上海市实验学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

上实验2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷 2026.1 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分） 1.若点平面，点平面，则直线______平面（填合适的符号） 2.直线的倾斜角大小为______． 3.已知圆，则半径是______． 4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 5.若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则______． 6.已知球的直径，则球体积为______． 7.已知直线过，圆，直线与圆相交于两点，则长度的最小值为______． 8.已知抛物线的焦点为，为该抛物线上的动点，是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是______． 9.现有一个离心率为的椭圆，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为6的定圆上，则该椭圆的焦距为______． 10.双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为______． 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11.若，，且，则等于（ ） A. B. C.或 D.不能确定 12.已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B.1或 C.1 D.或5 13.已知，双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.11 14.如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为． 其中正确结论是（ ） A.①② B.①③ C.②④ D.①③④ 三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 15.（本题满分10分）如图，底面为正方形，平面，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 16.（本题满分10分）2026年是农历马年，某城市举办了一场盛大的“万马奔腾”主题灯会．其中，有一盏名为“骐骥奋蹄”的创意花灯，其主体造型是由上实校训“攀登”的攀的小篆字形（如图）构造的一个巨大的双曲线形拱门，象征着马年的昂扬向上． 该拱门的横截面轮廓可以看作是双曲线．设计师为了保证拱门的视觉冲击力，设定其离心率为3，且拱门最窄处（实轴）的宽度为2米． （1）求该双曲线的方程； （2）为了增加节日气氛，工作人员计划在拱门内部安装一条模拟“马鬓”飘逸效果的彩色灯带．这条灯带呈直线型，其斜率为1（即与水平方向成角），方程为．调试时发现，当灯带在拱门内的可见长度（弦长）为米时，光影效果最佳．求此时控制参数的值． 17.（本题满分10分）已知为抛物线的焦点，直线经过，且与相交于两点，过点的动直线与相交于两点． （1）求的值； （2）设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 18.（本题满分14分） 已知椭圆的右焦点为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，点在第一象限且，直线与的另一个交点为，以为直径作圆，通过计算判断直线与该圆的位置关系； （3）设是轴正半轴上的一点，直线与交于两点，求的取值范围． 四、附加题（每题10分，共20分） 19.如图，在南水北调工程中，某测量水位的仪器为圆柱形，它的底面半径为米，若将该测量仪装水固定在墙面和地面的角落内，仪器的轴线与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，则 （1）若以椭圆的中心为原点，长轴为轴，短轴为轴建立直角坐标系，求该椭圆的标准方程； （2）该椭圆：的左、右焦点分别为，经过点，且倾斜角为的直线与该椭圆交于两点（其中点在轴上方），如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 20.已知双曲线过点，且直线为其一条渐近线．如图，由作双曲线的切线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，重复以上操作，得到一串点列． （1）求证：在一条直线上，并求该直线的方程； （2）对任意，设为的面积，的前项和记为，求证：． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 9.现有一个离心率为的椭圆，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为6的定圆上，则该椭圆的焦距为______． 【答案】 【解析】不妨设椭圆的焦点在轴上，分别为椭圆的左、右焦点，连接，延长交于点，如图， 于直线对称，则，且为的中点， 又∵为的中点，则， ∴焦点在切线上的射影在一个半径为6的定圆上，即点在以圆心为原点， 半径为的圆上，故， 由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为．故答案为：6． 10.双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为______． 【答案】 【解析】设双曲线的方程为， 则圆的方程为，直线与圆的切点为连接， ①如图所示，当在双曲线的左支上时， ，由正弦定理得； 由双曲线的定义得到，所以 在三角形中由余弦定理得 即化简得到．此时，离心率为． ②如图所示，当在双曲线的两支上时，由题可知， 则，因为，所以； 在三角形中由正弦定理得到， 即，得到； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得， 即，化简得到． 此时，离心率为．故答案为：或． 二、选择题 11.C 12.B 13.C 14.B 13.已知，双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】C 【解析】由双曲线的方程，可得，，即， ∴，由题意，， ， 当且仅当共线时，等号成立．∴的最小值为9．故选：． 14.如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为． 其中正确结论是（ ） A.①② B.①③ C.②④ D.①③④ 【答案】B 【解析】对于①，取中点为，连接，， ∵正方体为的中点，∴， ∴四点共面，如图确定的平面与线段有且仅有一个交点，故①正确； 对于②，∵关于对称，∴， 求的最小值，即求的最小值， ∵正方体四点共面，∴与会相交于一点， 设为，此时, ∵,∴的最小值为错误，故②错误； 对于③，取中点分别为，连接， 设交于点，若平面， 在平面中，易知， 又∵平面平面， ∴平面DGHA，∴平面， ∵平面平面，∴． 又存在点，使得，故③正确. 对于④，当点与点重合时，截面为矩形，截面面积为， 当点为上靠近点的三等分点时， 取中点为，连接，， ∵平面平面，平面平面， 平面平面，∴四点共面， 此时四边形即为平面截正方体所得截面， 证明如下：已知平面，求证点为上靠近点的三等分点， ∵点为上靠近点的三等分点，得证． 又∵，且, ∴四边形为等腰梯形，面积为 ∴当点为上靠近点的三等分点时，截面面积为， 当点趋近于点时，截面面积趋近于，∵， 点为上靠近点的三等分点向点运动时，截面面积的变化是连续的， ∴点为上靠近点的三等分点向点运动时存在某点，使得截面面积为， 故线段上至少存在两个点使得截面面积为，故④错误.故选：． 三、解答题 15.（1）证明略 （2） 16.（1） （2） 17.（1） （2）证明略 18.（1） （2）相切 （3） 四、附加题 19.如图，在南水北调工程中，某测量水位的仪器为圆柱形，它的底面半径为米，若将该测量仪装水固定在墙面和地面的角落内，仪器的轴线与地面所成的角为，液面圼椭圆形状，则 （1）若以椭圆的中心为原点，长轴为轴，短轴为轴建立直角坐标系，求该椭圆的标准方程； （2）该椭圆：的左、右焦点分别为，经过点，且倾斜角为的直线与该椭圆交于两点（其中点在轴上方），如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ②存在， 【解析】（1）圆柱轴线与水平面夹角，所以,， 椭圆的标准方程为. （2）①由直线：与， 联立消去整理得，解得或， 因为点，在轴上方，所以得，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 记异面直线和所成角为，则， ②设在新图形中对应点记为． 由故 设折叠前，直线与椭圆联立方程得， 在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）； 上式左右两边同时平方化简得： 又得 ，解得， 20.已知双曲线过点，且直线为其一条渐近线．如图，由作双曲线的切线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，重复以上操作，得到一串点列． （1）求证：在一条直线上，并求该直线的方程； （2）对任意，设为的面积，的前项和记为，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1）因为直线为双曲线的一条渐近线，因此设双曲线的方程为， 又双曲线经过点，因此，解得， 因此双曲线的方程为； （2）证明：①显然过且与双曲线相切的直线的 斜率存在，设为，则直线的方程为，即， 联立，得 因此，解得， 因此直线的方程为， 双曲线的渐近线方程为，分别联立 得和因此， 因为，因此，因此，因为， 因此，可得三点共线且方程为：， 由于，因此， 又因为，因此,因此， 因此共线，因为共线， 因此共线且轨迹方程为； ②证明：因为，因为，设直线的方程为， 又过点，因此，得，因此的方程为， 到直线的距离为，则 因为共线，且，因此， 因此，因此， 设，直线， 由和，得 因此交点 因此， 即 因此 又因为，因此 因此 因为 因此 因为 因此 学科网（北京）股份有限公司 $