精品解析：山东省滨州市无棣县2024-2025学年上学期期末学业水平检测八年级数学试题

2024-2025学年第一学期期末学业检测 八年级数学试题（gt） 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共6页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分30分） 1. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 2. 如图:，欲证，则可增加的条件是（ ）． A. B. C. D. 3. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 4. 如图，在六边形ABCDEF中，∠A+∠F+∠E+∠D =，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P度数为（        ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C D. 6. 一次函数的图象经过一、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，中，，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ） A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（每小题3分，共计18分） 11. 分解因式：_____． 12. 在中，，，，则___________． 13. 已知一次函数和的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 14. 如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，则________ 15. 如图，在是的平分线，于点E，．则的面积大小为___________． 16. 观察下列等式： ＝1+﹣＝1， ＝1+﹣＝1， ＝1+﹣＝1， … 请你根据以上规律，写出第n个等式_____． 三、解答题（共计72分） 17. （1）计算： （2）解方程： （3）已知，，则的值． 18 （1）先化简，再求值：，其中 （2）已知，按要求完成下列画图．用尺规作的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹并写出结论） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程两个实数根为，且，求的值． 20. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七、八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩的频数分布直方图如下， （数据分为4组：，，，）． b．八年级学生测试成绩在这一组的是：81 83 84 84 84 86 89 c．七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______，八年级学生测试成绩在这一组的众数是______； （2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是______（填“小亮”或“小宇”）； （3）成绩不低于80分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像过点，，点B关于x轴的对称点为C． （1）求这个一次函数的表达式； （2）点D为x轴上任意一点，求线段AD与线段CD之和的最小值； （3）一次函数）的图像经过点C，当时，对于x的每一个值，的值都小于的值，直接写出a的取值范围． 22. 已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N. 求证：（1）AE=DB； （2）△CMN为等边三角形. 23. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，当且仅当___________时，有最小值为___________． （2）当时，求的最小值． 24. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：______；图2：______；图3：______． 其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，，求的值． 解：∵，∴， 又∵，∴， ∴即． 类比迁移： （2）若，则______； （3）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，阴影部分面积为______． 25. 如图，AC是正方形ABCD的对角线，点P在AC上，点E在边AD上，作∠EPF＝90°，PF与射线AB交于点F． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段PE与PF之间的数量关系，并证明； （3）直接写出线段AE，AP和AF之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末学业检测 八年级数学试题（gt） 温馨提示： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，共6页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第I卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分30分） 1. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．由题意分该等腰三角形的腰长分别为4和9两种情况，结合三角形三边间的关系进行讨论，然后再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下两种情况进行讨论： （1）当该等腰三角形的腰长为4时，因为，不组成三角形，所以这种情况不成立； （2）当该等腰三角形的腰长为9时，因为，组成三角形，此时该等腰三角形的周长． 综上所述，该等腰三角形的周长为22． 故选：B． 2. 如图:，欲证，则可增加的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由结合全等三角形的判定定理，即可找出需添加条件，结合图形利用角的计算即可得出添加可证出． 【详解】解：添加， ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 3. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 4. 如图，在六边形ABCDEF中，∠A+∠F+∠E+∠D =，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P度数为（        ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式求出六边形的内角和，再用α表示出∠ABC+∠BCD，进一步根据PB、PC分别平分∠ABC与∠BCD即可表示出∠PBC+∠PCB，然后在△PBC中利用三角形的内角和定理即可得出答案. 【详解】解：六边形内角和=(6－2)×180°=720°， ∴∠ABC+∠BCD =720°－(∠A+∠F+∠E+∠D )=720°－， ∵ ∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P， ∴∠PBC+∠PCB=（720°－α）=360°－α， ∴∠P=180° －（∠PBC+∠PCB）=180°－（360°－α）=α－180°， 故答案为A. 【点睛】本题考查了多边形的内角和、角平分线的定义和三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和公式和三角形的内角和定理以及整体代入的思想方法是解题的关键. 5. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 6. 一次函数的图象经过一、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解． 【详解】解：如果一次函数的图象经过第一、三、四象限， 则， 解得． 故选：C． 【点睛】一次函数的图象是一条直线，该直线的位置和性质与系数k，b的关系：①时，y随x的增大而增大．这时，若，则直线经过一、二、三象限；若，则直线经过一、三、四象限；若，直线经过一、三象限和原点（此为正比例函数的图象）；②时，y随x的增大而减小．这时，若，则直线经过一、二、四象限；若，则直线经过二、三、四象限；若，直线经过二、四象限和原点（此为正比例函数的图象）． 7. 某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设成绩为分的人数为，由题意，得 ， 解得． 故选：． 8. 如图，中，，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为． 【详解】解：如图，连接、， 中，，， ， ∵，点、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴当、、在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为：． 故选：A． 9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，由垂线的性质可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据可得，于是得解． 【详解】解：四边形菱形，，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 是菱形的高， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，垂线的性质，勾股定理，利用菱形的性质求面积，等式的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质与菱形面积的计算方法是解题的关键． 10. 甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ） A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可． 【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40， 设小亮对应函数图象的解析式为， 将代入解析式得，解得， 小亮对应函数图象的解析式为， 设小莹对应函数图象的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 小莹对应函数图象的解析式为， 令，得， 解得， 小亮与小莹相遇的时刻为8:28． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题（每小题3分，共计18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 12. 在中，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理．根据题意利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故答案为：． 13. 已知一次函数和的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 14. 如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 15. 如图，在是的平分线，于点E，．则的面积大小为___________． 【答案】13.5 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得D到的距离为3即可求得的面积． 【详解】∵是的平分线， ∴D到的距离等于的长， ∴， 故答案为：13.5． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是会把已知转化到所求问题上． 16. 观察下列等式： ＝1+﹣＝1， ＝1+﹣＝1， ＝1+﹣＝1， … 请你根据以上规律，写出第n个等式_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知算式得出规律，根据规律求出即可． 【详解】解：∵观察下列等式： ， ， ， … ∴第n个等式是=1+-=1+. 故答案是：=1+-=1+． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，关键是能根据题意得出规律． 三、解答题（共计72分） 17. （1）计算： （2）解方程： （3）已知，，则的值． 【答案】（1）；（2），；（3）6 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式和绝对值，再算加减法； （2）先整理为一般形式，再利用配方法求解即可； （3）逆用同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【详解】解（1） ； （2）整理得， 配方得，即， 开方得或， ∴，； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 18. （1）先化简，再求值：，其中 （2）已知，按要求完成下列画图．用尺规作的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹并写出结论） 【答案】（1），；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，复杂作图－角平分线． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值； （2）根据角平分线的作法作图即可； 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）的角平分线如图所示： 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七、八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩的频数分布直方图如下， （数据分为4组：，，，）． b．八年级学生测试成绩在这一组是：81 83 84 84 84 86 89 c．七、八年级学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______，八年级学生测试成绩在这一组的众数是______； （2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是______（填“小亮”或“小宇”）； （3）成绩不低于80分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 【答案】（1），84 （2）小宇 （3）180 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是的关键． （1）结合题意，根据中位数和众数的意义解答即可， （2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案， （3）先算出样本中成绩不低于80分的百分比，再乘以300即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84， 故中位数， 八年级学生测试成绩在这一组的众数是84， 故答案为：，84； 【小问2详解】 解：小宇在本年级成绩排名更靠前， ∵小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分， 故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩； ∵小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数分， 故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩， ∴学生小宇成绩在本年级排名更靠前， 故答案为：小宇； 【小问3详解】 解： （人）， ∴估计八年级获得优秀奖的学生人数180人． 21. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像过点，，点B关于x轴的对称点为C． （1）求这个一次函数的表达式； （2）点D为x轴上任意一点，求线段AD与线段CD之和的最小值； （3）一次函数）的图像经过点C，当时，对于x的每一个值，的值都小于的值，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法将和点代入解析式求解即可． （2）点关于轴的对称点为，连接，利用将军饮马问题，的长度即为最小值． （3）利用一次函数的图像经过点，得到，根据点结合图像即可求得． 【小问1详解】 解：把，代入，得，解得： ∴此一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，∵点B关于x轴的对称点为C， ∴不管点D在x轴上任意位置都有：DC＝DB． ∵当点D为线段AB与x轴交点时，AD＋BD最短， ∴此时线段AD与线段CD之和最短． 过点A作AE⊥y轴于点E． ∵，， ∴AE＝2，BE＝4， 由勾股定理得：． 此时线段AD与线段CD之和的最小值为； 【小问3详解】 解：一次函数的图像经过点 C， 把代入，得到， 于是得到， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， 则当x=2时，， 解得：， ∵a≠0， ∴a的取值范围是：或． 【点睛】本题考查待定系数法解一次函数解析式、将军饮马问题及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质． 22. 已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N. 求证：（1）AE=DB； （2）△CMN为等边三角形. 【答案】证明略 【解析】 【分析】证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形， ∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE， 即∠ACE＝∠DCB． 在△ACE和△DCB中， ∴△ACE≌△DCB(SAS)． ∴AE＝DB． (2)由(1)可知：△ACE≌△DCB， ∴∠CAE＝∠CDB， 即∠CAM＝∠CDN． ∵△DAC、△EBC均是等边三角形， ∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°． 又点A、C、B在同一条直线上， ∴∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°， 即∠DCN＝60°． ∴∠ACM＝∠DCN． 在△ACM和△DCN中， ∴△ACM≌△DCN(ASA)． ∴CM＝CN． 又∠DCN＝60°， ∴△CMN为等边三角形． 【详解】请在此输入详解！ 23. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，当且仅当___________时，有最小值为___________． （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）4，8 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）先配方，化简，运用公式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， ，即时，的最小值为8． 故答案为：4，8； 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ，即， 的最小值为． 24. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题． （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：______；图2：______；图3：______． 其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，，求的值． 解：∵，∴， 又∵，∴， ∴.即． 类比迁移： （2）若，则______； （3）如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，阴影部分面积为______． 【答案】（1），，； （2）； （3）12． 【解析】 【分析】（1）根据阴影部分面积的不同表示方式，列式后即可得出能解释的数学公式； （2）将和看作是整体，然后利用完全平方公式变形，化简后整体代入求解即可； （3）设，则，根据可得，然后根据列式求出，进而可得答案． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图3中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得： 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， 故答案为：28； 【小问3详解】 解：设，则， ∵两正方形的面积和， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，灵活运用乘法公式是解题的关键． 25. 如图，AC是正方形ABCD的对角线，点P在AC上，点E在边AD上，作∠EPF＝90°，PF与射线AB交于点F． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段PE与PF之间的数量关系，并证明； （3）直接写出线段AE，AP和AF之间的数量关系． 【答案】（1）图见解析 （2）PE＝PF；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，证出四边形PMAN是正方形，得出∠MPN＝90°，证明△PME≌△PNF（AAS），由全等三角形的性质得出PE＝PF； （3）由全等三角形的性质得到ME＝NF，由等腰直角三角形的性质得到AP＝AN，根据线段和差可得出结论． 【小问1详解】 解：依题意补全图形如下， 【小问2详解】 PE＝PF； 证明：过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC＝∠BAC，∠MAB＝90°， ∵PM⊥AD，PN⊥AB， ∴PM＝PN， ∴四边形PMAN是正方形， ∴∠MPN＝90°， ∵∠EPF＝90°， ∴∠MPE＝∠NPF， ∵∠PME＝∠PNF＝90°， ∴△PME≌△PNF（AAS）， ∴PE＝PF； 【小问3详解】 AE＋AF＝AP； 证明：由（2）可知，AM＝AN，ME＝NF， ∴AF＝AN＋NF＝AN＋ME＝AN＋AM−AE＝2AN−AE， ∵∠PAN＝45°， ∴AP＝AN， ∴AF＝AP−AE，即AE＋AF＝AP． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $