6 6.2.2 直线上向量的坐标及其运算&6.2.3 平面向量的坐标及其运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 知识层面 1.了解直线上向量的坐标的概念，能够表示直线上向量的坐标．　2.理解直线上向量的运算与坐标的关系，并能进行正确的运算．　3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．　4.会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题． 素养层面 借助直线上向量的坐标表示和向量的正交分解，培养数学抽象素养；通过直线上向量的运算与坐标的关系及坐标运算，提升数学运算素养． 问题1.我们已学过了数轴上点的坐标，如图，已知A(－1)，B(2). (1)对应的向量坐标是多少？ (2)对应的向量坐标是多少？ 提示：(1)3　(2)－3 学生用书第117页 问题2.已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示：a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 问题3.如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示：＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 知识点一　直线上向量的坐标及其运算 1．直线上向量的坐标 给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时x称为向量a的坐标． 在直线上指定原点O，以e的方向为正方向，如果把向量a的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标． 2．直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2. (1)a＝b的充要条件是x1＝x2. (2)a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1. (3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝|x2－x1|，x＝. 知识点二　平面向量的坐标及其运算 1．平面向量的坐标 (1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直． (2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． (3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y). [微提醒]　向量的坐标表示的意义 通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对都表示一个向量．因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形结合起来，从而将几何问题转化为代数问题来解决． 2．平面上向量的运算与坐标的关系 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)． (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)． (3)λa＝(λx1，λy1)． (4)向量相等的充要条件：a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2． (5)模长公式：|a|＝． 3．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，向量＝(x2－x1，y2－y1)． (2)它们之间的距离：AB＝||＝． 学生用书第118页 (3)设AB的中点M(x，y)，则x＝，y＝． [微提醒]　(1)区别的坐标与a－b的坐标：的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a－b的坐标是对应的坐标相减． (2)由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同． 4．向量平行的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2． 1．若数轴上A，B两点的坐标分别为2，5，则的坐标为(　　) A．7 B．3 C．10 D．－3 答案：B 解析：由数轴上向量的坐标公式得＝5－2＝3. 2．若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则＝(　　) A．(4，6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2，2) 答案：A 解析：因为＝(1，2)，＝(3，4)，所以＝＋＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6).故选A. 3．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为(　　) A．(3，4) B．(2，4) C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4) 答案：A 解析：因为a＝e1＋e2，所以2a＝2e1＋e2.又b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝(2e1＋e2)＋(e1＋3e2)＝3e1＋4e2.所以2a＋b在基底{e1，e2}下的坐标为(3，4).故选A. 4．已知a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则x＝________． 答案：－4 解析：因为a＝(2，1)，b＝(x，－2)，且a∥b，所以2×(－2)＝1×x，即x＝－4. 5．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________． 答案： 解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，所以2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以＝，解得λ＝. 题型一　直线上向量的坐标及其运算 例1　已知数轴上A，B，C三点的坐标分别为1，7，－3. (1)求，，的坐标和长度； (2)若＝4，求点D的坐标； (3)若||＝2，求点E的坐标． [思路点拨]　由数轴上A，B，C三点坐标可求，，，，坐标，进而可求它们的模以及D、E点． 解：(1)因为A，B，C三点的坐标分别为1，7，－3， 所以＝1－7＝－6，||＝|－6|＝6； ＝－3－1＝－4，||＝|－4|＝4； ＝7－(－3)＝10，||＝10. (2)设点D的坐标为x，则＝x－(－3)＝x＋3＝4，解得x＝1，即点D的坐标为1. (3)设点E的坐标为y，则||＝|y－7|＝2，解得y＝5或y＝9，即点E的坐标为5或9. 1．求直线上向量的坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量表示出来． (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． 2．直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题，解题时要特别注意符号，以防出错．　　 对点练1.(1)若数轴上A，B两点的坐标分别为－2，x，且的坐标是－8，则x＝________． (2)若数轴上A，B两点的坐标分别为－5，7，则的坐标是________，||＝________． 