上，所以将圆心坐标代入直线方程可得. 令，则，即. 解得，那么圆与轴两交点的坐标分别为，. 所以圆被轴截得的弦长为. 已知圆被轴截得的弦长为，则，解得. 当时，因为，所以，解得. 此时圆的标准方程为. 当时，因为，所以，解得. 此时圆的标准方程为. 故答案为：；. 14. 已知函数的部分图象如图所示，,则___ . 【答案】 【解析】 【分析】根据图像得到，代入让其等于正弦取最大值时自变量的值， 求出参数的可能取值，再根据函数的周期取得参数的范围，即可求得函数解析式， 再代入求解即可得到结果. 【详解】因为,结合图象可知,所以， 解得.由图象可知，可得， 所以，故，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）利用的前项和与的关系求解； （2）利用裂项相消法以及等比数列的求和公式，由分组求和即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， ， 两式相减得，即， 当时，也符合上式，故. 【小问2详解】 因为， 所以 . 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）证明：，，成等差数列． （2）若，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合所给方程，即可证明结论； （2）利用正弦定理结合（1）中结论求出与的关系，结合余弦定理及平方关系即可求出的值． 【小问1详解】 因为， 所以， 又由余弦定理可得， 整理得， 所以，，成等差数列； 【小问2详解】 因为，所以． 又因为，所以，即． 由余弦定理可得， ． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别在棱，上，且，过点的平面平面，平面. （1）求； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由图形的几何性质构建平行四边形，可得平面在图中标出，利用全等三角形与勾股定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线方向向量与平面法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 在上取点M，使得，连接， 延长至点N，使得，连接，，则平面与平面重合. 理由如下： 因为，且，所以四边形是平行四边形，，同理可得， 因为平面，平面，所以平面， 因，平面，所以平面平面， 又平面过点，且平面平面， 所以平面与平面重合，则F为与的交点. 又易知≌，所以，即F为的中点， 所以. 【小问2详解】 因为在直三棱柱中，，所以，，两两垂直. 分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 即，令，得. 设直线BF与平面BDE所成的角为θ， 则==， 所以直线BF与平面BDE所成角的正弦值为. 18. 已知双曲线C： 的右焦点为，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点.当轴时，. （1）若A点坐标为，B点坐标为，证明：. （2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值?若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在定点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）易得=，再由求得双曲线方程，再分轴和直线l的斜率存在由求解； （2）设点M的坐标为，，由轴和轴，求得，，再由l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理验证即可. 【小问1详解】 由已知可得，且 ， 又 ，解得， 所以双曲线C的方程为. 当轴时，直线l的方程为，则， 成立； 当直线l的斜率存在时，， 整理得. 综上所述，成立. 【小问2详解】 如图所示： 设点M的坐标为，， 当轴时，直线l的方程为，不妨设，， 则. 当轴时，直线l的方程为，代入，得， 不妨设，则， 令，得， 当l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为， 代入，得， A点坐标为，B点坐标为， 由韦达定理得， 对于，则， ， ， 综上：对于定点，使得为定值. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线中的定点、定值问题，可通过特殊位置得到该点（值），再论证一般性成立. 19. 已知函数，. （1）若曲线与曲线在处的切线平行，求实数的值； （2）定义 ，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求得斜率，构造等式求解即可； （2）先确定，再对求导，通过，，三类情况讨论单调性，确定极值，从而判断零点个数即可求解； 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以， 解得. 【小问2详解】 令，解得，易知在R上单调递增. 当时，，由，得， 此时函数有三个零点，符合题意. 当时，.由，得或， 则在，上单调递增，在上单调递减， 因为，若函数有三个零点，则， 解得. 当时，.由，得或， (ⅰ)当，即时，则在，上单调递减，在上单调递增， 因为，，此时函数没有零点，不符合题意； (ⅱ)当，即时，因为在上单调递减，且，此时函数无零点，不符合题意； (ⅲ)当，即时，在，上单调递减，在上单调递增. ①若，则函数至多有两个零点，不符合题意； ②若，则， 此时， 此时函数有三个零点，符合题意； ③若，得，， 记，因为，，单调递增； 所以，此时函数有四个零点，不符合题意. 综上所述，满足条件的实数a的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：(ⅲ)当，通过讨论，，三类情况确定零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 5 C. 2 D. 10 4. 关于椭圆C：，有以下四个命题.甲：长轴长为10.乙：短轴长为8.丙：离心率为.丁：C上的点到其左焦点的距离的最大值为8.若只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球冠如图，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布.若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台共有2个乘客候车的概率为（ ） A B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. AC与SB所成的角为 C. AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角 D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是R上的奇函数，，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在展开式中，第四项的系数与第三项的二项式系数之和为__. 13. 写出满足圆心在直线上，半径为，且被x轴截得的弦长为2的圆的标准方程：____，___. 14. 已知函数的部分图象如图所示，,则___ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求通项公式； （2）若，求数列前项和. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）证明：，，成等差数列． （2）若，求． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别在棱，上，且，过点的平面平面，平面. （1）求； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线C： 的右焦点为，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点.当轴时，. （1）若A点坐标，B点坐标为，证明：. （2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值?若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，. （1）若曲线与曲线在处的切线平行，求实数的值； （2）定义 ，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$