课时测评7 对数函数的性质与图象应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知a＝log3，b＝ln 3，c＝2-0.99，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>a>c B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 答案：D 解析：因为log3<log31＝0，所以a<0，因为ln 3>ln e＝1，所以b>1，因为0<2-0.99<20＝1，所以0<c<1，所以b>c>a.故选D. 2．若log3a<0，>1，则(　　) A．a>1，b>0 B．0<a<1，b>0 C．a>1，b<0 D．0<a<1，b<0 答案：D 解析：由函数＝log3x，y＝的图象知，0<a<1，b<0. 3．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(　　) A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1 答案：B 解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3. 4．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是(　　) A．(0，2] B．[－2，＋∞) C．(－∞，－2] D．[2，＋∞) 答案：B 解析：－x2＋3x＋4＝－＋≤，又－x2＋3x＋4>0，则0<－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0.4x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞). 5．已知lg a＋lg b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　) 答案：B 解析：因为lg a＋lg b＝0，所以ab＝1，则b＝，从而g(x)＝－logb x＝loga x，f(x)＝ax，所以a>1，函数f(x)与函数g(x)在定义域内都是单调递增；0<a<1，函数f(x)与函数g(x)在定义域内都是单调递减；所以函数f(x)与函数g(x)在定义域内单调性相同．结合选项可知选B. 6．函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在[2，3]上的最大值为1，则a＝________． 答案：3 解析：当a>1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，则loga3＝1，所以a＝3>1.所以a＝3符合题意．当0<a<1时，f(x)的最大值是f(2)＝1.则loga2＝1，所以a＝2>1.所以a＝2不合题意．综上知a＝3. 7．函数y＝的定义域是________． 答案：(－1，0)∪(0，1) 解析：由解得 即(－1，0)∪(0，1). 8．已知loga(2a＋3)<loga3a，则a的取值范围为________________． 答案：(0，1)∪(3，＋∞) 解析：(1)当a>1时，原不等式等价于 (2)当0<a<1时，原不等式等价于 解得0<a<1. 综上所述，a的范围是(0，1)∪(3，＋∞). 9．(10分)比较下列各组对数值的大小： (1)log1.6与log2.9；(2分) (2)log21.7与log23.5；(2分) (3)log3与log3；(3分) (4)log0.3与log20.8.(3分) 解：(1)因为y＝logx在(0，＋∞)上单调递减， 1.6<2.9， 所以log1.6>log2.9. (2)因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，而1.7<3.5， 所以log21.7<log23.5. (3)借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示． 在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，所以log3<log3. (4)由对数函数性质知，log0.3>0，log20.8<0， 所以log0.3>log20.8. 10．(10分)解下列不等式： (1)logx＞log(4－x)；(2分) (2)logx＞1；(3分) (3)loga(2x－5)＞loga(x－1).(5分) 解：(1)由题意可得解得0＜x＜2. 所以原不等式的解集为{x|0＜x＜2}． (2)当x＞1时，logx＞1＝logxx，解得x＜，此时不等式无解． 当0＜x＜1时，logx＞1＝logxx，解得x＞，所以＜x＜1. 综上所述，原不等式的解集为. (3)当a＞1时，原不等式等价于 解得x＞4. 当0＜a＜1时，原不等式等价于 解得＜x＜4. 综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞4}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为. 11．(5分)(多选)(新情境)某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f＝lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是(　　) A．同学甲发现：函数的定义域为(－1，1)，且f(x)是偶函数 B．同学乙发现：对于任意的x∈(－1，1)， 都有f＝2f C．同学丙发现：对于任意的a，b∈(－1，1)， 都有f＋f＝f D．同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x1，x2，总满足>0 答案：BC 解析：对于A，f(x)＝lg ，则＞0⇒(1－x)(1＋x)＞0，解得x∈(－1，1).又f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，故f(x)＝lg 为奇函数，故A错误；对于B，f＝lg ＝lg ＝lg ＝2 lg ＝2f(x)，x∈(－1，1)，故B正确；对于C，f(a)＋f(b)＝lg＋lg ＝lg ，f＝lg ＝lg ＝lg 故f(a)＋f(b)＝f成立，故C正确；对于D，f(0)＝lg ＝0 ，f＝lg ＝lg ＜0，所以＜0，故D错误．故选BC. 12．(5分)(多选)若实数a，b满足loga2<logb2，则下列关系中可能成立的有(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<1<b C．a>b>1 D．0<b<1<a 答案：ABC 解析：根据题意，实数a，b满足loga2<logb2，对于A，若a，b均大于0且小于1，依题意，必有0<b<a<1，故A有可能成立；对于B，若logb2>0>loga2，则有0<a<1<b，故B有可能成立；对于C，若a，b均大于1，由loga2<logb2，知必有a>b>1，故C有可能成立；对于D，当0<b<1<a时，loga2>0，logb2<0，loga2<logb2不能成立．故选ABC. 13．(10分)已知函数f(x)＝loga(2＋x)－loga(2－x)(a>0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域；(4分) (2)判断函数f(x)的奇偶性．(6分) 解：(1)要使函数有意义，则需满足解得－2<x<2.故函数f(x)的定义域为(－2，2). (2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称， 因为f(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－[loga(2＋x)－loga(2－x)]＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 14．(5分)(多选)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a)，则下列说法中正确的是(　　) A．若f(x)的定义域为R，则－4≤a≤0 B．若f(x)的值域为R，则a≤－4或a≥0 C．若a＝2，则f(x)的单减区间为(－∞，－1) D．若f(x)在(－2，－1)上单调递减，则a≤ 答案：BD 解析：对于A，若f的定义域为R，所以x2＋ax－a>0恒成立，所以Δ＝a2＋4a<0，所以－4<a<0，所以选项A错误；对于B，若f(x)的值域为R，由A知 a2＋4a≥0，所以a≥0或a≤－4，所以选项B正确；对于C，若a＝2，则f(x)＝lg (x2＋2x－2)，函数的定义域为(－∞，－1－)∪(－1＋，＋∞)，设u＝x2＋2x－2，v＝lg u，可知：v＝lg u在定义域内单调递增，由复合函数的单调性，得函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1－)，所以选项C错误；对于D，若f(x)在(－2，－1)上单调递减，则(－1)2－a－a≥0且－≥－1，所以a≤，所以选项D正确．故选BD. 15．(15分)已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值；(5分) (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，求实数m的取值范围．(10分) 解：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称， 所以函数f(x)的定义域关于原点对称， 因为>0，所以(x－1)(1－ax)>0， 令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝， 所以＝－1，a＝－1， 经验证，a＝－1满足题意． (2)因为f(x)＋log(x－1)＝log ＋log(x－1)＝log(1＋x)， 所以当x>1时，log(1＋x)<log(1＋1)＝－1， 又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，所以m≥－1. 即实数m的取值范围为[－1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$