精品解析：云南省昆明市第三中学2024-2025学年下学期开学阶段检测九年级数学试卷

昆明市第三中学初2025届九下开学阶段检测数学试题 一、选择题：本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分． 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 苏步青是中国著名的数学家，被誉为“数学之王”，为纪念其贡献，国际上将一颗距地球约218000000千米的小行星命名为“苏步青星”，将218000000用科学记数法表示为的形式（其中，n是正整数），则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数图象分别位于第一、三象限，则的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5. 下列计算正确是（　　） A. 2a×3a=5a B. C. 6a÷2a=3a D. 6. 如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列几何体中的俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ） A. B. C. D. 9. 为加强交通安全教育，某校随机调查了九年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，下列判断错误的是（ ） A. 本次调查的总人数为60人 B. 调查的学生中骑车上学的有8人 C. 若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有600人 D. 扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是 10. 如图，量角器外缘上有A，B，C三点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 12. 剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 13. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ） A 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 14. 函数 中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 15. 若一个等腰三角形腰长为8，底边长为12，那么这个等腰三角形的底边上高在（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 7与8之间 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：=_____． 17. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，=，则=______． 18. 甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的游泳队是___________． 19. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为______． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图，在与中，．求证：． 22. 数学来源于生活，又服务于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进甲、乙两种与数学有关的科普书若干本，已知用1800元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少25本，且甲种科普书的单价是乙种科普书单价的1.5倍．求甲、乙两种科普书的单价． 23. 为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 24. 如图，菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 25. 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中） （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，设每天销售该特产的利润为元，则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 26. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数． 27. 如图，是的直径，点C在上，与关于对称，交于点E，连接交于点F，点G在的延长线上，且． （1）若，，求BD的长； （2）求证：是的切线； （3）当时，恒成立，求常数m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昆明市第三中学初2025届九下开学阶段检测数学试题 一、选择题：本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分． 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量．熟练掌握相反意义的量是解题的关键． 根据相反意义的量进行判断作答即可． 【详解】解：∵盈利元记作元， ∴亏本元记作元， 故选：B． 2. 苏步青是中国著名的数学家，被誉为“数学之王”，为纪念其贡献，国际上将一颗距地球约218000000千米的小行星命名为“苏步青星”，将218000000用科学记数法表示为的形式（其中，n是正整数），则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解： ， ∴n的值为8， 故选：C． 3. 如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、内错角相等成为解题的关键． 根据平行线的性质得到，然后根据邻补角互补即可解答． 【详解】解：如图：∵，， ∴， ∴． 故选D． 4. 已知反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质．先根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， 的值可以是2． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（　　） A. 2a×3a=5a B. C. 6a÷2a=3a D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．原式=，故A错误； B．原式=，故B错误； C．原式=3，故C错误； D．，正确； 故选D. 6. 如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴， 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意． 故选：C． 7. 下列几何体中的俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面往下面看到的图形，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、圆柱的俯视图是圆，故该选项是错误的； B、三棱柱的俯视图是三角形，故该选项是正确的； C、圆锥的俯视图是带有圆心的圆，故该选项是错误的； D、长方体的俯视图是长方形，故该选项是错误的； 故选：B． 8. 按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式规律探究，理解题意，认真分析，找到规律是解决本题的关键．根据所给的多项式的项数，次数，即可找到规律，根据规律即可求解． 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数， 故第n个多项式为， 故选：B． 9. 为加强交通安全教育，某校随机调查了九年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，下列判断错误的是（ ） A. 本次调查总人数为60人 B. 调查的学生中骑车上学的有8人 C. 若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有600人 D. 扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,根据乘车人数以及百分比求出总人数，据此可判断选项A；用总人数分别减去其它两种上学方式的人数，即可得出骑车上学的人数，据此可得判断选项B；用样本估计总体的思想解决问题，即可判断选项C； 根据圆心角百分比计算，即可判断选项D． 【详解】解：本次调查的总人数为：（人，故选项A说法正确，不符合题意； 调查的学生中骑车上学的有：（人，故选项B说法正确，不符合题意； 若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有：（人，故选项C说法正确，不符合题意； 扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是：，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，量角器外缘上有A，B，C三点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 如图，连接，由题意知，，由圆周角定理得，，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，， 由圆周角定理得，， 故选：B． 11. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三周参与阅读人次第一周参与阅读人次参与阅读人次的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 12. 剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C中的图形，都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 选项D中的图形，能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 13. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【详解】多边形的内角和公式为（n－2）×180°， 根据题意可得：（n－2）×180°=900°， 解得：n=7． 故选C 14. 函数 中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，函数自变量的取值范围．熟练掌握分式有意义的条件，函数自变量的取值范围是解题的关键． 由题意知，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 故选：D． 15. 若一个等腰三角形的腰长为8，底边长为12，那么这个等腰三角形的底边上高在（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 7与8之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、无理数的估算等知识点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求得腰上的高成为解题的关键 如图：根据等腰三角形性质和勾股定理可得，然后再进行无理数估算即可解答 【详解】解：如图： ∵是等腰三角形，是高， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴，即这个等腰三角形的底边上高在5与6之间 故选C. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 17. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，=，则=______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ， ∴==． 故答案:． 18. 甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的游泳队是___________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵平均身高都是， ∴高比较整齐的游泳队是丙． 故答案为：丙． 19. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键． 根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3 ∴母线长为 ∴圆锥模型侧面积为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值是解答本题的关键． 先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的性质，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 21. 如图，在与中，．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直接利用可证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴． 22. 数学来源于生活，又服务于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进甲、乙两种与数学有关的科普书若干本，已知用1800元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少25本，且甲种科普书的单价是乙种科普书单价的1.5倍．求甲、乙两种科普书的单价． 【答案】甲种科普书的单价为36元，乙种科普书的单价为24元 【解析】 【分析】本题考查了不等式和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系，列出不等式求解．根据1800元单独购进甲种科普书的数量比用同等金额购进乙种科普书的数量少25本列方程求解即可． 【详解】解：设乙种科普书的单价为x元，则甲种科普书的单价为元， 由题意得：， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：甲种科普书的单价为36元，乙种科普书的单价为24元． 23. 为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在于根据题意列表或画树状图． （1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题； （2）根据概率所求情况数与总情况数之比．由表格（或树状图），得到共有6个等可能的结果，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可列表如下： 由表格可知，所有可能出现的结果总数为以上种； 【小问2详解】 解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种， （七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）． 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质和勾股定理： （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等；熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中） （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，设每天销售该特产的利润为元，则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）当时，销售利润最大，最大为6480元 【解析】 【分析】（1）当时，可直接根据图象写出；当时，y与x成一次函数关系，用待定系数法求解即可． （2）销售利润，根据销售利润=每千克的利润×销售量，可得与的二次函数，再根据二次函数求最值的方法即可求出结果． 【小问1详解】 解：由图象知，当时，； 当时，设，将，代入得 ，解得， 与之间的函数关系式为， 综上所述，， 故答案为：. 【小问2详解】 解：当时，， ，， 当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元． 故答案为：当时，销售利润最大，最大为6480元． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数．正确理解题意求出函数关系式、熟练掌握求二次函数的最值的方法是解题的关键． 26. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数． 【答案】(1)见解析；(2) m=2或m=3． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程二次项系数不为0和一元二次方程根的判别式大于0求解即可. （2）求出方程的根，再根据根方程的 两个根都为正整数求得m的整数值. 【详解】（1）根据题意得． ∵，来^&*源:中@教% ∴方程有两个不相等的实数根． （2）由（1）知：△=4 ∴. ∵方程的两个根都是正整数，且，[ ∴是正整数. ∴或． ∴或3． 考点：1.一元二次方程的定义；2. 一元二次方程根的判别式；3.解一元二次方程. 27. 如图，是的直径，点C在上，与关于对称，交于点E，连接交于点F，点G在的延长线上，且． （1）若，，求BD的长； （2）求证：是的切线； （3）当时，恒成立，求常数m的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由直径所对圆周角为直角得出，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，最后由轴对称的性质得出； （2）连接．由轴对称的性质得出，由圆周角定理的推论可得出，结合题意可得出．根据等腰三角形的性质得出，即得出．最后由，即可求出，即，即证明是的切线； （3）由平行线的性质，圆周角定理的推论，等角（同角）的余角相等可证 ．设，则，，，，从而可求出，．过点作于点H，即得出．由等角对等边可证，即得出，从而可求出，进而得出，即常数m的值为． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵与关于对称， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接． ∵与关于对称， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵为半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴结合（1）可得出． ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 设，则，， ∴，， ∴，． 如图，过点作于点H． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴常数m的值为． 【点睛】本题考查轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定和性质，切线的判定，平行线的性质等知识．熟练掌握上述知识是解题关键，再解（3）时正确做出辅助线也是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$