第5章 一元一次方程 单元测试-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版2024新教材）

第5章 一元一次方程 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第5章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．我们规定，则方程：的解为（   ） A． B． C． D． 4．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（    ） A． B． C． D． 5．将方程去分母，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是450元，在这次买卖过程中，则商人（   ） A．赚了45元 B．赚了25元 C．赔了5元 D．不赚不赔 7．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值： 则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 8．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能的是（   ） A．56 B．8 C．126 D．147 9．菱形纹是中国传统纹饰，常被用于建筑、器具等装饰设计，如图，每一幅图案中有若干个大小不同的四边形，那么第几幅图案中有25个四边形（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 10．方程的解是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．若是关于的一元一次方程，则的值为 12．是关于x的方程的解，则 ． 13．若x与2的差的3倍比x大4，则 ． 14．如图，长方形纸片的长为，在这张纸片的长和宽上各剪去一个宽的纸条，剩余部分的面积是，则原长方形纸片的宽为 ． 15．如图，，是线段的三等分点，是线段的中点，若，则的长为 ． 16．相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图①是我国古代传说中的洛书，图②是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图③的幻方中也有类似于图①的数字之和的这个规律．则图③中的值为 ． 17．超市里的每一件商品的包装盒（袋）上都印有条形码，每个条形码表示一个13位数，现有示意图表示：前面3位是国家代码，接下来的5位代表厂商代码，再接下来的4位代表产品代码，最后一位是校验码，条形码的13位数符合这样的规则，将（左起）偶数位上数的和乘3后，与奇数位上数的和相加，总和为10的倍数，比如一个商品条形码为，其中X表示待求的校验码，则 ． 18．已知关于x的方程的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．学校准备组织同学参加研学活动，需要租用客车，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位，求参加活动的同学人数． 21．如图，，，，，求 ． 22．如图，已知C，D两点将线段分为三部分，且．若的中点为M，的中点为N，且，求的长． 23．百花商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价70元；乙种商品每件进价40元，盈利。 (1)甲种商品每件的利润为______元，乙种商品每件的售价为______元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好总进价为4600元，求购进甲种商品多少件； (3)在（2）的条件下，该商场对甲种商品按售价打9折促销，乙种商品售价不变．若两种商品全部销售完，可获利润多少元． 24．【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 (1)【知识呈现】中的代数式化简的结果为 ；（用含、的式子表示） (2)若代数式的值为，求代数式的值； 【灵活运用】 (3)求中的值． 25．已知长方形纸片，E为线段上一点，射线交线段于点F，将三角形沿翻折，点A落在点M处；射线交边于点G，将三角形沿翻折，点B落在N处． (1)点E，M，N共线时，如图1，求的度数； (2)点E，M，N不共线时，如图2，若设，，请写出图2中，满足的数量关系式．并说明理由； (3)如图3，设运动时间为t秒，若射线从绕点E以每秒顺时针旋转，当时，点F与D重合，射线停止旋转，若射线从绕点E以每秒逆时针旋转，当时，点G与C重合，射线停止旋转；两条射线同时开始旋转，当t为多少时，？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第5章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、，有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，不是方程，故此选项不符合题意； C、，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、，是一元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列等式的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、如果，且，那么，故此选项变形不正确，不符合题意； B、如果，那么，故此选项变形不正确，不符合题意； C、如果，那么，故此选项变形不正确，不符合题意； D、如果，那么，故此选项变形正确，符合题意； 故选：D． 3．我们规定，则方程：的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解题的关键． 根据题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值． 【详解】解：， ，， ， ， 故选A． 4．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． 快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，由于慢马先走12天，所以慢马总共走的路程为里．当快马追上慢马时，就是说它们所走的路程相等，即可列出方程． 【详解】快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，慢马走的路程为里， 由题意得：． 故答案为：D． 5．将方程去分母，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程——去分母，方程两边同时乘以，即可求解． 【详解】解：方程去分母， 方程两边同时乘以，得 故选：D． 6．某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是450元，在这次买卖过程中，则商人（   ） A．赚了45元 B．赚了25元 C．赔了5元 D．不赚不赔 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设赚了的商品的成本为元，则赔了的商品的成本为元，则解方程求出的值，计算出赚或赔的金额即可得答案，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设赚了的商品的成本为元，则： 解得： 设赔了的商品的成本为元，则： ， 解得： ∴总成本为：元， ∴在这次买卖过程中，商人赚了25元， 故选：B． 7．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值： 则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式，一元一次方程的知识，解题的关键是根据表格，当时，，可得，求得；当时，，求出的值，把的值代入，求出，再根据解一元一次方程，即可． 【详解】解：由表格可得，当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：． 故选：D． 8．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能的是（   ） A．56 B．8 C．126 D．147 【答案】D 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用．设“”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为，，，，，，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可． 【详解】解：设“”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为，，，，，， 这7个数之和为：， 由题意得， A、，解得：，左上方的数不存在，本选项不符合题意； B、，解得：，不是整数，本选项不符合题意； C、，解得：，18不能是正中间的数，本选项不符合题意； D、，解得：，本选项符合题意； 故选：D． 9．菱形纹是中国传统纹饰，常被用于建筑、器具等装饰设计，如图，每一幅图案中有若干个大小不同的四边形，那么第几幅图案中有25个四边形（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】考查规律型中的图形变化问题，熟练观察，分析、归纳并发现其中的规律，是解题的关键． 根据第1幅图中有1个，第2幅图中有个，第3幅图中有个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案． 【详解】解：第1幅图中有个． 第2幅图中有个． 第3幅图中有个． 第4幅图中有个． …． 可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n幅图中共有个． 当时， 故选；C． 10．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次方程，将方程变形为，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 解得 故选：B 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．