第6章 6.2.3 平面向量的坐标及其运算(2)(Word讲义)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教B版）

6.2.3　平面向量的坐标及其运算(2) 学业标准 素养目标 1.了解用坐标表示向量平行条件的推导过程．(难点) 2.理解坐标表示的平面向量的平行条件，会用坐标表示的平面向量平行的条件解决相关问题．(重点) 1.通过向量平行的坐标表示的探究，培养学生逻辑推理核心素养． 2.通过向量平行的坐标表示的应用，提升学生数学运算、逻辑推理等核心素养． 导学 向量平行的坐标表示 　(1)若a，b都是非零向量，且a∥b，则a与b有何关系？ (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，a∥b，它们的坐标应满足什么条件？ [提示]　(1)a＝λb(λ∈R). (2)(λ∈R). ◎结论形成 向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1． 点睛 向量平行的坐标表示的正确理解 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)当b≠0时，a＝λb(λ∈R) 这是几何运算，体现了a与b的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a∥b，则a＝λb.(　　) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则＝.(　　) (3)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a1b2＝a2b1，则a∥b.(　　) (4)若a＝(1，1)，b＝(m，m)，则无论m取何实数，都有a∥b.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若点C横坐标为6.则C点纵坐标为(　　) A．－13　　　B．9　　　C．－9　　　D．13 解析　设C点纵坐标为y，＝(－8，8)，＝(3，y＋6). ∵∥，∴－8(y＋6)－24＝0，∴y＝－9. 答案　C 3．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10) 答案　C 4．若向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，则当x＝ 时，a与b共线且方向相同． 解析　∵a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x2－4＝0，即x2＝4，∴x＝±2，当x＝－2时，a和b方向相反．当x＝2时，a与b方向相同． 答案　2 题型一　向量共线的判定 　已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝. (1)求E，F的坐标； (2)判断与是否共线． [解析]　(1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 依题意得＝(2，2)，＝(－2，3). 由＝可知(x1＋1，y1)＝(2，2)， 即解得∴E. 同理可得，点的坐标为F，即E点的坐标为，F点的坐标为. (2)由(1)可知＝－＝－＝(O为坐标原点)， 又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝， 即与共线． 向量平行的判定方法 　 [触类旁通] 1．(多选题)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，3)，e2＝ 解析　A．由于e1＝0，因为零向量与任意向量共线，因此e1，e2共线，不能作基底． B．因为－1×7≠2×5，所以两向量不共线，可以作基底． C．因为e2＝2e1，所以两向量共线，不能作基底． D．因为2×≠3×，所以两向量不共线，可以作基底，故选BD． 答案　BD 题型二　根据向量共线的条件求参数值（一题多解　一题多变） 　(1)已知向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，且(a＋b)∥(a－b)，则m＝(　　) A．1　　　B．5　　　C．1或－5　　D．－5 (2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [解析]　(1)向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，且(a＋b)∥(a－b)，所以a＋b＝(m＋5，m＋5)，a－b＝(－m－1，m－3)， 所以(m＋5)(m－3)－(－m－1)(m＋5)＝0， 即(m＋5)(m－1)＝0， 解得m＝1或m＝－5. (2)解法一　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b). 由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以解得k＝λ＝－. 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时 ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， 因为λ＝－＜0， 所以ka＋b与a－3b反向． 解法二　由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(10，－4)， 因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 这时ka＋b＝＝－(a－3b). 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，且反向． [答案]　(1)C　(2)略 [母题变式] 1．(变条件)本例(1)中，若a＋b，a－b反向，则m＝ ． 解析　当m＝－5时，a＋b＝(0，0)，零向量的方向是任意的，与题意不符，舍去，故m＝1. 答案　1 2．(变结论)本例(1)中是否存在实数m，使向量a，b共线？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解析　假设存在实数m使向量a，b共线，则8－(m＋1)(m＋3)＝0，即m2＋4m－5＝0，解得m＝1或m＝－5，故存在实数1或－5使向量a，b共线． 根据向量平行求参数值的方法 根据向量平行的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用向量共线定理a＝λb列方程组求解，二是利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解.　 [触类旁通] 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，c＝a＋b，d＝a－b，若c∥d，则实数x的值为 ． 解析　因为向量a＝(1，2)，b＝(x，1)， 所以c＝a＋b＝(1＋x，3)， d＝a－b＝(1－x，1). 因为c∥d，所以1＋x－3(1－x)＝0. 解得x＝. 答案　 题型三　三点共线问题 　设A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？ [解析]　＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)， ＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)， ＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x). 由与共线，∴x2＝1×4，∴x＝±2. 又与方向相同，∴x＝2. 此时，＝(2，1)，＝(－3，2)， 而2×2≠－3×1， ∴与不共线， ∴A，B，C三点不在同一条直线上． ∴A，B，C，D不在同一条直线上． [素养聚焦]　本题主要考查向量共线问题，突出考查数学运算、逻辑推理等核心素养． 1．判断三个点共线时，先由三个点中的任意两个点分别组成两个向量，再判断这两个向量共线即可；若已知三个点共线，同样的方法利用两个向量共线列出方程求值． 2．判断多个点中的三个点共线时，先根据向量运算构造关于这三个点的两个向量，再利用向量共线的坐标表示列式.　 [触类旁通] 3．(1)已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是(　　) A．(－9，1) B．(9，－1) C．(9，1) D．(－9，－1) (2)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：A，B，C三点共线，并求出AB的中点坐标． 解析　(1)设点C的坐标是(x，y)， 因为A，B，C三点共线，所以∥. 因为＝－(1，－3)＝， ＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)， 所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7， 经检验可知点(9，1)符合要求，故选C． (2)证明　∵＝－＝(4，8)，＝－＝(6，12)，∴＝，即与共线． 又与有公共点A，∴A，B，C三点共线； 设AB的中点为D(x，y)，则 x＝＝5，y＝＝8.∴D(5，8). 答案　(1)C　(2)略 知识落实 技法强化 向量共线的坐标表示设：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). ①a∥b⇔x1y2－x2y1＝0； ②若a≠0且a∥b，则b＝λa(λ∈R). 1.已知两个向量的坐标判定两向量平行．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行． 2.已知两个向量平行，求点或向量的坐标、求参数的值、求轨迹方程等，要注意方程思想的应用． [必备知识·基础巩固] 1．已知A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a是(　　) A．(2，1)　　　　　　　 B．(－6，－3) C．(－1，2) D．(－4，－8) 解析　＝(1，2)，而a＝(－4，－8)＝－4，故选D． 答案　D 2．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(－1，1)一定不平行的向量是(　　) A．(k，k) B．(－k，－k) C．(k2＋1，k2＋1) D．(k2－1，k2－1) 解析　∵(－1)×(k2＋1)≠1×(k2＋1)，故选C． 答案　C 3．已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为(　　) A．6 B．2 C．4 D．3 解析　＝(2，4)－(1，2)＝(1，2). ＝(3，m)－(1，2)＝(2，m－2). ∵A，B，C三点共线，即向量，共线， ∴1×(m－2)－2×2＝0，∴m＝6. 答案　A 4．(多选题)已知a＝(5，4)，b＝(3，2)，则下列向量中与2a－3b平行的向量有(　　) A． B． C．(－2，1) D．(1，2) 解析　2a－3b＝(10，8)－(9，6)＝(1，2). ∵1×－2×＝0，∴选项A符合题意； ∵1×－2×≠0，∴选项B不符合题意； ∵1×1－2×(－2)≠0，∴选项C不符合题意； 选项D显然符合题意，故选AD． 答案　AD 5．已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a－c)∥b，则k＝ ． 解析　依题意得a－c＝(3－k，－6)，3(3－k)＋6＝0，由此解得k＝5. 答案　5 6．已知点A(－1，6)，B(3，0)，在直线AB上有一点P，且||＝||，则点P的坐标为 ． 解析　设P点坐标为(x，y). 当＝时， 则(x＋1，y－6)＝(4，－6)，得 解得 所以P点坐标为. 当＝－时，同理可得P点的坐标为， 所以点P的坐标为或. 答案　或 7．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为 ． 解析　由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时a，b方向相反，符合题意． 答案　－2 8．已知直角坐标平面上四点A(1，0)，B(4，3)，C(2，4)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形． 证明　由已知，＝(4，3)－(1，0)＝(3，3)，＝(0，2)－(2，4)＝(－2，－2). 因为3×(－2)－3×(－2)＝0，所以∥. 又＝(0，2)－(1，0)＝(－1，2)， ＝(2，4)－(4，3)＝(－2，1)， 因为(－1)×1－2×(－2)＝3≠0. 所以与不平行，所以四边形ABCD为梯形，又＝(－2，1)，＝(－1，2)， 所以||＝＝||. 故四边形ABCD是等腰梯形． [关键能力·综合提升] 9．若平面向量a＝(－1，2)与b反向，且|b|＝3，则b的坐标为(　　) A．(3，－6) B．(－3，6) C．(6，－3) D．(－6，3) 解析　由题知a与b共线且反向，则b＝λa＝(－λ，2λ)，且λ＜0，由|b|＝－λ＝3，得λ＝－3，故b＝(3，－6). 答案　A 10．(多选题)已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析　由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ). 设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b. 由⇒ 又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 所以B或.故选BD． 答案　BD 11．已知向量a＝(3，2)，b＝(2，－1)，若非零向量ma＋nb与a＋2b共线，其中m，n∈R，则的值为 ． 解析　由a＝(3，2)，b＝(2，－1)，得ma＋nb＝(3m＋2n，2m－n)，a＋2b＝(7，0).因为ma＋nb与a＋2b共线，所以14m－7n＝0，解得＝. 答案　 12．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m).若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为 ． 解析　＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3，1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则与不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠. 答案　m≠ 13．已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x). (1)求实数x，使两向量，共线； (2)当两向量与共线时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？ 解析　(1)＝(x，1)，＝(4，x). 因为∥，所以x2－4＝0，即x＝±2. 所以当x＝±2时，∥. (2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2，1)， 所以∥.此时A，B，C三点共线， 又因为∥，所以，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上． 当x＝2时，＝(－2，1)，＝(2，1)， 不存在实数λ使得＝λ， 所以A，B，C三点不共线， 因此A，B，C，D四点不共线． [核心价值·探索创新] 14．如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝AB，DF＝DB，求证：A，E，F三点共线． 证明　因为DE＝AB，DF＝DB， 所以＝，＝＝. 于是＝－＝－ ＝＋＝＝－， 因此∥， 又，有公共点F，所以A，E，F三点共线． 15．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积． 解析　以A为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，建立直角坐标系，如图所示， 则A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)，F(6，4)，E(3，0)，设P(x，y)，所以＝(x，y)， ＝(6，4)，＝(x－3，y)，＝(3，6). 由点A，P，F和点C，P，E分别共线， 得所以 所以S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB＝36－×3×3－×3×6＝. 学科网（北京）股份有限公司 $