第07讲 三角形的证明 压轴题（8大知识点+9大考点，含9类模型详细图解）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第07讲 三角形的证明 压轴题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解常见三角形证明的模型； 2．掌握常见三角形证明模型的解题思路； 3. 灵活运用三角形证明的辅助线作法。 知识点1 遇到角平分线，考虑构造全等三角形或等腰三角形 知识点2 遇到倍角，考虑构造等腰三角形 知识点3 利用旋转构造全等三角形 遇到等线段+两线段垂直、手拉手模型等问题，常考虑构造旋转或对称三角形，得到全等三角形，再运用特殊三角形的边角关系求解 知识点4 遇到半角模型，构造全等三角形 知识点5 遇到对角互补模型，构造全等三角形 知识点6 折叠问题中的常见模型 知识点7 倍长中线模型 知识点8 截长补短法 考点一:垂线模型 例1．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 【变式1-1】.已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC． （1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE． ①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）； ②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明． （2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE． ①依题意补全图2； ②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系． 考点二:一线三等角模型 例2．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【变式2-1】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 考点三:手拉手模型 例3．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【变式3-1】．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．    (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 【变式3-2】．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【变式3-3】．（1）如图1，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：． （2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、、恰交于点． ①求证：； ②如图2，在（2）的条件下，试猜想，，与存在怎样的数量关系，并说明理由． 考点四:旋转模型 例4．如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 【变式4-1】．如图，等边中，分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点． ①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当，，三点共线时，求的长． 考点五:倍长中线模型 例5．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【变式5-1】．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P． （1）如图1，求证：∠BPC＝120°； （2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF， ①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　 　． ②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由． 【变式5-2】．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 考点六:截长补短模型 例6．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【变式6-1】．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 【变式6-2】．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题． （1）如图1，在四边形中，，，连接． ①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程． ②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明． （2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明． 考点七:作平行线、作垂线法 例7．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【变式7-1】．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 考点八:半角模型 例8．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明） （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【变式8-1】．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． （1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　　　　　　；此时　　； （2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 考点九:以上模型在线段的垂直平分线、角平分线的应用 例9．如图，中，点D为边上一点，连接，过点B作的垂线交于M，交于点N，且． (1)求证：平分． (2)点E为延长线上一点，连接，，求证：． (3)在（2）的条件下，过点A作交于点X，过点A作交于点H，当时，求的长． 【变式9-1】．如图1，点为的外角的平分线上一点，，于． (1)求证：； (2)若，连接，，，求的长度； (3)如图2，若，分别是边，上的点，且，求证：． 【变式9-2】．如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接，交于点，，垂足为，的延长线交于点． (1)填空：①______（填写“＞”“＜”或“”）；②______； (2)证明：； (3)①记四边形，，，，的面积依次为，，，，，若满足，，求的值； ②在线段上取一点，连接，，如图2，当平分时，求的值． 一、解答题 1．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 2．如图，在中，，，是的角平分线，于点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究、与之间的数量关系，并说明理由． (3)若点是射线上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．请直接写出，与之间的数量关系，并说明理由． 3．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 4．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 5．折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【纸片规格】三角形纸片， 【操作探究】 (1)如图1，点D是斜边的中点，将沿翻折得到，则______° (2)如图2，点M为边上一点，点N为边的中点，把沿翻折得到，若与的某边垂直且点P在的上方，，求的长． (3)如图3，将两张完全相同的三角形纸片拼成等腰，点E是边上的一点，将沿翻折得到，边与边交于点G，且；如图4，再将沿翻折得到，边与边分别交于点P、点Q，若，则线段的长为______（直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 三角形的证明 压轴题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解常见三角形证明的模型； 2．掌握常见三角形证明模型的解题思路； 3. 灵活运用三角形证明的辅助线作法。 知识点1 遇到角平分线，考虑构造全等三角形或等腰三角形 知识点2 遇到倍角，考虑构造等腰三角形 知识点3 利用旋转构造全等三角形 遇到等线段+两线段垂直、手拉手模型等问题，常考虑构造旋转或对称三角形，得到全等三角形，再运用特殊三角形的边角关系求解 知识点4 遇到半角模型，构造全等三角形 知识点5 遇到对角互补模型，构造全等三角形 知识点6 折叠问题中的常见模型 知识点7 倍长中线模型 知识点8 截长补短法 考点一:垂线模型 例1．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 【答案】（1）数量关系为：EF=BE+CF；（2）数量关系为：EF=BE-CF．证明见详解；（3）S△GHC=15． 【分析】（1）数量关系为：EF=BE+CF．利用一线三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可； （2）数量关系为：EF=BE-CF．先证∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，可得∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可； （3）先由（2）结论EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG=，再求EG=3，AH= 10，分别求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面积差即可求出． 【解析】解：（1）数量关系为：EF=BE+CF． ∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°， ∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°， ∴∠EBA=∠FAC， 在△EBA和△FEC中， ∵， ∴△EBA≌△FAC（AAS）， ∴BE=AF，AE=CF， ∴EF=AF+AE=BE+CF； （2）数量关系为：EF=BE-CF． ∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°， ∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°， ∴∠EBA=∠FAC， 在△EBA和△FEC中， ∵， ∴△EBA≌△FAC（AAS）， ∴BE=AF，AE=CF， ∴EF=AF-AE=BE-CF； （3）∵EF=BE-CF；， ∴BE=AF=EF+CF=6+6=12， ∵，EH+FH=EF=6， ∴2FH+FH= 6， 解得FH=2， ∴EH=2FH=4， S四边形ABFG==90， ∴BG=， ∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10， ∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=， ∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15． 【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键． 【变式1-1】.已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC． （1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE． ①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）； ②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明． （2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE． ①依题意补全图2； ②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系． 【答案】（1）①∠DBE＝45°﹣α；②AE﹣BEEC，证明见解析；（2）①补全图形见解析；②EB﹣EAEC． 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，即可求出∠CAD=．根据三角形的内角和即可求出∠DBE=∠CAD=； ②过点C作CR⊥CE交AE于R，然后证明△ACR≌△BCE，得到AR＝BE，CR＝CE，即可得到△CER是等腰直角三角形，ERCE，由此即可求解； （2）①根据题目要求作图即可； ②过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.根据三角形的内角和定理得到∠CAF=∠CBE，证明△ACF≌△BCE.根据全等三角形的性质有AF=BE，CF=CE．根据等腰直角三角形的性质有EF=EC．则有 AF -EA =EC，即可求出线段EA，EB和EC之间的数量关系． 【解析】解：（1）①如图1中， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝45°， ∵∠BAD＝α， ∴∠CAD＝45°﹣α． ∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∠ADC＝∠BDE， ∴∠DBE＝∠CAD＝45°﹣α； ②结论：AE﹣BEEC． 理由：如图，过点C作CR⊥CE交AE于R． ∴∠ACB＝∠RCE＝90°， ∴∠ACR＝∠BCE， ∵∠CAR+∠ADC＝90°，∠CBE+∠BDE＝90°，∠ADC＝∠BDE， ∴∠CAR＝∠CBE， 在△ACR和△BCE中， ， ∴△ACR≌△BCE（ASA）， ∴AR＝BE，CR＝CE， ∴△CER是等腰直角三角形， ∴ERCE， ∴AE﹣BE＝AE﹣AR＝ER EC． （2）①补全图形，如图2所示： ②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB﹣EAEC；理由如下： 过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F， 如图3所示：则∠ECF＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°， ∴∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE， 即∠ACF＝∠BCE， ∵∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°， ∴∠CAF＝∠CBE， 在△ACF和△BCE中， ， ∴△ACF≌△BCE（ASA）， ∴AF＝BE，CF＝CE． ∵∠ECF＝90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴EFEC， 即AF﹣EAEC． ∴EB﹣EAEC． 【点睛】考查等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等，难度一般，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 考点二:一线三等角模型 例2．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63 【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到； [模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案； [深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】[模型呈现]证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，， ∴， 则， 故答案为：50； [深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键． 【变式2-1】.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【解析】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 考点三:手拉手模型 例3．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【解析】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 【变式3-1】．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、． (1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．    (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．    (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．    (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明． 【答案】(1)90 (2)120 (3) (4)或 【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数； （2）由“”可证，得，可求的度数； （3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； （4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120； （3）， 理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （4）如图4，当点D在的延长线上时，，    证明方法同（3）； 如图5，当点D在的延长线上时，，    理由如下：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上，或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 【变式3-2】．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当应转至点，，在同一直线上，连接，易证，则① ；②线段，之间的数量关系 ； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）如图3，为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和勾股定理的应用， （1）证明．得到．利用为等边三角形，得到，再利用点A，D，E在同一直线上，可得，即可得； （2）证明，可得，，再证明，利用勾股定理求解即可； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，可得，证明是等边三角形，证明，再证明、、在同一条直线上，求出，利用勾股定理求解即可． 【解析】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ②由①得：△， ∴； 故答案为：①；②． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴． ∵点，，在同一直线上， ∴． ∴． ∴． ∴； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：，， 则， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 即D、P、E在同一条直线上， ∴， 在中，=， 即的长为． 【点睛】本题涉及全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的已知条件集中到同一个三角形中． 【变式3-3】．（1）如图1，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：． （2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、、恰交于点． ①求证：； ②如图2，在（2）的条件下，试猜想，，与存在怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②，理由详见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD，判断出（SAS），即可得出结论； （2）①同（1）的方法判断出（SAS），（SAS），即可得出结论； ②先判断出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE上取一点M，使PM=PC，证明是等边三角形， 进而判断出（SAS），即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE， 即∠BCE=∠ACD， ∴（SAS）， ∴BE=AD； （2）①证明：∵和是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， 即∠ACD=∠BCE， ∴（SAS）， ∴AD=BE， 同理：（SAS）， ∴AD=CF， 即AD=BE=CF； ②解：结论：PB+PC+PD=BE， 理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP， 由①知，， ∴∠CAD=∠CBE， 在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°， ∴∠CBE+∠BQP=120°， 在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°， ∴∠DPE=60°， 同理：∠APC=60°， ∠CPD=120°， 在PE上取一点M，使PM=PC， ∴是等边三角形， ∴，∠PCM=∠CMP=60°， ∴∠CME=120°=∠CPD， ∵是等边三角形， ∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM， ∴∠PCD=∠MCE， ∴（SAS）， ∴PD=ME， ∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 考点四:旋转模型 例4．如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线定理得出，，进而得出，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出，再得出，最后利用互余得出结论； （2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）由等腰直角三角形可知，当最大时，面积最大，而的最大值是，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵P、N分别为、的中点， ∴， ， ∵点M、P分别为DE、DC的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下． 由旋转可知，， ∵，， ∴， ∴，， 由三角形的中位线定理得，， ， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法可得，，， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，， ∴当最大时，面积最大， ∴点D在的延长线上， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题综合考查了三角形全等的判定与性质、旋转的性质及三角形的中位线定理，熟练应用相关知识是解决本题的关键． 【变式4-1】．如图，等边中，分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点． ①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当，，三点共线时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①的度数是定值，为60°；②或8． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，再由 ，可得到，，从而得到 ，即可求证； （2）根据题意，可证得，从而得到，再根据三角形的内角和等于180°，即可求解； （3）分两种情况讨论：当，，三点共线，且在BC上方时，当，，三点共线，且在BC下方时，即可求解． 【解析】证明：（1）是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴，， ， ∴是等边三角形； （2）解：①的度数是定值，理由如下： 是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE， ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， 又∵ ， ∴， 即的度数是定值，为60°； ②当，，三点共线，且在BC上方时，过点作， ∵是等边三角形，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，， ； 当，，三点共线，且在BC下方时. ， 综上所述，或8． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 考点五:倍长中线模型 例5．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【解析】解：如图1，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．    ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接，    ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P． （1）如图1，求证：∠BPC＝120°； （2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF， ①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　 　． ②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①AP＝2PM；②成立，证明见解析 【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根据三角形的内角和定理计算，得出结论； （2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM； ②延长PM＝MH，连接CH，由“SAS”可证△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可证△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可证△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM． 【解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 在△AEC和△CDB中， ， ∴△AEC≌△CDB（SAS）， ∴∠ACE＝∠CBD， ∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°， ∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°； （2）①解：AP＝2PM， 理由如下：∵△ABC为等边三角形，点M是边BC的中点， ∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°， ∵AM⊥BC，点M是边BC的中点， ∴PB＝PC， ∵∠BPC＝120°， ∴∠PBC＝∠PCB＝30°， ∴PC＝2PM，∠ACP＝30°， ∴∠PAC＝∠PCA， ∴PA＝PC， ∴AP＝2PM， 故答案为：AP＝2PM； ②解：①中的结论成立， 理由如下：延长PM至H，是MH＝PM，连接AF、CH， ∵∠BPC＝120°， ∴∠CPF＝60°， ∵PF＝PC， ∴△PCF为等边三角形， ∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF， ∴∠BCP＝∠ACF， 在△BCP和△ACF中， ， ∴△BCP≌△ACF（SAS）， ∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°， ∴∠AFP＝60°， 在△CMH和△BMP中， ， ∴△CMH≌△BMP（SAS）， ∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP， ∴CH∥BP， ∴∠HCP+∠BPC＝180°， ∴∠HCP＝60°＝∠AFP， 在△AFP和△HCP中， ， ∴△AFP≌△HCP（SAS）， ∴AP＝PH＝2PM． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式5-2】．[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【解析】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 考点六:截长补短模型 例6．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)（）中的结论仍然成立，证明见解析； (3)结论不成立，结论：；证明见解析． 【分析】（）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （）结论不成立，结论：．如图中，在上截取，使，连接，证明和即可求证； 本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【解析】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）解：结论不成立，结论：． 证明：如图中，在上截取，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，即 （3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论． 【解析】解：（1）方法1：在上截，连接，如图． 平分， ． 在和中，， ， ，． ，． ． ， ． 方法2：延长到点，使得，连接，如图． 平分， ． 在和中，， ． ，． ， ． ， ， ． （2）、、之间的数量关系为：． （或者：，）． 延长到点，使，连接，如图2所示． 由（1）可知， ． 为等边三角形． ，． ， ． ． ， 为等边三角形． ，． ， ， 即． 在和中，， ． ， ， ． （3），，之间的数量关系为：． （或者：，） 解：连接，过点作于，如图3所示． ，． ． 在和中，， ， ，． 在和中， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 【变式6-2】．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题． （1）如图1，在四边形中，，，连接． ①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程． ②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明． （2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②，证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）①参考小明的想法，延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分； ②沿用①中辅助线，延长到点，使得，连接，证得直角三角形，再利用勾股定理可求得，，之间的数量关系； （2）类比（1）中证明的思路，延长至，使得，连，证明、，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到与的数量关系． 【解析】（1）如图，延长到点，使得，连接． ，， 在与中， ， ． 平分 （2） 证明：如图，延长到点，使得，连接． 由（1）知， ， 在直角三角形中， （3） 证明：如图，延长至，使得，连， 由（1）知， ， 在与中， ， ，， 【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定．综合性较强． 考点七:作平行线、作垂线法 例7．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析； 【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG △BAF≌△CDG，AB＝CD； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD； 【解析】（1）①如图1， 延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE， ∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF，∴AB＝CD； ②如图2， 分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G， ∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CEG中， ， ∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中， ， ∴△BAF≌△CDG（AAS）， ∴AB＝CD； （2）如图3， 过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M， 则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△BAE和△CME中， ， ∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F， ∵∠BAE＝∠EDC， ∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 【变式7-1】．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF； (2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4. 【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； （2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； ②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可． 【解析】（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 延长DF交AB于H，连接AF， ∵∠EDC=∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴∠ABF=∠FED， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， 又∠BFH=∠DFE， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD，AB=AC， ∴BH=CD，AH=AD， ∴△ADH为等腰直角三角形， ∴∠ADF=45°， 又HF=FD， ∴AF⊥DH， ∴∠FAD=∠ADF=45°， 即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF; （2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示， 则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD， ∴BH=CD， 延长ED交BC于M， ∵BH∥EM，∠EDC=90°， ∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°， 又∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∴∠HBA+∠DCB=45°， ∵∠ACD+∠DCB=45°， ∴∠HBA=∠ACD， ∴△ACD≌△ABH， ∴AD=AH，∠BAH=∠CAD， ∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°， 即∠HAD=90°， ∴∠ADH=45°， ∵HF=DF， ∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF． ②由①知，S△ADF=DF2=AD2， 由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2， 当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4， ∴1≤S△ADF≤4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线． 考点八:半角模型 例8．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　　＋　　＝　　．（不需证明） （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，见解析；（3）不成立，新的关系为AE＝EF＋CF． 【分析】（1）根据题意易得△ABE≌△CBF，然后根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解； （2）如图2，延长FC到H，使CH=AE，连接BH，根据题意可得△BCH≌△BAE，则有BH=BE，∠CBH=∠ABE，进而可证△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根据线段的等量关系可求解； （3）如图3，在AE上截取AQ=CF，连接BQ，根据题意易得△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，进而可证△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可． 【解析】解：（1）如图1，AE+CF=EF，理由如下： ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠C=90°， ∵AB=BC，AE=CF， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠ABE=∠CBF，BE=BF， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE=∠CBF=30°， ∴， ∵∠MBN=60°，BE=BF， ∴△BEF是等边三角形， ∴， 故答案为：AE+CF=EF； （2）如图2，（1）中结论成立；理由如下： 延长FC到H，使CH=AE，连接BH， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠BCH=90°， ∴△BCH≌△BAE（SAS）， ∴BH=BE，∠CBH=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°， ∴∠HBC+∠CBF=60°， ∴∠HBF=∠MBN=60°， ∴∠HBF=∠EBF， ∴△HBF≌△EBF（SAS）， ∴HF=EF， ∵HF=HC+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF； （3）如图3，（1）中的结论不成立，关系为AE=EF+CF，理由如下： 在AE上截取AQ=CF，连接BQ， ∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A=∠BCF=90°， ∵AB=BC， ∴△BCF≌△BAQ（SAS）， ∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ， ∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE， ∴∠CBE+∠ABQ=60°， ∵∠ABC=120°， ∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN， ∴∠FBE=∠QBE， ∴△FBE≌△QBE（SAS）， ∴EF=QE， ∵AE=QE+AQ=EF+CF， ∴AE=EF+CF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键． 【变式8-1】．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． （1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　　　　　　　；此时　　； （2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】（1）BM+NC＝MN，；（2）结论仍然成立，详见解析；（3）NC﹣BM＝MN，详见解析 【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD＝BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN，此时 ； （2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易证得∠CDN＝∠MDN＝60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； （3）首先在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后证得∠CDN＝∠MDN＝60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM＝MN． 【解析】（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN． 此时 ． 理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°， ∵DM＝DN，BD＝CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN， ∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN， ∴DM＝2BM，DN＝2CN， ∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN； ∴AM＝AN， ∴△AMN是等边三角形， ∵AB＝AM+BM， ∴AM：AB＝2：3， ∴； （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1． ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC， ∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC， ∴； （3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1． ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N． ∴NC﹣BM＝MN． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理． 考点九:以上模型在线段的垂直平分线、角平分线的应用 例9．如图，中，点D为边上一点，连接，过点B作的垂线交于M，交于点N，且． (1)求证：平分． (2)点E为延长线上一点，连接，，求证：． (3)在（2）的条件下，过点A作交于点X，过点A作交于点H，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据已知证明垂直平分，易证是等腰三角形，即可得出结论； （2）设，则，进而求出，，再根据三角形外角得到，即可得出结论； （3）如图，延长到点，使得，设，利用三角形内角定理及外角的性质证明，，推出，，设，则，利用勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴平分； （2）证明：设，则， ∵平分，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长到点，使得， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，, ∵， ∴， 在中，， 在中，， 解得：， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理勾股定理等知识，熟练掌握三角形内角和定理与外角的性质是解决本题的关键． 【变式9-1】．如图1，点为的外角的平分线上一点，，于． (1)求证：； (2)若，连接，，，求的长度； (3)如图2，若，分别是边，上的点，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）过作交于，根据角平分线性质得到，结合，得到，即得； （2）根据全等三角形性质得到，，得到，推出四边形是正方形，根据，得到，设，得到，，根据勾股定理得到，解得，即得； （3）在上截取，连接，证明，得到， ，得到，根据，得到，得到，推出，得到，即得； 本题主要考查了角平分线，全等三角形．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，是解题的关键． 【解析】（1）如图1，过作交于， ∵点为的平分线上一点， 于， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图2， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式9-2】．如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接，交于点，，垂足为，的延长线交于点． (1)填空：①______（填写“＞”“＜”或“”）；②______； (2)证明：； (3)①记四边形，，，，的面积依次为，，，，，若满足，，求的值； ②在线段上取一点，连接，，如图2，当平分时，求的值． 【答案】(1)①＝；②90； (2)证明详见解析； (3)． 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，先证明，得出，，继而证得 ，即可由勾股定理得出结论； （3）①先证明，，得出；然后过作于点，证明，得出，即可求解； ②过点作于点，连接，先证明，得，再证明，得到，即可代入计算求解． 【解析】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，90． （2）证明：连接， ， ， 在和中， ， ，，， 是的中垂线， ， ， ，， ， ， ； （3）解：①且， ，， ①， 同理，②， ①＋②得：， 可化为， 即 ，， ； 过作于点， 故， ， 又由（2）知， ， 在等腰中，由， ∴ ∴， ②如图，过点作于点，连接， 由（2）知 平分，， 又是的中垂线， ， ∴ 又由（2）知， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质．本题属三角形综合题目，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 一、解答题 1．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)；见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【解析】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，；； （2）解：如图2，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， 设和交于点， ， ． （3）解：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，证明是解本题的关键． 2．如图，在中，，，是的角平分线，于点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究、与之间的数量关系，并说明理由． (3)若点是射线上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．请直接写出，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可证明； （2）延长使得，连接，根据直角三角形的性质得出，结合对顶角相等和有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等推得，即可得出； （3）延长至，使得， 根据直角三角形的性质得出，推得，根据等边三角形的判定和性质得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可推得，即可求解． 【解析】（1）证明：如图所示：    在中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：，理由如下： 如图2所示：延长使得，连接， ∵，，于点， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 延长至，使得， 由（1）得，， ∵于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质、等腰三角形的性质，对顶角相等，角平分线的定义等，根据已知做出正确辅助线是解题关键． 3．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造“手拉手”基本图形是解题的关键． （1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【解析】（1）①结论：. 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②结论： 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 4．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①，理由见解析；②2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）延长到点E，使，则，连接，先证明，得到，，再证明，，即可得到； （3）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【解析】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图1，延长到点E，使，则，连接． ∵D为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 5．折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【纸片规格】三角形纸片， 【操作探究】 (1)如图1，点D是斜边的中点，将沿翻折得到，则______° (2)如图2，点M为边上一点，点N为边的中点，把沿翻折得到，若与的某边垂直且点P在的上方，，求的长． (3)如图3，将两张完全相同的三角形纸片拼成等腰，点E是边上的一点，将沿翻折得到，边与边交于点G，且；如图4，再将沿翻折得到，边与边分别交于点P、点Q，若，则线段的长为______（直接写出结果） 【答案】(1)60 (2)4或或 (3) 【分析】（1）利用直角三角形的斜边上的中线的性质和折叠的性质解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当时，过点N作于点D，利用折叠的性质和直角三角形的性质解答即可；②当时，设交于点D，利用折叠的性质和直角三角形的性质解答即可；③当时，延长交于点D，用折叠的性质和等腰三角形的性质解答即可； （3）利用折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可． 【解析】（1），点D是斜边的中点， ， 将沿翻折得到， ， 故答案为：60； （2）①当时，过点N作于点D，如图， 把沿翻折得到， ， ， 点N为边的中点，， ， ，， ， ②当时，设交于点D，如图， ，， ， 把沿翻折得到， ，，，， ， ， ， ， ③当时，延长交于点D，如图， ，， ， ， ， 把沿翻折得到， ， ， ， 综上，的长4或或 （3）将两张完全相同的三角形纸片拼成等腰， ，，，， 将沿翻折得到， ，，， //， ，， ， 将沿翻折得到， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了几何的综合变换，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，利用分类讨论的方法解答是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$