答案：(1)－10　(2)－12　12 解析：(1)由题意得，的坐标为x＋2＝－8， 解得x＝－10， (2)因为数轴上A，B两点的坐标分别为－5，7，所以＝－5－7＝－12，所以＝＝12. 题型二　平面向量的坐标表示 例2　如图所示，分别用单位正交基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标． 学生用书第119页 [思路点拨]　在平面直角坐标系中求向量的坐标，一般运用数与形结合的方法求解．已知i＝(1，0)，j＝(0，1)，若向量可以表示成xi＋yj的形式，则此向量的坐标就是(x，y). 解：由图可知a＝1＋2＝2i＋3j， 所以a＝(2，3). 同理可得b＝－2i＋3j＝(－2，3)， c＝－2i－3j＝(－2，－3)， d＝2i－3j＝(2，－3). 求平面向量坐标的一般方法 1．数形结合法：根据正交分解，求向量在x轴、y轴上的坐标分量． 2．平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标．　　 对点练2.设点A(1，2)，B(3，5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到的的坐标为(　　) A．(1，2)　　　　　　　　 B．(2，3) C．(3，4) D．(4，7) 答案：B 解析：因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3).由题意知与方向相同，大小也相等，只是位置不同，于是＝＝(2，3).故选B. 题型三　平面向量的坐标运算 例3　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c. (1)求3a＋b； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n. [思路点拨]　本题考查向量的坐标运算及向量的相等，需先求出向量a，b，c，再进行运算． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). (1)3a＋b＝3(5，－5)＋(－6，－3)＝(15－6，－15－3)＝(9，－18). (2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a， 所以解得 平面向量坐标运算的技巧 1．若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． 2．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 3．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．　　 对点练3.(1)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________． (2)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，m)，若a∥b，则＝________． 答案：(1)(－6，21)　(2)2 解析：(1)－＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7).因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21). (2)因为a∥b，所以2m－3＝0，解得m＝，则b＝，所以a＋2b＝(－4，2)，所以＝＝2. 题型四　向量共线的坐标表示 角度1　证明共线 例4　已知点A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，2)，且＝，＝，求证：∥. [思路点拨]　先用坐标表示，，再利用向量共线的条件证明． 证明：由题意知＝(4，－1)，＝(2，2)，＝(－2，3)， 所以＝＝，＝＝. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则＝(x1，y1)－(－1，0)＝， ＝(x2，y2)－(3，－1)＝， 所以(x1，y1)＝，(x2，y2)＝， 所以＝(x2，y2)－(x1，y1)＝. 又＝(4，－1)，4×－(－1)×＝0， 所以∥. 学生用书第120页 角度2　求参数 设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，其中k∈R.若A，B，C三点共线，则k＝________． [思路点拨]　先由条件求，，再由A，B，C三点共线建立等式，即可求k. 答案：－2或11 解：方法一　因为A，B，C三点共线，即，共线，所以存在实数λ，使得＝λ.因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即解得k＝－2或k＝11. 故当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． 方法二　由题意知，共线． 因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，所以(4－k)×(k－12)－(10－k)×(－7)＝0，所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.故当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． 1．利用向量的坐标运算求出需要判断的平面向量的坐标，并依据下面的结论来判断向量平行： 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则a∥b.　　 2．由向量共线求参数的问题中，参数一般设置在两个位置：一是向量的坐标本身含有；二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示，解题时应根据题目特点 选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立方程(组)求解．　　 对点练4.(1)已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，2)，若(a－b)∥(2a＋tb)，则t＝(　　) A．0 B． C．－2 D．－3 (2)已知平面向量a＝(1，)，b＝(3，λ)，若a∥(a－b)，则实数λ的值为________． 答案：(1)C　(2)3 解析：(1)由题意知a－b＝(1，1)－(－1，2)＝(2，－1)，2a＋tb＝2(1，1)＋t(－1，2)＝(2－t，2＋2t).因为(a－b)∥(2a＋tb)，所以2×(2＋2t)－(－1)×(2－t)＝4＋4t＋2－t＝0，解得t＝－2. (2)a－b＝(－2，－λ)，因为a∥(a－b)，所以－λ＝－2，解得λ＝3. 1．已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则与AB分别是(　　) A．－3，3　　　　　　　　 B．3，3 C．3，－3 D．－6，6 答案：B 解析：＝－1－(－4)＝3，AB＝||＝3. 2．已知a＝(1，－1)，b＝(3，0)，则3a－2b等于(　　) A．(5，3) B．(4，－1) C．(－2，－1) D．(－3，－3) 答案：D 解析：3a－2b＝3(1，－1)－2(3，0)＝(3，－3)－(6，0)＝(－3，－3). 3．已知a＝，b＝，若a∥b，则m＝(　　) A.1 B．－1 C． D．－ 答案：A 解析：由题意，a＝(m，1)，b＝(3m－1，2)，由a∥b，可得2m－(3m－1)＝0，解得m＝1.故选A. 4．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________． 答案： 解析：＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$