精品解析：陕西省榆林市子洲县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

子洲县2024~2025学年度第一学期期末素质教育调研测评 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 下面水平放置的几何体中，主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（ ） A. 45棵 B. 5棵 C. 20棵 D. 40棵 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，坡角为的斜坡上俩电线杆间的坡面距离AB为80米，则这两根电线杆间的水平距离BC是( )米 A. B. C. D. 7. 如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）的y与x的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（ ） x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. y轴 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在__________（填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 10. 若是锐角，，则__________°． 11. 若m是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 12. 如图，已知平行四边形的顶点B、C、D分别在y轴和x轴上，点A在反比例函数的图象上，若，则k的值为__________． 13. 如图，如图，在菱形中交于点，点为的中点，连接并延长交于点，若，，则__________. 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解方程：． 16. 已知反比例函数的图象经过第二，四象限，求的取值范围． 17. 如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 已知抛物线C的顶点坐标为，且过点，将抛物线C向下平移3个单位得到抛物线．求抛物线的表达式． 19. 如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 20. 每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在12月上旬开展了以“以国家之名·祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．通过评比，九年级有2名女生和2名男生的作文被评为优秀作文，适合在班级中范读． （1）若张老师从这4篇优秀作文中随机选取一篇作文给学生范读，则选中男生的作文的概率为　　　　　； （2）若张老师要从这4篇优秀作文中随机选取两篇作文给学生范读，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率． 21. 已知抛物线（a为常数，且）的图象经过点． （1）求a的值； （2）求此抛物线的对称轴； （3）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？（直接写出答案） 22. 如图，在中，，为边的中点，连接，过点A作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 如图甲是某H型塔型大桥的结构，现为了测量大桥的立柱高，将图甲抽象成图乙所示的平面图．如图乙，测得拉索与水平桥面的夹角是，在点D处有一根高为的警示牌，当从点D处沿着移动到达点C处时（即），此时发现立柱的顶端点A、警示牌的顶端E、以及点C恰好在同一条直线上，通过测量得知，，，点F，D，C，B在同一条直线上，求立柱的高度． 24. 如图，等腰直角中，，，点是的中点，点是延长线上一点，点是上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，点在反比例函数图象上，轴于点C；轴于点． （1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点E，使的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，作交于点，若，求的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校的一块劳动实践基地，，，边上的点处有一口灌溉水井，和是两条互相垂直的小路，且，现在沿修了一条延伸至边上的小路（点在上，点在上），发现点到灌溉水井的距离．求灌溉水井到点的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 子洲县2024~2025学年度第一学期期末素质教育调研测评 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握平方根的定义和用直接开平方法解一元二次方程的方法和步骤． 用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴ 故选：B． 2. 下面水平放置的几何体中，主视图是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三视图的主视图．根据主视图是从物体的正面看得到的视图，逐项判断从正面看所得到的图形是矩形即可． 【详解】解：A、主视图是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、主视图是圆形，故本选项不符合题意； C、主视图是矩形，故本选项符合题意； D、主视图是三角形加矩形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（ ） A. 45棵 B. 5棵 C. 20棵 D. 40棵 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查百分率的知识．利用“总数×成活率=成活棵树”计算求解． 【详解】解：（棵）， 故选：A． 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数在物理中的应用以及反比例函数解析式的求法知识点，解题的关键是掌握反比例函数的一般形式并利用图象上的点来确定解析式． 根据电流与电阻是反比例函数关系设出函数表达式，再将图象上一点的坐标代入求出表达式中的未知系数． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 因为反比例函数图象过点，将代入中， 可得， 解得， 所以这个反比例函数的解析式为． 故选：C． 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与的面积比为， 与的相似比为，即． ． 故选：D 6. 如图，坡角为的斜坡上俩电线杆间的坡面距离AB为80米，则这两根电线杆间的水平距离BC是( )米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的定义解答即可． 【详解】由题意得，∠ABC=27°， 在Rt△ABC中，， ∴BC=AB•cos∠ABC=80cos27°（米）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7. 如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质．由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， 故选：A． 8. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）的y与x的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（ ） x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. y轴 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据当、时的函数值都是，结合二次函数的对称性求解即可， 【详解】解：∵当、时的函数值都是， ∴这个二次函数图象的对称轴是直线，即， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在__________（填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 【答案】灯光 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识．根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影． 【详解】解：因为影子的顶点和木杆的顶点的连线不平行， 所以它们的光线应该是点光源．它们是灯光下的投影． 故答案为：灯光． 10. 若是锐角，，则__________°． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值进行解答． 【详解】解：∵，是锐角， ∴， 故答案为：． 11. 若m是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．熟练掌握一元二次方程根的定义，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的定义得到 ，得到，化为，代入计算即得． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 12. 如图，已知平行四边形的顶点B、C、D分别在y轴和x轴上，点A在反比例函数的图象上，若，则k的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，两直线平行同旁内角互补，求反比例函数解析式，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而可得，将其代入即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平行四边形的顶点、、分别在轴和轴上， ∴，， ∴， 把代入，得： ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，如图，在菱形中交于点，点为的中点，连接并延长交于点，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．先根据菱形性质得到，，，进入得到，证明，可得，，由勾股定理可求，，即可求得． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ∵点为的中点， ， ， ∵， ， ， ，， ∴在中，， ， ∴在中，， ， ． 故答案为： 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角函数的混合运算．代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．先移向，然后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得， 16. 已知反比例函数的图象经过第二，四象限，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据图象经过第二、四象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二，四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质、尺规作一个角等于已知角，先根据相似三角形的对应角相等得到，然后利用尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可． 【详解】解：如图，点P即为所求作 在正方形中， 又∵， ∴． 18. 已知抛物线C的顶点坐标为，且过点，将抛物线C向下平移3个单位得到抛物线．求抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数解析式和二次函数的平移，掌握二次函数的图像性质是解题关键， 先根据顶点式求函数解析式，然后根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式； 【详解】解：由抛物线C的顶点坐标为，设抛物线C的解析式为， 把点代入可得，，解得， ∴抛物线C的解析式为， 将抛物线C向下平移3个单位得到抛物线，则抛物线的表达式为． 19. 如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出，，进而利用证明三角形全等解答即可． 【详解】略 20. 每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义教育，在12月上旬开展了以“以国家之名·祭民族之魂”为主题的作文竞赛，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华．通过评比，九年级有2名女生和2名男生的作文被评为优秀作文，适合在班级中范读． （1）若张老师从这4篇优秀作文中随机选取一篇作文给学生范读，则选中男生的作文的概率为　　　　　； （2）若张老师要从这4篇优秀作文中随机选取两篇作文给学生范读，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的定义直接进行计算即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的作文的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有4名学生，其中女有2名，所以从中随机选中女生的文章的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生的作文的结果有8种， ∴恰好选中一名男生和一名女生的作文的概率为． 21. 已知抛物线（a为常数，且）的图象经过点． （1）求a的值； （2）求此抛物线的对称轴； （3）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？（直接写出答案） 【答案】（1） （2）直线； （3）当时，y随x的增大而减小． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得a的值是解题的关键． （1）把A点坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值； （2）把二次函数解析式化为顶点式可求得其及对称轴； （3）利用二次函数的开口方向、增减性可求得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴a的值为； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； 【小问3详解】 解：∵，对称轴为， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小． 22. 如图，在中，，为边的中点，连接，过点A作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质以及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出，进而可根据菱形的判定得出结论； （2）由平行线的性质可得出，设，，运用勾股定理求解即可. 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵中，，D为边的中点， ∴． ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，即 解得，（负值舍去） ， ∴． 23. 如图甲是某H型塔型大桥的结构，现为了测量大桥的立柱高，将图甲抽象成图乙所示的平面图．如图乙，测得拉索与水平桥面的夹角是，在点D处有一根高为的警示牌，当从点D处沿着移动到达点C处时（即），此时发现立柱的顶端点A、警示牌的顶端E、以及点C恰好在同一条直线上，通过测量得知，，，点F，D，C，B在同一条直线上，求立柱的高度． 【答案】立柱的高度为 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，根据题意得到，然后证明，然后利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 答：立柱的高度为． 24. 如图，等腰直角中，，，点是的中点，点是延长线上一点，点是上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，然后可判断； （2）利用得到，则可求出的长． 【小问1详解】 证明：，， ， ， 即， 而， ， ，， ∴； 【小问2详解】 解：点是的中点， ， ∵， ， ， ． 25. 如图，点在反比例函数图象上，轴于点C；轴于点． （1）求出反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点E，使的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，求一次函数和反比例函数解析式，割补法求面积等知识．正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由题意可求出，设反比例函数的表达式为，将代入，即可求出k的值，即得出反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）设，则根据，结合三角形面积公式和梯形面积公式，可列出关于 t的方程，求出t的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为，把代入可得 ∴反比例函数的表达式为， 把代入中，， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴，，，， ∴，，． ∵，且， ∴， 解得：， ∴． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，作交于点，若，求的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校的一块劳动实践基地，，，边上的点处有一口灌溉水井，和是两条互相垂直的小路，且，现在沿修了一条延伸至边上的小路（点在上，点在上），发现点到灌溉水井的距离．求灌溉水井到点的距离． 【答案】（1）； 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）证明得到，再代入和计算即可； （2）过作于，先得到，得到，，再根据得到，最后根据得到列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； （2）解：过作于，则， ∵矩形中， ∴， ∵和是两条互相垂直的小路， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴灌溉水井到点的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $