精品解析：天津市第二十五中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

2024-2025学年高三数学期初检测 一､单选题 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式求出集合，再求. 【详解】， 由，得，解得， 所以. 故选：B． 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】，而函数在上单调递增， 当时，，因此，解得， 选项中只有是的真子集， 所以“”的一个充分不必要条件是. 故选：D 3. 某类汽车在今年1至5月的销量y（单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份x 1 2 3 4 5 月销量y 2.4 m 4 5 5.5 若变量y与x之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 残差绝对值最大为0.2 C. 样本相关系数 D. 当解释变量每增加1，响应变量增加0.85 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据回归直线必过样本中心点可解得；对于B，根据残差的定义计算，即可判断；对于C，根据表格和相关系数的意义，即可判断；对于D，根据相关关系的定义，即可判断. 【详解】由题意知：，又， 代入方程得，所以，解得，故A正确； 1月份的残差为，2月份的残差为，3月份的残差为，4月份的残差为，5月份的残差为，所以残差绝对值最大为，故B正确； 由表格可知变量与呈正线性相关，则，故C不正确； 当解释变量每增加1，响应变量不一定增加0.85，故D不正确， 故选：AB. 4. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性得到，又，即可求出结果. 【详解】因为函数在R上单调递减，所以， 又在区间上单调递增，所以，得到， 又，所以，即. 故选：C. 5. 设是空间中的一个平面，是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直判定定理可判断A；结合线面垂直与线线垂直的性质分析可判断B；由线面垂直性质可判断C、D. 【详解】对于A，由，，只有直线与相交时，可得，故A错误； 对于B，由，知或，故B错误； 对于C，由，则，故C错误； 对于D，由，可得，又因为，所以，故D正确． 故选：D. 6. 若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质由得，由得，可求出数列前6项均为负值，可得结论. 【详解】由等差数列性质可得，即； 又，所以, 因此数列的公差，且前6项均为负值， 所以的最小值为前6项和，即为. 故选：B. 7. 已知，，若和是函数的两个相邻的最值点，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦型函数的基本性质求出、的值，可得出函数的解析式，利用三角函数图象平移变换可得出函数的解析式，再利用余弦函数的基本性质逐项判断可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，， 所以，， 由题意可得，，则， 所以，，则，所以，， 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 则， 所以，函数是偶函数，该函数的图象关于点对称，不关于直线对称， 且函数的最小正周期为. 故选：B. 8. 如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用外接球定义求得三棱锥外接球的球心位置即可计算出球的半径，可得其体积. 【详解】因为为直角三角形，其外接圆圆心为的中点， 设的中点为，过作平面的垂线与交于点， 为三棱锥外接球的球心，， 三棱锥外接球的体积为. 故选：D 9. 双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，过点作于，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 过点作于,则，而为线段的中点, 所以 因为，所以， 由双曲线定义得，即，解得. 所以该双曲线的离心率为. 故选：B. 二､填空题 10. 若，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 所以，解得. 故答案为：1. 11. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所有项的二项式系数之和求得，根据二项式展开式的通项公式求得常数项. 【详解】由于所有项的二项式系数之和为， 二项式展开式的通项公式为， 令，所以常数项为. 故答案为： 12. 若圆与圆相交于两点，且，则实数__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由两个圆方程得到公共弦直线方程，由垂径定理得到等式，解方程即可得到答案. 【详解】，圆心，半径 ∴直线：， 圆心到直线距离， 由垂径定理可得，∴，即， ∴或，经验证均满足题意. 故答案为：或 13. 甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为_____________；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式求红球的概率. 【详解】记事件表示“至少抽到一个红球”，事件表示“2个球都是红球”， ,, 所以. 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 事件表示“抽到红球”，则 , 所以, 所以. 故答案为：①，②. 14. 已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，则______；若为线段上的一点，且，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由平行四边形的面积为，可得，再由数量的定义可求出的值；由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】解：因为平行四边形的面积为， 所以，得， 所以， 如图，连接，则， 所以 因为三点共线， 所以，得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：； 15. 已知函数，则时，的最小值为______，设，若函数有6个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值，即可求出时，的最小值，令，则有两个解，则，且或有3个零点，即可求出实数的取值范围. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增， 所以此时函数的最小值为， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以函数的最小值为， 综上，当时，的最小值为， 函数的图象如图所示 令，则由，得， 因为函数有6个零点， 所以有两个解， 所以，且满足， 解得， 即实数的取值范围是， 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：此题考查分段函数的最值的求法，以及根据函灵敏的零点个数求参数的范围，解题的关键是画出函数的图象，结合图形求解，考查学生的转化能力和数形结合的思想，属于较难题. 三､解答题 16. 在中，角的所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，且. （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识来求得正确答案. （2）（i）、（ii）利用三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换的知识求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，， 由正弦定理得， 由于三角形中，， 所以， 所以为锐角，所以. 【小问2详解】 （i）， 由余弦定理得， 由正弦定理得， （ii）， 所以， ， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 由得，所以， 易知平面的一个法向量为， 所以，即， 又平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，易得平面的法向量，再证明即可； （2）利用空间向量法求解面面角即可； （3）利用空间向量法求解点面距离即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由题意知，，，， 设平面的法向量为，则， 取可得， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【小问1详解】 椭圆C 的右焦点到直线的距离为， 可得： 因为， 所以解得， 由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由 即椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 ①直线过椭圆右焦点 可得：， 即， 所以由直线与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去y得： 设两交点，则有 又椭圆左焦点到直线的距离为 所以 解得： 或 (舍去)，即 ; ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点， 且， 可知直线方程为，与椭圆 联立方程组， 消去y得：由 且， 解得 设两交点， AB中点，则有 所以 即 整理得 又因为 所以 当且仅当时，所以， 则 . 【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围. 19. 等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）求的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式用公差和公比表示已知条件，可求得公差和公比，进而得到通项公式； （2）利用分组求和法，转化为，第一部分利用等差数列求和公式求和，第二部分，利用错位相减求和法求得； （3）可裂项，然后相加相消求和，讨论单调性求最大最小值. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为，， 及，得， 解得，所以. 【小问2详解】 ， 设前项和为， ， 设前项和为， 则， ， 所以， ， 综上可知. 【小问3详解】 由, 记， 则 ， 当为奇数时随着的增大而增大，可得， 当为偶数时随着的增大而减少，可得， 所以的最大值为，最小值为. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列等比数列的通项和求和，分组求和方法，错位相减法求和和裂项相消求和法，关键是第二问中的分组求和和第三问中的裂项技巧. 20. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若在区间上存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增 （3）或 【解析】 【分析】（1），第一步求函数的导数，第二步求极值点，分析零点两侧的单调性，求得最小值； （2），求导，根据函数的定义域是，所以讨论和0的大小关系，分和两种情况讨论函数的单调性； （3）根据（2）将问题转化为在上存在，使得，讨论极值点与定义域的关系，分，，三种情况讨论函数的最小值，令 ，求实数. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，， 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值1，函数没有极大值， 所以的最小值为． 【小问2详解】 ， ， ①时，即时， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以函数在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增． 【小问3详解】 由题意可知在上存在，使得成立， 即在上存在，使得， 即函数在上的最小值，由第（2）问可知： ①当，即时，在上单调递减， ∴，∴，又∵，∴， ②当，即时，在上单调递增， ∴， ③当，即时，∴， ∵，此时不存在使成立， 综上可得所求的范围是：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高三数学期初检测 一､单选题 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 某类汽车在今年1至5月的销量y（单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份x 1 2 3 4 5 月销量y 2.4 m 4 5 5.5 若变量y与x之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 残差绝对值最大为0.2 C. 样本相关系数 D. 当解释变量每增加1，响应变量增加0.85 4. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 设是空间中的一个平面，是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6. 若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若和是函数的两个相邻的最值点，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 的最小正周期为 8. 如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（ ）. A. B. C. D. 二､填空题 10. 若，则________. 11. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 12. 若圆与圆相交于两点，且，则实数__________． 13. 甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为_____________；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是_____________. 14. 已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，则______；若为线段上的一点，且，则的最小值为______． 15. 已知函数，则时，的最小值为______，设，若函数有6个零点，则实数的取值范围是______. 三､解答题 16. 在中，角的所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，且. （i）求的值； （ii）求的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 19. 等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）求的最大值和最小值. 20. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若在区间上存在，使得成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $