8 章末综合提升 平面向量初步-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

章末综合提升 探究点一　向量的线性运算 例1　如图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b. (1)用a和b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解：(1)由题意知，A是BC的中点，所以2＝＋，即＝2－＝2a－b. ＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b. (2)由＝λ，得＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b. 因为与共线，所以存在实数k，使＝k， 即(λ－2)a＋b＝k，则解得λ＝. 学生用书第125页 向量线性运算的基本方法 1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． 2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．　　 对点练1.(1)已知a＝，b＝，c＝，若∥c，则实数m＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．－ D． (2)如图为正六边形ABCDEF，其中点O为正六边形ABCDEF的中心，设＝a，＝b，若＝，＝3，则＝(　　) A．a＋b B．－a＋b C．－a＋b D．a＋b 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)a＋2b＝(1，0)＋2(－1，m)＝(－1，2m)，c＝，由∥c，得－1－4m＝0，解得m＝－.故选C. (2)如图，由正六边形的性质可知＝＝，＝＝，因为＝，＝3，所以＝，＝＋＝＋＝＋＝＋， 所以＝－＝＋－＝＋－＝－＋－＝－＝－a＋b.故选B. 探究点二　向量的坐标运算 例2　已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2). (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值. 解：(1)设点B的坐标为(x1，y1). 因为＝(4，3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)， 所以所以 所以B(3，1).同理可得D(－4，－3). 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)， 则x2＝＝－，y2＝＝－1， 所以M. (2)由已知得＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)， ＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4). 又＝λ，所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)， 则所以 1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一． 2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现． 3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模及平行问题．　　 对点练2.设A，B，C，D为平面内四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，－1). (1)若＝，求D点坐标； (2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值． 解：(1)设D(x，y)，又因为A(1，3)，B(2，－2)，C(4，－1)， 所以＝(1，－5)，＝(x－4，y＋1)， 因为＝，所以得 所以D(5，－6). (2)由题意得，a＝(1，－5)，b＝(2，1)， 所以ka－b＝(k－2，－5k－1)，a＋3b＝(7，－2)， 因为ka－b与a＋3b平行，所以－2(k－2)－7(－5k－1)＝0，解得k＝－. 所以实数k的值为－. 探究点三　平面向量的应用 例3　已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：AP＝AB. 证明：如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1). 设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)， 因为∥， 所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2， 同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2， 解得x＝，所以y＝，即P. 所以2＝＋＝4＝2， 所以||＝||，即AP＝AB. 学生用书第126页 1.根据向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间的联系，距离问题等，可知用向量方法可以解决平面几何中的相关问题． 2．向量在物理中的应用，主要解决与力、速度等有关的问题．　　 对点练3.如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC. (1)求·＋·的值； (2)若点Q是线段AP3上一点，且＝＋m，求实数m的值． 解：(1)因为点P1，P2，P3四等分线段BC， 所以＝＋，＝＋＝＋＋＝＋， ·＋·＝·＋· ＝2＋2＋·＝×4＋×4＋×2×2cos 60°＝. (2)因为点Q在线段AP3上， 所以＝λ＝＋mλ， 因为BP3＝3P3C， 所以＝＋＝＋＋＝＋， 所以解得 因此所求实数m的值为. (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　　　　 B. －2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 答案：B 解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2， 所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B. (2022·全国乙卷) 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则(　　) A．2　　　B．3 C．4　　　D．5 答案：D 解析：因为a－b＝－＝，所以＝＝5.故选D. (2023·北京卷)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：B 解析：向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以a＝(0，2)，b＝(2，1)，所以|a|2－|b|2＝4－5＝－1.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$