精品解析：江西省南昌市第十九中学2025届高三下学期2月月考数学试题

2024-2024学年第二学期高三2月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 记为数列的前项和，若，为等比数列，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4. 已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别，.A是C上的一点（在第一象限），直线与y 轴的负半轴交于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（ ） A. 是平行四边形，且周长为 B. 是平行四边形，且周长为 C. 是等腰梯形，且周长为 D. 是等腰梯形，且周长为 8. 已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题 9. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 在的展开式中，常数项为60 D. 的展开式中，的系数为5 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. ， C. ， D. ， 三、填空题 12. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 13. 寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为__________.（用数字作答） 14. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则______. 四、解答题 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若，面积为，求的值. 16. 如图，在体积为的三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，､为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1（M与A，B不重合），直线AM与椭圆C的另一个交点为N.记直线BM，BN的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知函数． （1）当时，求的极小值； （2）若存在两个极值点． （i）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 19. 设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列. 例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3. （1）若数列的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3，请写出数列； （2）设，求数列伴随数列的前50项之和； （3）若数列的前n项和（其中为常数），求数列的伴随数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2024学年第二学期高三2月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对数函数单调性得出集合A，根据指数函数的单调性得出集合B,最后根据交集定义计算即可. 【详解】， 由指数函数的性质可得，∴. 故选:D. 2. 已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念及充分条件、必要条件的判断方法求解判断即可. 【详解】若，则为纯虚数； 若复数为纯虚数，则，解得， 所以“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 记为数列的前项和，若，为等比数列，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据为等比数列，且，可得，再求出，即可得解. 【详解】因为为等比数列，所以的首项为，第二项为， 第三项为， 故的公比为2，所以， 所以当时，，显然当时也符合， 故，所以. 故选：D. 4. 已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为与的图象的交点问题，借助于函数图象可得到结果． 【详解】由于函数有3个零点， 则方程有三个根， 故函数与的图象有三个交点； 函数，其图象如下所示， 又因为函数， 则实数的取值范围， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于转化思想的应用，将方程根的个数问题，转化为函数和图象交点的个数， 5. 已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布结合二项分布的定义以及期望和方差公式即可求解. 【详解】由题可得，，，， 所以. 故选：D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别，.A是C上的一点（在第一象限），直线与y 轴的负半轴交于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设，根据双曲线的定义和勾股定理的应用可得，，，结合余弦定理计算可得的方程，解之即可求解. 【详解】设，如图所示： 由题意可得，，； 又，由可得 即，解得； 所以，，； 在中， 在中，， 又由，有，解得，故. 故选：D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（ ） A. 是平行四边形，且周长为 B. 是平行四边形，且周长为 C. 是等腰梯形，且周长为 D. 是等腰梯形，且周长为 【答案】D 【解析】 【分析】分别取的中点，先分别在面、面上确定动点的轨迹、，进而得到是过点的平面与正方体各表面的交线（梯形），再通过计算确定是等腰梯形及其周长. 【详解】分别取的中点，连接， 则∥∥，∴四点共面 若为面上的动点， 由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，此时的轨迹为线段； 若为面上的动点， 由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，因为分别是的中点，易证，故此时的轨迹为线段； 所以动点的轨迹曲线为过点的平面与正方体各表面的交线，即梯形. 因为正方体的棱长为2，所以. 所以曲线为等腰梯形，且周长为. 故选：D. 8. 已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值. 【详解】可设，，， 则. 可设：，则 . 故选：B 【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些. 二、多选题 9. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 在的展开式中，常数项为60 D. 的展开式中，的系数为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】对分奇偶讨论可求得判断A；令与，可求得的值判断B；利用展开式的通项公式求解判断C；求得中的与的系数即可判断D. 【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或， 此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得， 令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：赋值法是求解二项式定理中各项系数和的重要方法，求解展开式中的常数项的方法主要是利用展开式的通项公式求解. 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期3的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】由，，可得 ，故A正确；B错误； 对于C，由上可知，数列是以3为周期的周期数列， 则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 11. 设函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导，然后根据函数的单调性逐项求解判断. 选项A：判断 在处的导数和在左右的单调性来判断； 选项B：分别判断的对应范围即大小，结合函数在上单调性来判断； 选项C：首先求解，结合，，，根据函数的单调性来判断； 选项D：同选项C，首先根据导数判断的单调性，然后判断的对应范围，以此判断； 【详解】依题意，，则， 令，解得或，则函数在上单调递增， 令，解得，则函数在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，所以A选项正确； 对于B选项，因为，所以，所以． 因为，所以． 又函数在上单调递减，所以，所以B选项不正确； 对于C选项，因为，所以， 又，，，所以根据函数的单调性， 可知，所以C选项错误； 对于D选项，因为，所以，，又，， 根据函数的单调性，当时，； 当时，，所以成立，所以D选项正确， 故选：AD． 三、填空题 12. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 13. 寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同坐法种数为__________.（用数字作答） 【答案】600 【解析】 【分析】先选司机，再选副驾，结合分类分布计数原理计算即可求解. 【详解】先选司机有种，再选副驾， 若副驾坐人，则有种； 若副驾不坐人，则有种， 故不同的坐法种数为. 故答案为：600 14. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得，    则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解. 四、解答题 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解； （2）由面积公式和正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由条件得，从而. 所以，由正弦定理得，故. 从而，得，故. 所以. 【小问2详解】 设的面积为，则. 16. 如图，在体积为的三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，､为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法先求得点到平面的距离，可得平面，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得，可证得平面，从而可得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为是边长为2的正三角形，设点到平面的距离为， 则三棱柱的体积，所以， 因为，所以就是点到平面的距离，故平面. 因为平面，所以， 因为为中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 小问2详解】 解：以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， ， 所以. 设平面的法向量为， 则有得 取，得. 设直线与平面所成角， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆的上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1（M与A，B不重合），直线AM与椭圆C的另一个交点为N.记直线BM，BN的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，表示出直线BN的斜率与直线AM的斜率，从而得到，然后代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得解得，. 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 因为B为椭圆C的下顶点，所以. 设（且），则直线BN的斜率. 由点M到坐标原点O的距离等于1，可知点M在以AB为直径的圆上， 所以直线AM与直线BM垂直. 由题意得直线AM的斜率， 所以直线BM的斜率.所以. 因为点N在椭圆C上，所以， 故，所以， 所以存在，使得恒成立. 18. 已知函数． （1）当时，求的极小值； （2）若存在两个极值点． （i）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出的解析式和定义域，求出，根据导数求出的单调性，求出的极小值； （2）（i）求出的定义域，求出，设，求出，求出的单调性和的极值，求出的范围即可求解； （ii）求出的取值范围，求出，设，判断的正负，求出，求出的单调性，求出的取值范围即可求解. 【小问1详解】 当时，，可知的定义域为， 且，当时，，当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为； 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可得的定义域为， 且， 设， 可知在内有两个变号零点， 则，当，当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为， 令，当趋于时，趋于， ， 令，则， 令得，， 所以在取得最小值且大于， 所以，所以， 因趋于时趋于，因为时， 所以趋于，所以， 所以当x趋近于时，趋近于， 当时，则， 可得，可得， 即当x趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为； （ⅱ）由（ⅰ）可知，， 且， 所以， 设， 显然，又， 因为，则， 可知在上单调递减， 且，可得， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题（2）（ii）关键在于设，判断的正负，求出，求出的单调性. 19. 设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列. 例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3. （1）若数列的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3，请写出数列； （2）设，求数列的伴随数列的前50项之和； （3）若数列的前n项和（其中为常数），求数列的伴随数列的前项和. 【答案】（1）1，3，6 （2）132 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据伴随数列的定义可得出数列； （2）分三种情况分类讨论，当时，；当时，；当时，；即能求数列的伴随数列的前50项之和； （3）讨论两种情况，当时；；当 时，，从而问题得解. 【小问1详解】 数列的伴随数列为：1，1，2，2，2，3，3，3，3，数列为：1，3，6. 【小问2详解】 由，得 当时， 当时， 当时， 【小问3详解】 ， 当时， 由得， 因为使得成立的n的最大值为， 所以 当时； 当时； 所以 【点睛】本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是重点也是难点，属难题系列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$