课时测评9 幂函数-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列结论中，正确的是(　　) A．幂函数y＝x-1，y＝x的图象都过点(－1，－1)，(1，1) B．当α＝1，2，3，，－1时，幂函数y＝xα的图象都经过第一、三象限 C．在幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数 答案：AC 解析：根据五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x-1的图象和性质，可知A、C正确． 2．已知点(n，8)在幂函数f(x)＝(m－2)xm的图象上，则函数f(x)在区间[n，n＋1]上的值域为(　　) A．[－8，27] B．[2，3] C．[4，9] D．[8，27] 答案：D 解析：因为函数f(x)＝(m－2)xm是幂函数，所以m－2＝1，解得m＝3，所以f(x)＝x3，因为点(n，8)在幂函数f(x)＝x3的图象上，所以f(n)＝n3＝8，解得n＝2.因为f(x)＝x3在R单调递增，函数f(x)＝x3在[2，3]上的值域为[8，27].故选D. 3．下列函数中是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数的是(　　) A．y＝x-1 B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝ 答案：D 解析：显然A、C中的函数是奇函数，B中的函数在(－∞，0]上是减函数． 4．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm+1为偶函数，则m＝(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．3 答案：A 解析：因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm+1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件. 故选A. 5．如图所示是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则(　　 ) A．－1<n<0，0<m<1 B．n<－1，0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 答案：B 解析：由图知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，所以m>0，n<0.又当x>1时，y＝xm的图象在y＝x下方，y＝xn的图象在y＝x-1的下方，所以m<1，n<－1，从而0<m<1，n<－1.故选B. 6．给出下列函数： ①y＝x2；②y＝；③y＝5x3；④y＝x2＋1； ⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a＞1，a为常数). 其中是幂函数的有________(填序号). 答案：①⑥ 解析：由幂函数的定义可知①⑥是幂函数． 7．幂函数f(x)的图象过点，那么f(8)的值是________． 答案： 解析：设f(x)＝xα，将点代入得＝4α，解得α＝－，则f(x)＝x，f(8)＝8＝. 8．当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限． 答案：四 解析：幂函数y＝x-1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第四象限． 9．(10分)比较下列各题中两个幂值的大小： (1)3.11.3与2.91.3；(2分) (2)与；(3分) (3)与.(5分) 解：(1)函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3. (2)方法一　函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又因为<，所以>. 方法二　＝4，＝3. 而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以4>3，即>. (3)因为<＝1； 而>＝1； 所以<. 10．(5分)(多选)关于幂函数f(x)＝xα，下列说法正确的是(　　 ) A．若f(x)＝x-2，则f(x)的定义域是{x|x≠0} B．若α＝－1，则f(x)是减函数 C．若f(x)＝xα的图象经过点(2，8)，则其解析式为f(x)＝x3 D．若f(x)＝x，则对于任意的x1，x2∈[0，＋∞)，都有f≥ 答案：ACD 解析：f(x)＝x-2＝的定义域为{x|x≠0}，故A选项正确；α＝－1<0，f(x)＝x-1定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)＝x-1在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，而不能说f(x)在定义域上是减函数，故B选项错误；把点(2，8)代入，此时2α＝8，解得：α＝3，所以f(x)＝x3，选项C正确；任意的x1，x2∈[0，＋∞)，f＝，＝，其中＝，＝≤＝，当且仅当x1＝x2时等号成立． 所以f≥，故选项D正确．故选ACD. 11．(5分)(开放题)已知函数f(x)＝x2，若f(x)＋g(x)是幂函数，且f(x)＋g(x)是奇函数，试写出一个符合条件的函数g(x)＝________． 答案：x－x2(答案不唯一) 解析：因为f(x)＝x2，所以f(x)为偶函数， 因为f(x)＋g(x)是幂函数，且f(x)＋g(x)是奇函数，可设f(x)＋g(x)＝x，即g(x)＝x－x2(答案不唯一). 12．(15分)已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm-1为偶函数． (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1，3]上不单调，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)由m2－5m＋7＝1，可得m＝2或m＝3，又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2. (2)g(x)＝x2－ax－3＝(x－)2－3－在[1，3]上不单调， 则对称轴x＝需满足1<<3，即2<a<6. 所以实数a的取值范围为(2，6). 13．(5分)(新设问)有四个幂函数：①f(x)＝x-1； ②f(x)＝x-2； ③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： (1)偶函数； (2)值域是{y|y≠0}； (3)在(－∞，0)上单调递增． 如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号). 答案：② 解析：对于函数①，f(x)＝x-1，这是一个奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f(x)＝x-2，这是一个偶函数，其值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件． 14．(20分)已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)-1(m∈N*). (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(8分) (2)若函数f(x)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．(12分) 解：(1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数， 所以函数f(x)＝x(m2＋m)-1 (m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上是增函数． (2)因为函数f(x)经过点(2，)， 所以＝2，即m2＋m＝2， 解得m＝1或m＝－2， 又因为m∈N*，所以m＝1，f(x)＝x. 又因为f(2－a)>f(a－1)，所以解得1≤a<. 故函数f(x)经过点(2，)时，m＝1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，). 学科网（北京）股份有限公司 $$