单元检测卷(一) 指数函数、对数函数与幂函数-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

单元检测卷(一)　指数函数、对数函数与幂函数 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一 、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若函数y＝(m2＋2m－2)x是幂函数，则m＝(　　) A.1　　　　　　　 B．－3 C．－3或1 D．2 答案：B 解析：因为函数y＝(m2＋2m－2)x是幂函数，所以m2＋2m－2＝1且m≠1，解得m＝－3. 2.的分数指数幂表示为(　　) A．a B．a C．a D．都不对 答案：A 解析：＝＝a×＝a. 3．已知log32＝a，3b＝5，则log3 用a，b表示为(　　) A．(a＋b＋1) B．(a＋b)＋1 C．(a＋b＋1) D．a＋b＋1 答案：A 解析：因为3b＝5，所以b＝log35，log3＝log330＝(log33＋log32＋log35)＝(1＋a＋b). 4．下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是(　　) A．y＝x|x| B．y＝ex C．y＝－ D．y＝log2x 答案：A 解析：y＝x|x|＝为奇函数且是R上的增函数，图象关于原点对称；y＝ex是R上的增函数，无奇偶性；y＝－为奇函数且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，图象关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，无奇偶性．故选A. 5．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　) 答案：D 解析：方法一　当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，故选D. 方法二　幂函数f(x)＝xa的图象不过(0，1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错误，D正确；C项中由对数函数f(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错误． 6．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 答案：A 解析：由于幂函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，且＞，所以＞，即a＞c.由于指数函数y＝在R上是减函数，且＜，所以＞，即c＞b.综上可知，a＞c＞b.故选A. 7．方程log2(x＋4)＝3x的实根的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋4)与y＝3x的大致图象，如图，由图象可观察出两个函数图象共有两个不同的交点，故方程log2(x＋4)＝3x有两个根．故选C. 8．若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝(　　) A． B．3 C． D．4 答案：C 解析：方法一　由题意得2x1＋2x1＝5　①，2x2＋2log2(x2－1)＝5　②.由①得2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即2x1＝2log2(5－2x1)　③.令2x1＝7－2t，代入③得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，所以5－2t＝2log2(t－1)，与②比较得t＝x2，于是2x1＝7－2x2，即x1＋x2＝.故选C. 方法二　对2x＋2x＝5，2x＋2log2(x－1)＝5进行变形，可得2x-1＝－x，log2(x－1)＝－x. 画出函数y＝2x-1，y＝－x，y＝log2(x－1)的图象，如图所示． 根据指数函数y＝2x和对数函数y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，易得函数y＝2x-1和函数y＝log2(x－1)的图象关于直线y＝x－1对称，从而x1＋x2等于直线y＝x－1与y＝－x交点的横坐标的2倍，即.故选C. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知函数f＝若关于x的不等式2<af恰有1个整数解，则实数a的取值可以为(　　) A．－6 B．－5 C．1.5 D．2.3 答案：ABC 解析：由函数f＝画出f图象，如图所示，又由不等式[f]2<af，可得f<0，当a＝0时，2<0，此时不等式无解；当a<0时，由f<0，可得a<f<0，若不等式恰有1个整数解，则整数解为3，因为f＝－3，f＝－8，可得－8≤a<－3；当a>0时，由f<0，可得0<f<a，若不等式恰有1个整数解，只需1<a≤2.综上所述：实数a的取值范围为∪.故选ABC. 10．已知函数f＝log2，m∈R，则下列说法正确的是(　　) A．若函数f的定义域为R，则实数m的取值范围是 B．若函数f的值域为，则实数m＝2 C．若函数f在区间上为增函数，则实数m的取值范围是 D．若m＝0，则不等式f<1的解集为 答案：BC 解析：对于A，函数f的定义域为R，则mx2＋2x＋m－1>0恒成立，当m＝0时，2x－1>0，所以x>，不合题意，故需满足m>0且Δ＝4－4m(m－1)＝－4<0，解得m>，即实数m的取值范围是，故A错误；对于B，函数f的值域为，则mx2＋2x＋m－1≥，故解得m＝2，故B正确；对于C，当m＝0时，f＝log2在区间上为增函数，符合题意；当m≠0时，函数f＝log2(mx2＋2x＋m－1)由y＝log2u，u＝mx2＋2x＋m－1(u>0)复合而成，y＝log2u为(0，＋∞)上的增函数，故由f在区间上为增函数，可知u＝mx2＋2x＋m－1在区间上为增函数且u>0，故需满足解得m>0，即实数m的取值范围是，故C正确；对于D，当m＝0时，f<1，即log2<1，则0<2x－1<2，所以<x<，则不等式f<1的解集为，故D错误．故选BC. 11．已知函数f＝lg ，下列结论正确的是(　　) A．f的图象关于y轴对称 B．f的最小值是2 C．f在上是减函数，在上是增函数 D．f没有最大值 答案：AD 解析：对于A，函数f的定义域为，f＝lg ＝lg ＝f(x)，所以函数f是偶函数，故A正确；对于B，因为y＝＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝±1时取得等号，所以f＝lg ≥lg 2，所以f的最小值是lg 2，x＝±1时取得，故B错误；对于C，当x>0时，y＝＝x＋，根据双勾函数的性质可知，y＝x＋在单调递减，单调递增，又因为函数y＝是偶函数，所以函数y＝在单调递减，单调递增，根据复合函数的性质可得，函数f＝lg 在单调递减，单调递增，在单调递减，单调递增，故C错误；对于D，由C选项可知，函数y＝无最大值，所以f没有最大值，故D正确．故选AD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上) 12．已知函数y＝loga＋6的图象恒过点A，则点A的坐标为________． 答案： 解析：因为loga1＝0，所以当x＝2时，y＝loga1＋6＝6，所以函数的图象恒过定点. 13．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是________． 答案：{a|a≥1} 解析：因为函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，则t＝|x－a|在区间(－∞，1]上单调递减，又函数t＝|x－a|在区间(－∞，a]上单调递减，所以(－∞，1]⊆(－∞，a]，故有a≥1. 14．已知函数f的定义域为，f＝1＋e，当x2>x1>0时，有x2f－x1f>x2ex1－x1ex2，则不等式f>x＋ln x的解集为____________． 答案：(1，e) 解析：当x2>x1>0时，由x2f－x1f>x2ex1－x1ex2变形可得：>，令F(x)＝，则F(x1)>F(x2)，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(1)＝1＋e，所以F(1)＝1，当x>1时，不等式f>x＋ln x可以变形为>1，即F(ln x)>F(1)，所以ln x<1，则1<x<e；当0<x<1时，不等式f>x＋ln x可以变形为<1，即F(ln x)<F(1)，所以ln x>1，则x>e(舍去)；综上，不等式的解集为(1，e). 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)计算：(1)－(－0.96)0－＋1.5-2＋[(－)-4]；(5分) (2)÷100＋7log714.(8分) 解：(1)原式＝－1－＋＋[()-4] ＝－1－＋＋()3＝＋2＝. (2)原式＝－(lg 4＋lg 25)÷100＋14＝－2÷10-1＋14＝－20＋14＝－6. 16．(15分)已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝，其图象关于原点中心对称． (1)求实数m的值；(5分) (2)已知函数f(x)是R上的严格增函数，当x∈时，函数f(x)的值域为，求实数a，b的值．(10分) 解：(1)f(x)的定义域为R，因为f(x)的图象关于原点中心对称， 所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 即＝0，解得：m＝2，经检验符合题意， 所以m＝2. (2)因为f(x)是R上的严格增函数， 所以解得：a＝1，b＝log311. 17．