课时测评26 向量基本定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下面三种说法中，正确的是(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A．①②　　　　　　　 B．②③ C．①③ D．①②③ 答案：B 解析：只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确．故选B． 2．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为(　　) A．－1 B．2 C．－2或1 D．－1或2 答案：D 解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使＝k.因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]，因为a与b不共线，所以解得λ＝2或λ＝－1.故选D． 3．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 答案：BC 解析：由平面向量基本定理可知，A、D是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选BC． 4．在平行四边形ABCD中，点E满足＝－2，且O是边AB的中点，若AE交DO于点M.且＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：如图所示， 平行四边形ABCD中，＝－2，O是边AB的中点，则△AOM∽△EDM，则＝＝＝，＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋－＝＋－(＋)＝(1－)＋－＝＋－×＝＋－＝＋AB，且＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝＋＝. 5．在△ABC中，＝2，若P为CD上一点，且满足＝m＋，则m＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设＝λ，因为＝2，则＝，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，又＝m＋，故λ＝，λ＝. 所以m＝1－λ＝. 6．设e1，e2是两个不共线的向量，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x＋y＝________． 答案：9 解析：根据向量相等的定义，得解得x＝6，y＝3，所以x＋y＝9. 7．在平行四边形ABCD中，＝－3，＝＋，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＝________，μ＝________． 答案：　－1 解析：＝－＝－(＋)，因为＝＋，＝－3，所以 ＝－－＝(＋)－－(－)＝－，所以λ＝，μ＝－1. 8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________． 答案： 解析：由题意，如图， 因为AD＝AB，BE＝BC，所以＝－＝－＝(－)＋＝－，又＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，所以λ1＝－，λ2＝，所以λ1＋λ2＝－＋＝. 9．(10分)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb， 则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2) ＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2. 又因为e1，e2不共线， 所以解得 所以c＝a－2b. 10．(10分)如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，BF与DE交于点G，设＝a，＝b. (1)用a，b表示；(4分) (2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线．(6分) 解：(1)＝－＝＋－ ＝a＋b－b＝a－b. (2)证明：连接AC，BD交于O(图略)，则＝， 因为E，F分别是BC，DC的中点，所以G是△CBD的重心， 所以＝＝×＝－， 又C为公共点，所以A，G，C三点共线． 11．(5分)如图，四边形ABCD为平行四边形，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为(　　) A． B． C． D．1 答案：D 解析：＝＋＝＋，又＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(－)＝λ(＋)＋μ＝＋(λ－μ)，故λ－μ＝1.故选D． 12．(5分)在△ABC中，点D在边BC的延长线上，且＝3. 若＝x＋(1－x)，－<x<0，则点O在(　　) A．线段BC上 B．线段CD上 C．线段AC上 D．线段AD上 答案：B 解析：由向量共线定理可知O，B，C三点共线．因为＝3，所以－＝3－3，所以＝－＋.又因为－<x<0，所以点O在线段CD上，且不与C，D点重合．故选B． 13．(10分)如图所示，△ABC中，＝a，AC＝b，D为AB的中点，E为CD上一点，且DC＝3EC，AE的延长线与BC的交点为F. (1)用向量a，b表示；(4分) (2)用向量a，b表示，并求出AE∶EF和BF∶FC的值．(6分) 解：(1)＝＋＝＋(－)＝＋＝××＋＝a＋b. (2)设AE∶EF＝λ， 则＝＝＝a＋b， 设BF∶FC＝μ，则＝＋＝a＋b， 所以解得λ＝5，μ＝4， 因此＝a＋b，AE∶EF＝5，BF∶FC＝4. 14.(5分)如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界).若＝a＋b且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案：B 解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0，b<0. 15.(15分)(开放题)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，G是线段AD上一点，且＝＝2，过点G作直线与AB，AC分别交于点E，F. (1)用向量，表示；(5分) (2)试问＋是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．(10分) 解：(1)＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋. (2)设＝λ，＝μ，则＋＝λ＋2μ， 因为＝＝2， 所以＝＝＝＋＝＋， 所以＋＝1，即λ＋2μ＝， 故＋＝为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$