课时测评8 指数函数与对数函数的关系-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝ax与y＝logax的图象是(　　) 答案：D 解析：当0<a<1时，函数y＝ax在R上是减函数，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，且函数y＝ax与函数y＝logax的图象关于直线y＝x对称．故选D. 2．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(　　) A．－e B．－ C． D．e 答案：C 解析：根据题意，可得f(x)＝ln x(x＞0)，由于f(x)＝ln x与y＝g(x)的图象关于x轴对称，故g(x)＝－ln x(x＞0).由g(a)＝1，得ln a＝－1，解得a＝.故选C. 3．函数y＝3x2－1(－1≤x＜0)的反函数是(　　) A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 答案：D 解析：易知函数y＝3x2－1为定义域上的减函数，当x＝0时，y＝，当x＝－1时，y＝1，所以＜y≤1.由y＝3x2－1得x2－1＝log3y，则x＝－.所以反函数为y＝－.故选D. 4．已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(3)·g(3)＜0，则f(x)与g(x)在同一直角坐标系内的图象可能是(　　) 答案：C 解析：因为f(x)＝ax与g(x)＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，所以它们具有相同的单调性，排除A、D；又f(3)·g(3)＜0，所以f(3)＞0，g(3)＜0，所以0＜a＜1，排除B.故选C. 5．已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4，0)，其反函数f-1(x)的图象过点(1，7)，则f(x)是(　　) A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 答案：A 解析：因为函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4，0)，所以loga(4－k)＝0，所以k＝3，所以f(x)＝loga(x－3).又反函数f-1(x)的图象过点(1，7)，所以函数f(x)的图象过点(7，1)，所以loga4＝1，解得a＝4，所以f(x)＝log4(x－3)，所以f(x)是增函数． 6．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________． 解析：函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则它们互为反函数，所以f(x)＝3x. 答案：3x 7．已知函数f(x)＝则f-1＝________． 解析：设f-1＝x，则f(x)＝.当0≤x≤1时，由x2＋1＝，得x＝或x＝－(舍去)；当－1≤x＜0时，由2x＝，得x＝(舍去).综上，得f-1＝. 答案： 8．已知函数f(x)＝log(x＋2)的定义域为(1，7]，则它的反函数f-1(x)的定义域为________． 答案：[－2，－1) 解析：因为1＜x≤7，所以3＜x＋2≤9，所以－2≤log(x＋2)＜－1，即f-1(x)的定义域为[－2，－1). 9．(10分)已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，g(x)为f(x)的反函数，求关于x的不等式g(x)－loga(2－3x)≤loga1的解集． 解：因为f(x)＝ax(a＞0且a≠1)， 所以g(x)＝logax(a＞0且a≠1)， 所以由g(x)－loga(2－3x)≤loga1， 得logax≤loga(2－3x). 当a＞1时，因为函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，所以解得0＜x≤. 当0＜a＜1时，因为函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，所以解得≤x＜. 综上，当a＞1时，原不等式的解集为；当0＜a＜1时，原不等式的解集为. 10．(10分)已知函数f(x)＝loga(2－x)(a＞1). (1)求函数f(x)的定义域、值域；(2分) (2)求函数f(x)的反函数f-1(x)；(3分) (3)判断f -1(x)的单调性．(5分) 解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)设y＝f(x)＝loga(2－x)，由y＝loga(2－x)，得x＝2－ay，所以f -1(x)＝2－ax(x∈R). (3)f -1(x)在定义域R上是减函数．证明如下： 任取x1，x2∈R且x1＜x2. 因为a＞1，x1＜x2，所以ax1＜ax2，即ax1－ax2＜0. 因为f -1(x2)－f -1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2＜0， 所以f -1(x2)＜f -1(x1)， 所以f -1(x)在定义域R上是减函数． 11．(5分)已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，若f(x)能分解成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，则g(x)＝(　　) A．2x－2-x B．2x＋2-x C．2x-1－21-x D．2x-1－2-x-1 答案：D 解析：因为f是函数y＝log2x的反函数，所以f＝2x，根据条件设g＋h＝2x，(1)，所以g＋h＝2-x，因为g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，所以－g＋h＝2-x, (2)，(1)－(2)得到2g＝2x－2-x，g＝＝2x-1－2-x-1.故选D. 12．(5分)(多选)给出下列结论，其中正确的结论是(　　) A．函数y＝()－x2＋1的最大值为 B．已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在(0，1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1，2] C．在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称 D．若3a＝4b＝36，则＋的值为1 答案：BCD 解析：对于A，y＝()－x2＋1＝2 x2－1≥2-1＝， 函数y＝()－x2＋1的最小值为，故A错误； 对于B，已知函数y＝loga(2－ax)(a>0且a≠1)在(0，1)上是减函数，所以解得1<a≤2，实数a的取值范围是(1，2]，故B正确；对于C，同一平面直角坐标系中，由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，故C正确；对于D，由于3a＝4b＝36，则a＝log336⇒＝log363，则＝log369，同理＝log364，所以＋＝log3636＝1，故D正确．故选BCD. 13．(10分)设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值． 解：将方程整理得2x＝－x＋3， log2x＝－x＋3. 如图可知， a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标． 由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称， 于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a). 而A，B都在直线y＝－x＋3上， 所以b＝－a＋3(A点坐标代入)， 或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3. 14．(5分)方程x＋2x＝2的根为a，方程x＋log2x＝2的根为b，则a＋b＝________． 答案：2 解析：a是方程x＋2x＝2的根，即是y＝2x和y＝2－x图象交点的横坐标，b是方程x＋log2x＝2的根，即是y＝log2x和y＝2－x图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝2－x的图象，如图所示： 由图可知，a是y＝2x和y＝2－x图象交点A的横坐标，b是y＝log2x和y＝2－x图象交点B的横 坐标，因为y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以图象关于直线y＝x对称，故点A，B也关于直线y＝x对称，所以点A，B为A(a，b)，B(b，a)，而点A，B又在y＝2－x上，所以b＝2－a，a＝2－b，即a＋b＝2. 15．(15分)已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1). (1)求f(x)的定义域；(3分) (2)讨论f(x)的单调性；(4分) (3)解方程f(2x)＝f -1(x).(8分) 解：(1)要使函数有意义，必须ax－1>0，得ax＞1. 当a>1时，x>0； 当0<a<1时，x<0. 所以当a>1时，f (x)的定义域为(0，＋∞)； 当0<a<1时，f (x)的定义域为(－∞，0). (2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2， 故0<ax1－1<ax2－1， 所以loga(ax1－1)<loga(ax2－1)， 所以f(x1)<f(x2). 故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数． (3)令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1， 所以x＝loga(ay＋1). 所以f -1(x)＝loga(ax＋1). 由f (2x)＝f -1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)， 所以a2x－1＝ax＋1， 解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，所以x＝loga2. 学生用书第32页 学科网（北京）股份有限公司 $$