精品解析：湖北省荆州中学2024-2025学年高二下学期起点考试数学试题

荆州中学2023级高二下学期起点考试 数学试卷 时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得出其焦点坐标. 【详解】对于抛物线，，则，所以，抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 2. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 4. 设等差数列的前项和为，若，则等于（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】设公差为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可. 【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件， 故选C. 【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题 6. 已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨取，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】不妨取，可得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， 所以，， 整理可得，解得. 故选：C. 7. 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可． 【详解】如图，，又，所以， 而是圆切线，则， 在中，，因此有， 从而，而，所以， 在双曲线上，因此，所以， ∴，从而， ∴双曲线的离心率. 故选：B． 8. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理，准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前项和，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列的递推公式计算判断AC；变形递推公式，利用累加法求解判断BD. 【详解】对于AC，，，， AC错误； 由，得， 对于B，，则 ，B正确； 对于D，，则 ，D错误. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. 是递减数列 B. C. D. 最小时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质首项可得：公差且即可判断等差数列是递增数列，进而求解. 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 所以，则有， 因为，所以公差，且，所以等差数列是递增数列，故选项错误； ，故选项正确； 因为，故选项错误； 由可知：等差数列的前10项均为负值，所以最小时，，故选项正确， 故选：. 10. 已知正方体的棱长为4，为的中点，为所在平面上一动点，则下列命题正确的是（ ） A. 若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 D. 若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据正方体的性质计算出，根据圆的定义可得答案； 对于B，取中点，根据，，可得点的轨迹为圆，根据圆的面积公式计算可得结果； 对于C，将点到直线转化为，再根据抛物线的定义可得结果； 对于D，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式列式可解得结果. 【详解】如图： 对于A，根据正方体的性质可知，平面，所以为与平面所成的角， 所以，所以，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆；故A正确； 对于B，在直角三角形中，，取的中点，因为为的中点，所以，且，因为，所以，即点在过点且与垂直的平面内，又，所以点的轨迹为以为半径的圆，其面积为，故B不正确； 对于C，连接，因为平面，所以，所以点到直线距离为，所以点到点的距离等于点到定直线的距离，又不在直线上，所以点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，故C正确； 对于D，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，设， 则，， 因为与所成的角为，所以， 所以，整理得，所以点的轨迹为双曲线，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项中，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式列式求解是解题关键. 11. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的方程为 C. D. 点在以线段为直径的圆上 【答案】BD 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据抛物线的定义知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判断A；根据为等腰直角三角形，可求出可判断B；将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值可判断C；设线段的中点为，求出的坐标，得到可判断D. 【详解】对于A选项，如图，过点作，垂足为， 由抛物线的定义知， 所以与全等，则， 因为，，， 所以， 则， 则，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B选项，设直线与轴交于点，则， 由上可知，，则为等腰直角三角形， 因为，则，得， 所以抛物线方程为，故B正确； 对于C选项，由上可知，直线的方程为， 设、， ，则， 联立，整理得， 则，所以，则， 所以，故C错误； 对于D选项，设线段的中点为， 则，，则， 由上可知，则， 又， 所以点在以线段为直径的圆上，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，可得，根据导数的定义即可求解. 【详解】，故， 故， 故答案为： 13. 在正项等比数列 中，若 ，_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据正项等比数列的定义与通项公式，计算即可 【详解】正项等比数列 中，， ， 解得，舍去负值，所以. 故答案为：5 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，则点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点D，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求； （2）由题可得切点到直线的距离最小，即得. 【小问1详解】 ∵函数， ∴的定义域为，， ∴在处切线的斜率为， 由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得， ∴的解析式为； 【小问2详解】 由于直线与直线平行，直线与函数在处相切， 所以切点到直线的距离最小，最小值为， 故函数图象上的点到直线的距离的最小值为. 16. 已知数列，其前项和为． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可利用累乘法求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 因为，当时， 所以， 即，所以， 即，所以， 累乘可得，又，所以， 当时也成立，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 17. 如图，三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）直线与平面所成角正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理以及勾股定理，可得线线垂直，结合线面垂直判定定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式建立方程，求得点的坐标，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理可得， 则，解得， 由，则在中，， 因为，平面，， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）及，则两两相互垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设，由（1）知， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 则，解得，则， 在三棱柱中，，则， 设平面的一个法向量， 则，可得，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 18. 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）已知数列满足. ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；； (2)①；② 【解析】 【分析】(1)由题意推出，进而可以证明是以3为首项，3为公比的等比数列，由此即可得出数列的通项公式. (2)①：由(1)得，结合错位相减法即可求出； ②：由①得，设，则是递增数列，由此求得的取值范围. 【详解】(1)因为， 所以，所以， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 故， 即； (2)①：由(1)知， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以； ②：由①得， 设，则是递增数列， 当n为偶数时，恒成立， 又，所以； 当n为奇数时，恒成立， 又，所以，所以， 综上诉述，的取值范围是. 19. 已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”. （1）求“倒影椭圆”C的方程； （2）求“倒影椭圆”C的面积； （3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“倒影距离”和“倒影椭圆”定义求解即可； （2）分类讨论去绝对值符号，作出“倒影椭圆”的图象，再结合图象求面积即可； （3）先求出椭圆的方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再分别求出线段的中垂线的方程，设的外接圆的圆心的坐标为，由这两条中垂线方程得出的关系，进而可得出结论. 【小问1详解】 设， 由“倒影距离”的定义可知，， ， 由题意，即， 所以“倒影椭圆”C方程为； 【小问2详解】 由， 得， 当时，， 当时，由对称性知，， 其图象如图所示， 故“倒影椭圆”C的面积； 【小问3详解】 由上图知，“倒影椭圆”C的外接椭圆E的长半轴长为，且经过点， 可得椭圆的方程为， 由（2）知，， 由题意可知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消得， 则恒成立， 则， 线段得中点为，即， 又， 则线段的中垂线的方程为， 即， 同理线段的中垂线的方程为， 设的外接圆的圆心的坐标为， 则是方程的两根， 所以， 又， 所以，整理得， 则，即， 所以直线与的斜率之积为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2023级高二下学期起点考试 数学试卷 时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 2024 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 设等差数列的前项和为，若，则等于（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 25 5. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理，准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前项和，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. 是递减数列 B. C. D. 最小时， 10. 已知正方体的棱长为4，为的中点，为所在平面上一动点，则下列命题正确的是（ ） A. 若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆 B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 C. 若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线 D. 若与所成角为，则点的轨迹为双曲线 11. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线倾斜角为 B. 抛物线的方程为 C. D. 点在以线段为直径的圆上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 在正项等比数列 中，若 ，_____________． 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处的切线方程为. （1）求解析式； （2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值. 16. 已知数列，其前项和为． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求数列通项公式； （2）已知数列满足. ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”. （1）求“倒影椭圆”C的方程； （2）求“倒影椭圆”C的面积； （3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $