小专题3 线段的垂直平分线与角平分线的综合&小专题4 构造等腰三角形的常用方法-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

小专题3线段的垂直平分线与角平分线的综合 ∠CBD-30.CD=BD-3.C-√/BD-CD-3s. 1.A2.63°3.D 4.解：(1)图略 (2)DF垂直平分AB,.DB=DA,·∠DAB 16.48 ∠B=30°. ∠C=0°，. ∠BAC= 180 30 10 =110°. 新课标·新情境·新题型·引领训练 ∠DAC=110°-30°=80：÷AE平分∠DAC,.∠DAE= 1.D2.B -∠DAC=40, 3,解：(1)图略，∠DAC即为所求，(2)依据1：等边对等角（等腰三角形 的性质)很据2：三角形内角和定理(3)图略，∠POQ即为所求 5.解：1)证明：连接BD,D.,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC .DE=DF,∠BED=∠CFD=90,DG垂直平分BC,·BD= 第二章 一元一次不等式与 CD.在R△BED和R△CFD中，(BC-:R△BED≌ 一元一次不等式组 R1△CFD(HI.).∴.BE=CF.(2)在△AED和△AFD中， 1不等关系 I∠AED=∠AFD. 1.32.2y>1(答案不唯一)3.B4.x>505.(1)a-4<a ∠EAD=∠FAD.△AED②△AFD(AAS).·AE=AF.设 ADAD. (2)r+2y>0(3)r+5r≥0(4%-3≤16.13 BE=CF=.AB=5.AC=3,AE=AB-BE.AF=AC+CF, 7.300+4.r<6008.两种客车载客总量不少于500人 .5一x-3十x,解得x=1.∴.BE=1,AE=AB-BE=5-1=4 9,解：答案不唯一，如：(1)八年领(1)班的男生比女生多，其中男生有 小专题4构造等腰三角形的常用方法 人女生有y人，(2)3条长裤和4件上衣的总价不超过50元，其 1,证明：过点D作DM∥AC,交BC于点M,.∠DMB=∠ACB, 中长裤的单价为a元，上衣的单价为b元， FDM= ∠E.AB=AC,∠B= DMB. 10.解：：购买羽绒被x条购买单毛被(80一)条.根据题意，得 BD-MD.:BD-CE,.MD=CE.在△DMF和△ECF中， 415x+150(80-x)<20000, ∠MFD=∠CFE, 2不等式的基本性质 MDF-∠E,△DMF≌△ECF(AAS).∴.DF-EF 1.B2.D3.A4.m<05.3m -2H6.（1)< (2)(3》 MD=CE. (4)<(5)>7.(1)不等式的基本性质1(2)不等式的基本性 2.(1)证明：过点P作PF∥BC交AC于点F,·∠AFP-∠ACB 质2(3)不等式的基本性质3 ∠FPD=∠Q,∠PFD=∠QCD.:△ABC为等边三角形，，∠A 2 /ACB=60°， 8.解：(1)r<6,(2)r>-6(3)>后.(4)r>-2.(5)r>3 7 PD-DQ.(2)1 (6).x> 9,解：(1)②(2)不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变 3.证明，延长BA和CE相交于点M.,E⊥BD,△ABC为等腰便直角 (3)'a>b..-2024 =2024h”. 2024a+1 2024b+1. 三角形，·AB=AC∠BEC ∠BEM ∠BAC=90.∠BDA 10.D11.C12.D13.B14.234(容案不唯一-) ACDE.∠ABD∠AM.又'∠BAD ∠CAM=90 △BAD≌△CAM(ASA)..BD=CM.,BD平分∠ABC,BE⊥ 15.解：(1)两边都减3，得多>之两边都乘2，得> (2)两边都 CM,..ME-EC-CM."BD-2CE. 乘2，得x一3>y一3.两边都加3，得x>y (3)两边都除以2.得 一3-.两边都减3，得一≤ 一头.两边都除以 1,得>. 4.解：方法 -(截长法)：在CD上取点E,使DE=BD,连接AE,易得 16.解：(1)>(2)①<②=③>(3)当b>0时，4十b>4当 CE=AB-AE.∴.∠CAE-∠C∴.∠ABD-∠AED-∠C4 b=0时，+b=a当b<0时，a+b<a.()"≥0，2-3r十 ∠CAE=2∠C, ∠BAC ∠BAD+ ∠DAE+ CAE=2(90° 13十】， a时a.之游 ∠FAB,AB+ 3不等式的解集 BD -DF-DC 义ADBC,.AF=AC..∠C ∠F=∠FAB 1.D2.A3.C4.335,3 0,-1,-35.C6.B ：∠F+∠C+∠FAB+∠BAC=180,3∠C+120=180 .∠C=209 7.解：(1)如图所示： 【拓展设问】80”-e 2-1012345 5.证明：在BC上截取BE=AB.连接DE.AB-AC,∠A=108 (2)如图所示： .∠ABC=∠C=(180'-∠A)=36,”BD平分∠ABC 201234一 .∠DBA ∠DBE 在△DBA和△DBE 中 AB-EB 8.解：这句话不正确.因为一个管有未知数的不等式的所有解，组成这 ∠DBA-=∠DBE,.△DBA2△DBE(SAS)...∠A=∠BED 个不等式的解集，面x<0只位含不等式十2≤<5的部分解，如1x )=1月3 0,1,2等都是不等式十2<3的解.但并不在x<0的范围内，所以 ∴.∠DEC=180° ∠BED=180°-∠A=72°，∠CDE=∠BED 这句话不正确，不等式x+25的解集应该是<3. ∠A-∠C-72.∠DEC=∠CDE.∴.CD=CE..BC=BE 9.A10.D11.C12.B CE-AB+CD. 6.解：方法一（内构等腰三角形）：在CD上戴取DE=D=2,连接 13.解：由题意，得≥一立，所以不等式有4个负整数解，分别为一1 AE.,ADB,∴AB=AE. ∠B=2∠C,,∠AEB 一2.-3.一4. ∠+ ∠EAC,∠C=∠EAC.AE=EC=CD-DE=6,AB 4 一元一次不等式 6.方法二（外构等楼三角形）：延长DB至点F,使得BF=AB,连接 AF. ∠BAF,.∠ABC ∠F+∠BAF 2∠F.∠AB 第1课时一元一次不等式的解法 2∠C,.∠F ∠C.,,AF=AC.AD⊥FC,,.FD=DC=8.BD 1.D2.(1)-1(2)-13.A4.D5.A6.1,2,3,4 2,∴.FB=FD-BD=6,∴，AB=FB=6 7.解：(1)移项，得9r-7x3十2.合并同类项，得2r≤5，两边除以 回顾与思考（一）三角形的证明 2,得≤2.5.这个不等式的解集在数轴上表示图略 (2)去括号，得5x-5<4+2x.移项，得5r-2.x<4+5.合并同类 1.解：(1)证明：CD⊥AB.BE⊥AC, ∠AEB=∠ADC=90°.在 项，得3x<9.两边都除以3，得x<3.这个不等式的解集在数轴上 ∠AEBm∠ADC, 表示图略： △ABE和△ACD中， ∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD (3)去分母，得4-2>3-1.移项，得4一3x>一1十2.合并同类 AB-AC. 项，得x>1.这个不等式的解集在数轴上表示图略： (AAS).(2),'△ABE≌△ACD,.AD=AE=6,在R:△ACD中 8.解：由题意，得a一1>4十3，解得a>2 AC-VAD+CD-V6+8-10...AB-AC-10...BD-AB- 9.(1)①(2)去分母时，不等式左边一2没有乘2(3)不等式的基有 AD=10-6=4. 性质3(4)> 2.B3.C+.745.2°6.(24-4 2 7.(1)证明：：在△ABC中.AB=AC,.∠B=∠C.:DE⊥AB,DFI 10.D1.C12.A13.1 ∠DEB=∠DFC一90：，D为BC的中点，，，BD=CD 14.解：(1)去分母，得4十3≥3.移项、合并同类项，得x≥一3，这个 “2P△CDF(AAS.心DE=DF.六△DEF为等腰三角 不等式的解集在数轴上表示图略， ②45 (2)去括号，得2r一2≤10x一30一{.移项、合并同类项，得一8x 8.B9.B1.5+111.150 32.两边都除以一8，得r≥4.这个不等式的解集在数轴上表示 12.证明：连接BD.AB=AD.∠ABD=∠ADH.又：∠ABC 图略. ∠ADC,,∴.∠ABC-∠ABD=∠ADC ∠ADB,即∠DBC (3)去分母，得x一5+2>2r-6.移项，得x-2r>一6+5一2.合 并同类项，得一x>一3.两边都除以一1，得<3.这个不等式的解 BD心BC=CD在R△BE和1△DCF中， 集在数轴上表示图略 〈BE-DF,Rt△BCE2R△DCF(HID.∴CE=CF 15.解：根报题意：特82≥2中1-13(3r一2≥5(2r十)-15.9r 13.3514.C 15.解：(1)图略.(2)连接BD.”∠C-90°，∠ABC-60',.∠A一30 -610x+5-15.9r-10r≥5-15十6，-x≥-4.x4.∴.x的 ,直线MN垂直平分AB,.AD=BD=6..∠A=∠ABD=30 最大值是4. 5人下，与*首雀43小专题3线段的垂直平分线与角平分线的综合 类型1利用角平分线与线段的垂直平分线 (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数 的性质进行计算 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平 分线交BC于点D,DE是AB的垂直平分线， 垂足为E.若BC=3,则DE的长为() A.1 B.2 C.3 D.4 D D 第1题图 第2题图 类型3利用角平分线与线段的垂直平分线 2.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC,分别交 的性质进行证明 BC,AB于点D,E,连接CE,BF平分∠ABC, 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DG垂直 交CE于点F.若BE=AC,∠ACE=12°，则 平分BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∠EFB的度数为 (1)求证：BE=CF 口类型2利用尺规作图解决问题 (2)如果AB=5,AC=3,求AE,BE的长. 3.如图，在△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB= 70°，根据图中的作图痕迹推断，以下结论错误 的是 A.∠BAQ=40 B.DE-ZBD C.AF=AC 0 D.∠EQF=25 4.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40° (1)利用直尺和圆规作图（要求：保留作图痕 迹，不写作法)： ①在BC上求作一点D,使得AD+DC= BC: ②连接AD,在DC上找一点E,使得点E 到AD,AC的距离相等. 24 名演常·学·八年级下· 小专题4构造等腰三角形的常用方法 模型1等腰三角形十一边的平行线→等腰三 (2)若△ABC的边长为1，则DE的长为 角形 模型很示 ①作腰的平行线构造等腰三角形，若AB AC,DE∥AC,则△BDE为等腰三角形. ②作底边的平行线构造等腰三角形.若AB一 AC,DE∥BC,则△ADE为等腰三角形. 模型2角平分线十垂直→等腰三角形 D 像型辰示 如图，P是∠MON的平分线上一点，A 是射线OM上一点，AP⊥OP于点P,延长 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上， AP交ON于点B,则Rt△AOP≌ 点E在AC的延长线上，且BD=CE,DE交 Rt△BOP,△AOB是等腰三角形， BC于点F.求证：DF=EF, 延长AP,交 OAT点B 3.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC= 90°，BD平分∠ABC交AC于点D,过点C作 CE⊥BD,交BD的延长线于点E.求证： BD=2CE. 2.(本专题T1变式)如图，过等边三角形ABC 的边AB上一点P作PE⊥AC于点E,Q为 BC延长线上一点，且PA=CQ,连接PQ交 AC于点D. (1)求证：PD=DQ. 名校置 模型3截长补短→等腰三角形 模型4倍角关系→等腰三角形 解题技巧：如果题干中出现了几条线段之间的和差 限型很示 关系，一般考虑用截长补短作辅助线解题， 在△ABC中，∠ABC=2∠C. 娘型很示+小小+++一 与角平分线有关的裁长补短 B D 角平分线十成长 角平分线十补短 图1 图2 E 模型 图3 ∠1=∠2， ∠1=∠2， 方法一：如图1，外构等腰，作DB=AB. 条件 ∠B=2∠C ∠ABC=2∠C 方法二：如图2，内构等腰，作AD=AB. 结论 AC=AB+BD AC-AB+BD 方法三：如图3，作BE平分∠ABC ++44++。+++44+一++4+4++。++4++。+一+4 4.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC 6.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AD⊥BC 于点D,且AB+BD=DC,求∠C的度数， 垂足为D.若BD=2,CD=8,求AB的长（用 两种不同方法). 【拓展设问】若∠BAC=a,其余条件不变， 则∠C= 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=108°，BD 平分∠ABC交AC于点D.求证：BC=AB+ CD. 26