7 5.3.3 古典概型-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5.3.3　古典概型 知识层面 1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．　2.会用列举法求古典概型的概率．　3.能利用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率． 素养层面 通过古典概型及其特征的学习，提升数学抽象素养；通过古典概型概率的求解，培养数学运算素养． 问题1.我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？ 提示：样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等． 问题2.抛掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？ 提示：不是，因为骰子不均匀，出现偶数点与奇数点的概率不相等． 问题3.考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性的大小？ (1)一个班级中有男生18名，女生22名．若采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到一名男生”； (2)在掷骰子的试验中，事件B＝“点数为偶数”． 提示：(1)中抽到一名男生的可能性为＝ . (2)中B＝{2，4，6}．对于抛掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，“出现偶数点”的可能性为＝. 所以事件A发生的可能性小于事件B发生的可能性． 知识点一　古典概型的概念 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型． [微提醒]　古典概型的判断标准 一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性与等可能性．因此，并不是所有的试验都能归结为古典概型．下列三类试验都不是古典概型： (1)样本点个数有限，但非等可能； (2)样本点个数无限，但等可能； (3)样本点个数无限，但非等可能． 知识点二　古典概型的概率公式 1．古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到：假设样本空间含有n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，所以由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为.此时，如果事件C包含m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P(C)＝． 学生用书第73页 2.古典概型的概率求解步骤 [微提醒]　(1)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率． (2)计算古典概型概率的关键是求样本点总个数n和所求事件包含的样本点个数m.这种计算方式避免了大量重复试验，通过分析样本点的个数就可以计算随机事件发生的概率，而且得到的概率是精确值． 说明：注意一个样本点是某一次试验出现的结果，不是几次试验的结果，即保证m，n均为等可能样本点的个数． 1．下列试验中，是古典概型的有(　　) A．种下一粒种子观察它是否发芽 B．从直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 答案：C 解析：古典概型有两大特征，即(1)有限性，试验中所有可能出现的样本点为有限个；(2)等可能性，每个样本点出现的可能性相等．上述选项中，只有C具有上述特征． 2．(多选)已知袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，则下列选项中是样本点的是(　　) A．{正好2个红球}　　　 B．{正好2个黑球} C．{正好2个白球} D．{至少1个红球} 答案：ABC 解析：选项D中“至少1个红球”包括“1红球1白球”“1红球1黑球”“2红球”3个样本点． 3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10个样本点，其中甲被选中的样本点有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4个，所以甲被选中的概率为＝.故选B． 4．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：袋中有9个大小相同的球，从中任意取出1个，共有9种取法．取出的球恰好是白球，共有4种取法．故取出的球恰好是白球的概率为.故选C． 5．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝.故选A． 题型一　古典概型的判断 例1　袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球． (1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？ (2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？ [思路点拨]　只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型． 解：(1)因为样本点的个数有限，而且每个样本点出现的可能性相等，所以是古典概型． (2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性．故不是古典概型． 学生用书第74页 判断随机试验是否为古典概型的两个关键点 抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可． (1)有限性，试验中所有可能出现的样本点只有有限个． (2)等可能性，每个样本点出现的可能性相等．　　 对点练1.判断下列试验是否是古典概型： (1)在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽； (2)口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球． 解：(1)这个试验的结果只有两个，即“发芽”与“不发芽”，具备了有限性，但“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性一般是不相等的，即不具备等可能性，因此该试验不是古典概型． (2)每次摸出一个球后，仍放回袋中，再摸一个球．显然，对于有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型． 题型二　简单的古典概型 例2　生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　) A． B． C． D． [思路点拨]　设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，采用列举法求出“从5只兔子中随机取出3只”的样本点个数，再求出“恰有2只测量过该指标”的样本点个数，最后根据古典概型的概率计算公式得出结论． 答案：B 解析：设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b.从这5只兔子中随机取出3只，则样本点共有10个，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的样本点有6个，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为＝.故选B． 求古典概型概率的计算步骤 第一步：确定样本点的总数n； 第二步：确定事件A包含的样本点的个数m； 第三步：计算事件A的概率P(A)＝.　　 对点练2.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为A，依题意所有基本事件为：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中事件A所包含的事件数为1，所以根据古典概型的概率公式可得P(A)＝，再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为1－P(A)＝1－＝. 题型三　复杂的古典概型 例3　袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： (1)A：取出的两球都是白球； (2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球． [思路点拨]　先求出任取两球的所有等可能样本点的总个数，然后分别求出事件A“取出的两球都是白球”所含的样本点个数及事件B“取出的两球一个是白球，另一个是红球”所含的样本点个数，最后利用古典概型的概率公式求解即可． 解：设4个白球的编号分别为1，2，3，4；2个红球的编号分别为5，6. 从袋中任取两球的所有等可能样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个． (1)事件“从袋中任取两球，取出的两球全是白球”包含的样本点共有6个，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4).故取出的两球全是白球的概率为P(A)＝＝. (2)事件“从袋中任取两球，取出的两球一个是白球，另一个是红球”包含的样本点共有8个，分别为(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6). 故取出的两球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)＝. 学生用书第75页 解决古典概型综合问题的两个关键点 1．审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键． 2．编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或者用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，这是解决古典概型的问题时主要的解题技巧．　　 对点练3.口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率． 解：(1)无放回地取球．任意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}， 所以摸出的是红球和白球的概率为. (2)有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事件“摸出一红一白”包括(红，白)，(白，红)2个样本点，所以两次摸出的球是一红一白的概率为. 1．(多选)下列试验是古典概型的为(　　) A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 答案：ABD 解析：ABD是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影响． 2．为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程．有种植白菜、种植番茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为(　　) A．3　　　　　　　 B．5 C．6 D．9 答案：C 解析：设4种课程编号为1，2，3，4，随机选报其中的2个，样本点有：12，13，14，23，24，34，共6个．故选C． 3．从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：从1，2，3，4，5中抽取两个数基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种，所取的两个数均为偶数的有(2，4)，共1种，所以所取两数均为偶数的概率为P＝.故选A． 4．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________． 答案： 解析：可重复地选取两个数共有16个样本点，其中一个数是另一个数的2倍的有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)，共4个样本点，故所求的概率为＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$