上海市市西中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

市西中学2024学年第一学期高二年级数学期末 2025.01 一、填空题(本大题满分42分,共有12题,第1-6题每题3分,第7-12题每题4分) 1.已知直线的一个法向量是,则它的斜率为_. 2.若,则_. 3.如果圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则该圆锥的侧面积为_. 4.已知球的表面积是,则该球的体积为_. 5.设,则_. 6.在四面体中,若底面的一个法向量为,且,则顶点到底面的距离为_. 7.已知直线过点,且与直线的夹角为,则直线的方程为_. 8.某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况,按照男、女生的比例分别抽样调查了55名男生和45名女生的每周锻炼时间,通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为8小时,方差为6;女生每周锻炼时间的平均数为6小时,方差为8.根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为_. 9.如图所示,玩具计数算盘的三档上各有7个算珠,现将每档算珠分为左右两部分,左侧的每个算珠表示数2,右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠),记上、中、下三档的数字和分别为,,.例如,图中上档的数字和.若,,成等差数列,则不同的分珠计数法有_种. 10.从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点,从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点,则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的_倍. 11.如图,点是棱长为2的正四面体底面的中心,过点的直线交棱,于点,,是棱上的点,平面与棱的延长线相交于点,与棱的延长线相交下点,则_. 12.已知直三棱柱中,,,过点的平面分别交棱,于点,,若直线与平面所成角为,则截面三角形面积最小值 为_. 二、选择题(本大题满分16分,每题4分) 13.某家大型超市近10天的日客流量(单位:千人次)分别为3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是( ) A.散点图 B.条形图 C.茎叶图 D.扇形图 14.已知直线与直线,那么“”是“” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 15.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( ) A.甲地:总体均值为3,中位数为4 B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0 C.丙地:中位数为2,众数为3 D.丁地:总体均值为2,总体方差为3 16.如图,在四棱台中,,,则的最小值为( ) A. B. C. D. 三、解答题(本大题满分42分,本大题共5题) 17.(4分+4分)如图,在直三棱柱中,,,,,交于点,为的中点. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的大小. 18.(6分)证明:如果两个事件与独立,那么事件与也独立. 19.(4分)某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示: (1)求该公司员工年龄的平均数和第25百分位数; (2)从该公司员工中随机抽取一位,记所抽取员工年龄在区间内为事件,所抽取员工年龄在区间内为事件,判断事件与是否互相独立,并说明理由. 20.(5分+5分)如图所示,将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中,已知,,点是三角板内一点,现因三角板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形,设直线的斜率为. (1)求直线的方程(用表示); (2)求锯成的面积的最小值. 21.(5分+5分)清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”,其可由两个正交的正四面体组合而成,如图1,也可由正方体切割而成,如图2.在图2所示的“蒺藜形多面体”中,若. (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积; (2)若点,分别在线段,上移动,求的最小值. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.或; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.; 11.如图,点是棱长为2的正四面体底面的中心,过点的直线交棱,于点,,是棱上的点,平面与棱的延长线相交于点,与棱的延长线相交下点,则_. 【答案】 【解析】设为的中点, 则 设,所以 因为四点共面,所以,所以, 所以故答案为:. 12. 已知直三棱柱中,,,过点的平面分别交棱,于点,,若直线与平面所成角为,则截面三角形面积最小值 13. 为_. 【答案】 【解析】因为三棱柱为直三棱柱,所以平面, 又平面,所以 过点作交于点,连接, 因为平面,所以平面,过点作交于点,因为平面,所以,又平面,所以平面, 因为直线与平面所成角为,所以, 在Rt中,由,可得, 设,在Rt中,,, 因为,所以 因为平面,又由平面,所以, 所以, 因为 当且仅当时,等号成立,所以.故答案为: 二、选择题 13.A; 14.C; 15.D; 16.B 15.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( ) A.甲地:总体均值为3,中位数为4 B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0 C.丙地:中位数为2,众数为3 D.丁地:总体均值为2,总体方差为3 【答案】 【解析】∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人,故不正确; 乙地:总体均值为1,说明乙地过去10天新增疑似病例10例, 总体方差大于0,有可能存在一天新增疑似病例超过7人,故不正确; 中位数和众数也不能限制某一天的病例超过7人,故不正确; 总体均值是2时,只有出现超过7人时,方差就大于3,故正确,故选:. 三、解答题 17.(1)证明略 (2) 18.证明略 19.(1)40,32 (2)互相独立,理由略 20.如图所示,将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中,已知,,点是三角板内一点,现因三角板中阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点的任一直线将三角形锯成三角形,设直线的斜率为. (1)求直线的方程(用表示); (2)求锯成的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)设直线,因为直线过点,所以, 即,所以, (2)因为,所以,所以, 因为,设到直线的距离为, 则 所以 当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为. 21.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”,其可由两个正交的正四面体组合而成,如图1,也可由正方体切割而成,如图2.在图2所示的“蒺藜形多面体”中,若. (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积; (2)若点,分别在线段,上移动,求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】因为,所以 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成, 故该几何体的表面积为, 该几何体的体积为 (2)建立如图所示的空间直角坐标系,设, 当且仅当时,等号成立,故的最小值为 学科网(北京)股份有限公司 $$