若是关于的一元一次方程，则的值为 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程的定义，解题的关键是掌握其定义．根据一元一次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ， 解得：， 故答案为：． 12．是关于x的方程的解，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了方程的解以及解一元一次方程，使方程两边左右相等的未知数的值叫做方程的解，据此将代入方程，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得． 故答案为：6． 13．若x与2的差的3倍比x大4，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， 故答案为：5． 14．如图，长方形纸片的长为，在这张纸片的长和宽上各剪去一个宽的纸条，剩余部分的面积是，则原长方形纸片的宽为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键．设原长方形纸片的宽为，由此列式求解即可． 【详解】解：设原长方形纸片的宽为， ∴， 解得，， ∴原长方形纸片的宽为， 故答案为：12 ． 15．如图，，是线段的三等分点，是线段的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的三等分点，中点的定义，线段和差，根据线段的三等分点，中点的定义进行计算即可，理解线段中点，三等分点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的中点， ∴， ∵，是线段的三等分点， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图①是我国古代传说中的洛书，图②是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图③的幻方中也有类似于图①的数字之和的这个规律．则图③中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律，解一元一次方程，求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的方法是解题的关键； 根据每一行，每一整列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，由此求出m、n的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵每一行，每一整列以及两条斜对角线上的数字之和都相等， ， 解得：，， ； 故答案为： 17．超市里的每一件商品的包装盒（袋）上都印有条形码，每个条形码表示一个13位数，现有示意图表示：前面3位是国家代码，接下来的5位代表厂商代码，再接下来的4位代表产品代码，最后一位是校验码，条形码的13位数符合这样的规则，将（左起）偶数位上数的和乘3后，与奇数位上数的和相加，总和为10的倍数，比如一个商品条形码为，其中X表示待求的校验码，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得， ∵为10的倍数， ∴ ∴ 故答案为： 18．已知关于x的方程的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】8 【分析】本题考查一元一次方程的解和一元一次方程的解法．先求方程的解得，再由已知可得或，求出k的值即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， 解得， ∵方程的解为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有k值的和为 故答案为：8 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去括号，然后再移项、合并同类项进行求解方程即可； （2）先去分母和去括号，然后再移项、合并同类项进行求解方程即可． 【详解】解：（1）去括号，得． 移项，得2x． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （2）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 20．学校准备组织同学参加研学活动，需要租用客车，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位，求参加活动的同学人数． 【答案】参加活动的同学人数为225人 【分析】本题主要考查一元一次方程解实际问题，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． 根据题意，设参加活动的同学人数为x人，由此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设参加活动的同学人数为x人， 根据题意，得， 解得， 答：参加活动的同学人数为225人． 21．如图，，，，，求 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平行公理的推论、平行线的性质、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 先作，则，根据平行线的性质即可得、，又，据此列一元一次方程即可求解． 【详解】解：如图，作交于点， ， ， ，， 又， ， 即， 解得． 22．如图，已知C，D两点将线段分为三部分，且．若的中点为M，的中点为N，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 如图，已知C，D两点将线段分为三部分，且．设，，，得到，再由的中点为M，的中点为N，得到、的值，再根据，即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴， ∵的中点为M，的中点为N， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．百花商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价70元；乙种商品每件进价40元，盈利。 (1)甲种商品每件的利润为______元，乙种商品每件的售价为______元； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好总进价为4600元，求购进甲种商品多少件； (3)在（2）的条件下，该商场对甲种商品按售价打9折促销，乙种商品售价不变．若两种商品全部销售完，可获利润多少元． 【答案】(1)20；52 (2)60件 (3)1260元 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）根据利润等于售价减去进价可得甲种商品的利润，再利用进价乘以可得乙种商品的售价； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，利用总进价为元，再建立方程求解即可； （3）由甲种商品与乙种商品的利润之和可得答案． 【详解】（1）解：甲种商品每件的利润为元，乙种商品每件的售价为元； 故答案为：，； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：． 答：购进甲种商品60件． （3）解： ； 答：若两种商品全部销售完，可获利润元． 24．【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 (1)【知识呈现】中的代数式化简的结果为 ；（用含、的式子表示） (2)若代数式的值为，求代数式的值； 【灵活运用】 (3)求中的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了绝对值及列代数式，理解题中所给整体思想是解题的关键． （1）根据所给方法对代数式进行化简即可； （2）利用整体思想即可解决问题； （3）将看作一个整体进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，令， 则原式， 所以， ， ， 故答案为：； （2）解：由得，， 所以； （3）解：令， 则原方程可化为， 解得， 所以， 则， 所以，． 25．已知长方形纸片，E为线段上一点，射线交线段于点F，将三角形沿翻折，点A落在点M处；射线交边于点G，将三角形沿翻折，点B落在N处． (1)点E，M，N共线时，如图1，求的度数； (2)点E，M，N不共线时，如图2，若设，，请写出图2中，满足的数量关系式．并说明理由； (3)如图3，设运动时间为t秒，若射线从绕点E以每秒顺时针旋转，当时，点F与D重合，射线停止旋转，若射线从绕点E以每秒逆时针旋转，当时，点G与C重合，射线停止旋转；两条射线同时开始旋转，当t为多少时，？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)10或 【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差、一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）先根据折叠的性质可得，，再根据求解即可得； （2）结论是，理由：先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据求解即可得； （3）根据折叠的性质可得，，分两种情况：①与相遇前，②与相遇后，根据平角的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 由折叠的性质得：，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由题意可知，，， 由折叠的性质得：，， ①与相遇前， 则， 即， 解得； ②与相遇后， 则， 即， 解得， ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时， ∴， 解得， 综上，当为10或时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$