(15分)已知函数f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x). (1)判断f的奇偶性；(5分) (2)若关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)f为奇函数，理由如下： 由题意得，解得－2<x<2， 即函数f的定义域为，故定义域关于原点对称． 又f(－x)＝log2(2－x)－log2(2＋x)＝－f(x)，故f为奇函数． (2)由f(x)＝log2(a＋x)， 得log2(2＋x)－log2(2－x)＝log2(a＋x)，所以＝a＋x， 所以a＝－x＝－x＝＋(2－x)－3， 故方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋(2－x)－3在区间(－2，2)上有两个不同的实数根， 即函数y＝a与y＝＋(2－x)－3在区间(－2，2)上的图象有两个交点． 设t＝2－x，x∈， 则y＝＋t－3，t∈. 作出函数y＝＋t－3，t∈的图象如图所示． 当1<a<2时，函数y＝a与y＝＋t－3，t∈的图象有两个交点， 即关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根，故实数a的取值范围是. 18．(17分)已知函数f(x)＝ln x－. (1)求值：f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 024)＋f()；(4分) (2)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；(5分) (3)求证f(x)有且仅有两个零点x1，x2，并求x1x2的值．(8分) 解：(1)当x>0，且x≠1时， f(x)＋f()＝ln x－＋ln －＝ln x－－ln x－＝0， 所以f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 024)＋f()＝0. (2)函数f(x)的定义域为D＝(0，1)∪(1，＋∞)， f(x)＝ln x－1－在(0，1)和(1，＋∞)上单调递增， 证明如下：设∀x1，x2∈D，则f(x1)－f(x2)＝(ln x1－1－)－(ln x2－1－)＝ln ＋. ①当0<x1<x2<1时，0<<1⇒ln <0，<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，于是f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(0，1)上单调递增； ②当1<x1<x2时，同理可得f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增． (3)证明如下：由于f(x)在(0，1)上单调递增， 且f()＝<0，f()＝>0， 所以f(x)在(0，1)上有且仅有一个零点x1； 由于f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f(e)＝<0，f(e2)＝>0， 所以f(x)在(1，＋∞)上有且仅有一个零点x2. 因此f(x)有且仅有两个零点x1，x2. 下面求值： 由(1)知，f(x1)＋f()＝0， 又因为f(x1)＝0，所以f()＝0， 所以是f(x)在(1，＋∞)上的零点， 所以x2＝，所以x1x2＝1. 19．(17分)定义在D上的函数f，如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有≤M成立，则称f是D上的有界函数，其中M称为函数f的一个上界，已知函数f＝1＋ax＋x，g＝log. (1)若函数g为奇函数，求实数a的值；(4分) (2)在(1)的条件下，求函数g在区间上的所有上界构成的集合；(5分) (3)若函数f在上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围．(8分) 解：(1)因为函数g为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)， 即log＝－log，所以＝，解得a＝±1， 而当a＝1时，不合题意，故a＝－1. (2)由(1)知：g＝log＝log， 令t＝1＋，因为t＝1＋在上单调递减， 而g＝logt在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可知g在上单调递增， 所以函数g在区间上单调递增， gmax＝g＝log＝log2＝－1，gmin＝g＝log＝log4＝－2， 所以g在区间上的值域为， 所以≤2，故函数g在区间上的所有上界构成的集合为. (3)由题意可知：≤2在上恒成立，所以－2≤f≤2， 即－2≤1＋ax＋x≤2，所以－3·2x－x≤a≤2x－x在上恒成立， 所以max≤a≤min， 令t＝2x，h＝－3t－，p＝t－， 易知h＝－3t－在[1，＋∞)上单调递减，所以h(t)max＝－3－1＝－4， p＝t－在[1，＋∞)上单调递增，所以p(t)min＝1－1＝0，所以－4≤a≤0，即实数a的取值范围为[－4，0]. 学生用书第45页 学科网（北京）股份有限公司 $$