1 第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

第一章 三角形的证明 1 等腰三角形 第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质 A基础题 5.等腰三角形的顶角度数比它的一个底角度数 的2倍多20{},则这个底角的度数是 知识点1 全等三角形的性质与判定 6.如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB 1.新考向 开放性问题 如 AD=DC.C=35*,求 /BAD的度数 图,已知AC一DB,要使 △ABC:△DCB,只需增 加的一个条件是 2.(2024·内江)如图,点A,D,B,E在同一条直 线上,AD-BE,AC-DF,BC=EF (1D)求证:△ABC△DEF. (2)若/A-55^{*},E-45^{*,求 F的度数 知识点3 等腰三角形中的“三线合一” 7.在等腰三角形的性质“三线合一”中,不属于 “三线”的是 A.底边上的高 B.腰上的中线 C.底边上的中线 D.顶角的角平分线 8.(2023·重庆)如图,在△ABC中,AB=AC. AD是边BC上的中线,若AB-5,BC=6,则 AD的长为__. 知识点2 等边对等角 3.(教材习题变式)在△ABC中,AB一AC (1)若 A-80{,则C= (2)若 B-48{*,则 A 第8题图 第9题图 4.(2024·缓化)如图,AB/ 9.(教材习题变式)如图,在△ABC中,AB CD. C=33*,OC-OE,则 AC,D为BC的中点,连接AD.若 B-35^{, A- 则 CAD- . N 名校·数学1.八年下·5 易错点1 未考虑三角形的三边关系致错 15. 如图,在△ABC中, B=40{},BA=BC,AE 10.已知一个等腰三角形的两边长分别为9cm. 是△ABC的角平分线,D是AB上的一点,且 5cm,则该等腰三角形的周长为 AD-AC,连接DE,则 /BED cm. 16.求证:顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与 【变式】若实数x,y满足x-4l十y-10= 底边夹角等于其顶角的一半,根据条件和结 0.则以x,y的值为边长的等腰三角形的周 论,结合图形,用符号语言补充“已知”和 长为 “求证”. 易错点2 忽略三角形的内角和为180 已知;在△ABC中,BAC为锐角,AB AC. 11.某等腰三角形的一个角等于100{},则它的底 角度数是. 求证: 【变式】已知等腰三角形的一个内角为40*, 则该等腰三角形的底角为 易错点3 未分类讨论导致漏解 12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 50{*,则其顶角的度数为 中档题 13. 新考向 情境素材 汝州风穴寺三大国宝之 一“宋代悬钟阁”的建筑风格堪称“想尺之内 C合题 造乾坤”.如图,“悬钟阁”的顶端可看作等腰 三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的 17.已知在△ABC中,AB=AC 点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平 (1)如图1,若 BAD=30{*},AD是BC上的 分线的是 ) ( 高,AD-AE,则/EDC= (2)如图2,若 BAD=40*},AD是BC上的 高,AD-AE,则EDC-_. (3)思考:通过以上两题,你发现 BAD与 /EDC之间有什么关系,并给予证明 A $ADB=ADCB.BC-2AD C. BD-CD D. SAo-SAco 14.(本课时T8变式)如图,在平面直角坐标系 D2 中,点A的坐标为(一2,0),点B在y轴正半 图! 轴上,以点B为圆心,BA的长为半径作孤, 交文轴正半轴于点C,则点C的坐标为 第14题图 第15题图 ” 3参考答案 第一章三角形的证明 :DE∥BC,∴∠CBD-∠EDB..∠EBD-∠EDB.BE-DE (2)CD=ED.理由如下，'AB=AC,,,∠C=∠ABC,DE∥BC, 1等腰三角形 ∠ADE ∠C.∠AED ∠ABC..∠ADE ∠AED..AD 第1课时全等三角形和等腰三角形的性质 AE.,.CD=BE.由(I)可知BE=DE,.CD=ED. 1.∠ACB ∠DBC(客案不唯一 13.解：(1)25°小(2)30°(3)当点D运动到∠ADB=110°或80 2.解：(1)证明：AD=BE,.AD+BD=BE+BD.即AB=DE,在 时，△ADE是等腰三角形，理由：若∠ADB=110,则∠ADC A报三门四 70.:AB=AC,,∠C=∠B=40,.∠DAC=70.在△ADE中 △ABC和△DEF中.AC-DF,.△ABC≌△DEF(SSS). ∠iDE=40·∠DAE=7.∠AED=180-40 70°=70 BC=EF. ,∠AED=∠DAE.,DA=DE,即△ADE是等腰三角形：若 (2)∠A=55.∠E=45,由(1)可知，△AC2△DEF,∠A ∠BDA=80°.则∠ADC=100.,∠C=40',,.∠DAE=40 ∠FDE=55,∴.∠F■180-（∠FDE+∠E=180°-(55”+45）=80 二∠ADE-∠DAE.·△ADE是等楼三角形 微专题1 3.(1)50°(2)84°4.66°5.40° 6.解：：AD=DC..∠DAC=∠C=35..∠ADB=∠DAC+∠C 1.122.70°3.B 70:AB=AD,:∠B=∠ADB=70,∠BAD=180-ZB- 小专题1“三线合一”巧解题 ∠ADB=180-70°0°=40 4=∠D 7.B8.49.5510.23或19【变式】2411.4D I.证明：在△ABE和△DE中，∠AEB=∠DEC,△ABE≌ 【变式170或40°12.40或140°13.B14.(2,0)15.30 1 16.CDLAB-于点D∠BCD-∠BAC证明：过点A作AELBC △DCE(AAS),,BE=(CE.,F是BC的中点，.EF⊥BC 2.解：(1)”AB一AC一10，F是BC的中点，∴AF⊥BC根据勾股定 于点E.AB=AC,∴∠BAE=∠CAE=I ∠BAC.:AELBC. 理，得BF=√AB-AF=6.(2)连接CD.BF=6,F是C的中 .∠BAE+∠B=90,,CD⊥AB,.∠BCD+∠B=90 点B批=12.六S△m=乞BC·AF=48.D是AB的中点， ∠BCD-∠BAE-Z∠BAC ∴Sm=Sm=21.AC-10.Sm=AC·DE=5DE. 17,解：(1)15(2)20°(3)∠BAD=2∠EDC.证明：：AD=AE ∴.∠AED-∠ADE.AB=AC,∴.∠B-∠C.∠AED-∠CDL ·5DE=24,解得DE-24 +∠C,∴.∠B+∠BAD=∠ADC=∠CDE+∠ADE=∠CDE+ ∠CDE+∠CDE+∠C.∴.∠BAD-2∠CDE. 3.证明：过点A作AP⊥BC于点P,AB=AC,∴.BP=PC.AD AE,,.DP=PE..BP一DP=PC一PE,即BD=CE 第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质 +.证明：过点A作AM⊥BC于点M.AB=AC,∠BAC 12.3 2∠BAM.AD=AE,÷∠D=∠AED.∠BAC=∠D+∠AED .证明：，AB=AC,.∠ABC=∠ACB.,BD和CE为△ABC的中 =2∠D..∠BAC=2∠BAM=2∠D.∠BAM=∠D..DE 线，∴.BE=AB,CD=号AC..BE-CD.在△BEC和△CDB AM.AM⊥B,.DE BC. 5.证明：连接O.AC=B,∠ACB=90,O为AB的中点，.∠B= BE=CD. 中 ∠CBE-∠BCD,∴.△BEC≌△CDB(SAS).CE=BD, BC=CB. ∠EOC-∠FOB. 4.D5.30°46.120 △C和△F)B中， 0=(OB, .△E(C△FE 7.证明：：△AB是等边三角形，六AB=AC∠ABC∠ACB60 ∠OCE-∠B, ∠ABD-∠ACE-120.在△ABD和△ACE中. (ASA)..OE=OF. AB=AC 第4课时等边三角形的判定与含3角的直角三角形的性质 ∠ABD-∠ACE,.△ABD2△ACE(SAS)..∠D-∠E. 2. DB-EC. 3.证明：DC-DB.∠B-30..∠DCB-∠B-30.∴.∠ADC- 8.解：(1)△ABC为等边三角形，且边长为1，AB=BC=CA=1. ∠DB+∠B=0.又，AD=D,,△AD(是等边三角形. 'AD⊥BC,∴.BD=CD= 之BC=,∠ADB=BO,在R△ABD 4.E明：CE∥DA, ∠A∠BEC又∠A-∠B,∠B- ∠BEC∠EB=60,∠B=∠BEC=60,△BCE是等边三 中，由勾股定理，得AD=V小一D=复(2)S=号C 角形， 5.C6.B AD-子×1×9- 7.E明：：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30,∴BC=号AB 24 ∠B=60°.，CD⊥AB,.∠CDB=90,∠BCD=30°..BD= 9.B10.3相等11.(03)或(0，-3)12.①@ 13.证明：，△ABC是等边三角形，，∠ACB=∠ABC=60.CD ZBCBD=AB,即AB=BD CE,∴.∠E-∠CDE.∠ACB-∠E+∠CDE..∠E-∠CDE= 8.249.210.1.5 Z∠ACB=×60=30.:BD=ED.∠CBD=∠E=30 IL.解：连接BD.AB=AD=50cm∠A=60”.△ABD是等边三 角形.，AB一AD=BD=0Hm,∠ABD-60°.，∠ABC-105, ,∴.∠ABD=∠AB ∠CBD=60 -30°=30°，∠ABD= ·∠CBD=45.,'∠C=45,.CD=BD=50mm∠CDB=90, ∠CBD.△ABC是等边三角形..D为AC的中点 14.解：(1)证明：△ABC为等边三角形， AB-∠C-60, .BC=√D平BD=50√2cm,.该机翼（四边形ABCD)的周 AB=BC. 长为50+50+50+502(150+502)cm, AB-BC.在△AMB和△BNC中，∠ABM-∠C,.△AMB≌ 12,解：(1)证明：过点M作MQ∥B,交AC于点Q,在等边三角形 BM=CN. AB中：∠A∠B∠ACB=60:MQ/BC:乙AMQ △BNC(SAS).,.AM-BN.(2)△AMB≌ABNC..∠MAB- B=60,∠AQ.M=∠AB=60,∠QMP ,△AMQ是等 ∠N ∠BQM=∠MAB+ ABQ= NBC+ ∠ABQ 边三角形..AM-QM:AM-CN..QM-CN.在△QMP和 ∠ABC-60.(3)成立.证明：：△ABC是等边三角形，·AB ∠QP ∠PN, BC. C∠ACB=60.在△4M和△CN中· △CNP中， ∠QMP-∠N,.△QMP≌△CNP(AAS). OM-CN. ∠ABM=∠BCN.·△ABM≌△BCN(SAS)..AM=BN. .MP-NP.(2),△AMQ是等边三角形，MH⊥AC,.AH BM-CN, 第3课时等腰三角形的判定与反证法 HQ.'△QMP≌△CNP.QP=CP.PH=HQ+QP=zAC 1B2.B3.24.÷ 5.(1)3(2)2 AB-AC-a...PH- 20 6.证明：，'BD是等边三角形ABC的中线，，BD⊥AC,∠ACB=60 微专题2 ∠DBC-30.BD-DE. ZE-ZACB-80-CDE-3DD-CECDE E 1.122.43.B 小专题2分类讨论思想在等腰三角形中的应用 T.证明：BE=CF,∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和 1.C2.B3.B4.65.C6.357.26戌38 AB=DC. 8.10或80或20或1409.65或2510.D △DCE中，∠B=∠C,∴.△ABF2△DCE(SAS)..∠AFB= BF-CE. 2直角三角形 ∠DEC,p∠GFE=∠GEF,.GE=GF, 第1课时直角三角形的性质与判定 8.B9.三角形的三个内角都大于6010.4011.120或75或30 1.C2.123.65+.(4,3) 12.解：(1)证明：BD是△ABC的角平分线，.∠CBD=∠EBD 5.解：，AD是边BC上的高，.∠ADB=90.,∠EPD=125, 5人下·多*答常41